Ma trận hình tam giác

Trong đại số tuyến tính, ma trận tam giác là một loại ma trận vuông đặc biệt. Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu tất cả các phần tử bên trên đường chéo chính đều bằng không. Ngược lại, một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng không. Một ma trận tam giác có thể là ma trận tam giác dưới hoặc ma trận tam giác trên. Một ma trận vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới được gọi là ma trận đường chéo.

Vì phương trình ma trận với ma trận tam giác dễ giải hơn, chúng rất quan trọng trong phân tích số. Theo thuật toán phân rã LU, một ma trận khả nghịch có thể được biểu diễn dưới dạng tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính hàng đầu của nó đều khác không.

Mô tả

được gọi là ma trận tam giác dưới hoặc ma trận tam giác bên trái và tương tự là ma trận có hình dạng

được gọi là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác vuông. Ma trận tam giác dưới hoặc trái thường được biểu thị bằng biến L và ma trận tam giác trên hoặc phải thường được ký hiệu với biến U hoặc R.

Một ma trận có cả tam giác trên và dưới là ma trận đường chéo. Các ma trận tương tự ma trận tam giác được gọi là ma trận tam giác.

Ma trận tam giác trên được giữ nguyên bởi nhiều phép toán như sau:

• Tổng của hai ma trận tam giác trên là một ma trận tam giác trên.
• Tích của hai ma trận tam giác trên vẫn là một ma trận tam giác trên.
• Nghịch đảo của ma trận tam giác trên, nếu tồn tại, cũng là một ma trận tam giác trên.
• Tích của ma trận tam giác trên với một số vô hướng vẫn là ma trận tam giác trên.

Những sự kiện này cho thấy rằng ma trận tam giác trên hình thành một cấu trúc con của đại số kết hợp các ma trận vuông với kích thước cố định. Điều này cũng chứng minh rằng ma trận tam giác trên có thể được xem như một đại số Lie con của đại số Lie các ma trận vuông với kích thước cố định, trong đó khung Lie [a, b] được xác định bởi phép toán ab − ba. Đại số Lie của tất cả các ma trận tam giác trên là một đại số Lie có thể giải quyết được, thường được gọi là một tập hợp con Borel của đại số Lie các ma trận vuông.

Tất cả các kết quả này cũng đúng nếu thay thế tam giác trên bằng tam giác dưới trong toàn bộ bài toán; đặc biệt, các ma trận tam giác dưới cũng tạo thành một đại số Lie. Tuy nhiên, các phép toán kết hợp ma trận tam giác trên và dưới không nhất thiết tạo ra ma trận tam giác. Ví dụ, tổng của một ma trận tam giác trên và một ma trận tam giác dưới có thể không phải là ma trận tam giác; tích của ma trận tam giác dưới với ma trận tam giác trên cũng không nhất thiết là ma trận tam giác.

Ví dụ:

Ma trận dưới đây:

là ma trận tam giác trên và ma trận này

là ma trận tam giác dưới.

Hình thức đặc biệt

Ma trận đơn vị

Khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác (dù là trên hay dưới) đều bằng 1, ma trận được gọi là ma trận đơn vị (trên hoặc dưới). Tất cả các ma trận đơn vị đều là ma trận unipotent. Các thuật ngữ khác dùng để chỉ các ma trận này bao gồm đơn vị (trên hoặc dưới) và hình tam giác, hoặc hiếm hơn là định chuẩn (trên hoặc dưới) hình tam giác. Tuy nhiên, ma trận đơn vị tam giác khác với ma trận đơn vị, và ma trận tam giác định chuẩn không liên quan đến khái niệm chuẩn mực ma trận. Ma trận danh tính là ma trận duy nhất có cả dạng đơn vị trên và dưới.

Tập hợp các ma trận đơn vị cấu thành một nhóm Lie.

Ma trận tam giác nghiêm ngặt

Khi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác (dù là trên hay dưới) đều bằng 0, ma trận được gọi là tam giác nghiêm ngặt (trên hoặc dưới). Các ma trận tam giác nghiêm ngặt đều là nilpotent, và tập hợp các ma trận tam giác nghiêm ngặt (trên hoặc dưới) tạo thành một đại số Lie nilpotent, ký hiệu là $n.$ Đại số này là đại số Lie con của $b$, đại số Lie của tất cả các ma trận tam giác trên; về mặt ký hiệu, $n=[b,b].$ Thêm vào đó, $n$ là đại số Lie của nhóm Lie của ma trận đơn vị.

Theo định lý Engel, bất kỳ đại số Lie nilpotent hữu hạn chiều nào cũng có thể được liên hợp với một chuỗi con của các ma trận tam giác trên nghiêm ngặt, tức là, một đại số Lie nilpotent hữu hạn chiều cũng là ma trận tam giác vuông.

Ma trận tam giác nguyên tử

Ma trận tam giác nguyên tử (trên hoặc dưới) là loại ma trận đơn vị đặc biệt, trong đó tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0, ngoại trừ các phần tử nằm trong một cột cụ thể. Ma trận này cũng được gọi là ma trận Frobenius, ma trận Gauss hoặc ma trận biến đổi Gauss. Vì vậy, một ma trận tam giác dưới nguyên tử có dạng

$L_i=[\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & 0\\ 0& \ddots <!--\; \ddots \; -->& & & & & & \\ 0& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 1& & & & & \\ 0& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 0& 1& & & & \\ & & 0& {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{i+1,i}& 1& & & \\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& & 0& {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{i+2,i}& 0& \ddots <!--\; \ddots \; -->& & \\ & & ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \end{array}$

⋮ ⋱ 1 0 … 0 ℓ n , i 0 … 0 1 ] . {\displaystyle \mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\\&&0&\ell _{i+1,i}&1&&&\\\vdots &&0&\ell _{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&\ell _{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}.}

Nghịch đảo của một ma trận tam giác nguyên tử vẫn giữ được dạng tam giác nguyên tử. Cụ thể, chúng ta có

tức là, các giá trị nằm ngoài đường chéo được thay thế trong ma trận nghịch đảo bằng các giá trị nghịch đảo cộng gộp của chúng.

