Ma trận đối xứng

Trong đại số tuyến tính, một ma trận đối xứng là ma trận vuông A mà ma trận chuyển vị của nó bằng chính nó.

$A=A^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}.$

Các phần tử của ma trận đối xứng phản chiếu qua đường chéo chính. Do đó, nếu ma trận được biểu diễn là A = (a_ij), thì

$a_{ij}=a_{ji}$

với mọi i và j. Chẳng hạn, ma trận 3×3 dưới đây là một ví dụ về ma trận đối xứng:

Tất cả ma trận chéo đều là ma trận đối xứng vì tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0.

Một ma trận đối xứng thực có thể biểu diễn một toán tử tự liên hợp trong không gian tích trong thực. Trong không gian tích trong phức, khái niệm tương tự là ma trận Hermite, với các phần tử số phức, và ma trận Hermite bằng chính chuyển vị liên hợp của nó.

Các đặc điểm

Các đặc điểm cơ bản

• Tổng và hiệu của hai ma trận đối xứng đều là ma trận đối xứng.
• Với hai ma trận đối xứng $A$ và $B$, tích $AB$ là ma trận đối xứng nếu và chỉ nếu $A$ và $B$ giao hoán (tức là $AB$ = $BA$).
• Với số nguyên dương $n$, $A^n$ là ma trận đối xứng nếu và chỉ nếu $A$ là ma trận đối xứng.
• Ma trận nghịch đảo $A^{-<!--\; -\; -->1}$ tồn tại và là ma trận đối xứng nếu và chỉ nếu $A$ là ma trận đối xứng.

Phân tích thành ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng

Mọi ma trận vuông có thể phân tích thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng. Phép phân tích này là duy nhất và được gọi là phân tích Toeplitz. Nếu ${\text{Mat}}_n$ là không gian của các ma trận vuông $n\times <!--\; \times \; -->n$, ${\text{Sym}}_n$ là không gian của các ma trận đối xứng $n\times <!--\; \times \; -->n$ và ${\text{Skew}}_n$ là không gian của các ma trận phản đối xứng $n\times <!--\; \times \; -->n$, thì ${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n+{\text{Skew}}_n$ và ${\text{Sym}}_n\cap <!--\; \cap \; -->{\text{Skew}}_n=\left\{0\right\}$, tức là:

${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n\oplus <!--\; \oplus \; -->{\text{Skew}}_n,$

Với ký hiệu $\oplus <!--\; \oplus \; -->$ biểu thị phép cộng trực tiếp. Nếu $\text{X}\in <!--\; \in \; -->{\text{Mat}}_n$, thì

.

Chú ý rằng và . Điều này đúng cho mọi ma trận vuông có phần tử thuộc các trường có độ đặc trưng khác 2.

Ma trận đồng dạng với ma trận đối xứng

Ma trận chuẩn hóa

Ma trận đối xứng với phần tử thực

Ma trận đối xứng với phần tử phức

• Ma trận tổng quát
• Ma trận chuyển vị