Ma trận đơn vị 4x4

Đặc điểm nổi bật

Một ma trận có thể vừa là tam giác vừa là bình thường cũng đồng nghĩa với việc nó là ma trận đường chéo. Điều này có thể dễ dàng nhận thấy khi quan sát các phần tử chéo của A, A và AA, trong đó A là ma trận tam giác bình thường.

Ma trận tam giác khi chuyển vị sẽ trở thành ma trận tam giác dưới, và ngược lại.

Định thức và vết của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử chéo. Điều này có thể được chứng minh bởi bất kỳ ma trận tam giác nào Một ma trận $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I-<!--\; -\; -->A$, mà yếu tố quyết định là đa thức đặc trưng của A, cũng là tam giác, các phần tử chéo của A thực chất tạo thành tập hợp các giá trị riêng của A (một giá trị riêng với bội số m xuất hiện đúng m lần trong đường chéo).

Tính chất của ma trận tam giác

Ma trận tương tự như ma trận tam giác được gọi là ma trận tam giác. Điều này đơn giản có thể được hiểu là ma trận tam giác giữ vai trò như ma trận chuẩn, được tạo ra từ cơ sở chuẩn $(e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n)$ và dải kết quả Tất cả các cơ sở được liên hợp (vì nhóm tuyến tính chung hoạt động liên tục trên các cơ sở), do đó, bất kỳ ma trận nào bảo toàn cơ sở đều tương đương với ma trận chuẩn.

Tất cả các ma trận vuông trên các trường phức đều có thể chuyển thành dạng tam giác. Cụ thể, ma trận A trên một trường chứa toàn bộ các giá trị riêng của A (chẳng hạn như ma trận trên một trường đóng đại số) có thể tương đương với ma trận tam giác. Điều này có thể chứng minh qua việc chỉ ra rằng A có một hàm riêng, và thông qua không gian hàm riêng, chứng minh rằng A bảo toàn một cơ sở và do đó có thể chuyển thành ma trận tam giác với cơ sở đó.

Định lý Jordan về dạng chuẩn cung cấp một tuyên bố chính xác hơn, cho thấy rằng trong trường hợp này, A tương đương với một ma trận tam giác với dạng rất đặc biệt. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ma trận tam giác đơn giản thường đã đủ và thường được dùng để chứng minh định lý Jordan về dạng chuẩn.

Trong trường hợp ma trận phức, phép tam giác hóa có thể được diễn đạt rõ hơn. Cụ thể, bất kỳ ma trận vuông A đều có phân rã Schur. Điều này có nghĩa là A có thể được chuyển đổi một cách phi thực tế (tức là, tương đương với ma trận tam giác bằng cách sử dụng ma trận đơn vị để thay đổi cơ sở) thành ma trận tam giác; điều này được chứng minh bằng cách sử dụng một cơ sở Hermitian cho cơ sở đó.

Tam giác hóa đồng thời

Một tập hợp các ma trận $A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k$ được gọi là tam giác hóa đồng thời khi tồn tại một cơ sở sao cho tất cả các ma trận trong tập hợp đều có dạng tam giác trên trong cơ sở đó; hoặc tương đương, nếu chúng có dạng tam giác trên khi biến đổi bởi một ma trận tương tự duy nhất P. Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, ta xem xét đại số mà các ma trận tạo ra, cụ thể là tất cả các đa thức trong $A_i,$ ký hiệu $K[A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k].$ Việc các ma trận này có thể tam giác hóa đồng thời có nghĩa là đại số này có thể chuyển đổi thành tiểu phần Lie của ma trận tam giác trên và tương đương với đại số này là một đại số Lie của một tiểu cơ Borel.

Kết quả cơ bản là (trên một trường đóng đại số), bất kỳ tập hợp ma trận đi lại $A,B$ hay nói chung hơn $A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k$ đồng thời đều có thể tam giác hóa. Điều này được chứng minh bằng cách đầu tiên xác nhận các ma trận đi lại có một hàm riêng, và sau đó xác định kích thước như trước. Kết quả này được chứng minh bởi Frobenius từ năm 1878 cho một cặp ma trận đi lại, như đã được thảo luận về ma trận đi lại. Đối với một ma trận đơn trên số phức, chúng có thể được tam giác hóa bằng các ma trận đơn vị.

Tính khả thi của việc các ma trận đi lại có một hàm riêng chung có thể được giải thích dựa trên Nullstellensatz của Hilbert: các ma trận đi lại tạo thành một đại số giao hoán $K[A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k]$ và kết thúc $K[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k]$ có thể coi như một không gian affine k -chiều, và sự tồn tại của một giá trị riêng chung (và do đó là hàm riêng chung) tương ứng với việc có một điểm (không trống), điều này phản ánh nội dung của (yếu) Nullstellensatz. Trong đại số, các toán tử này tương ứng với đại diện đại số của đại số đa thức trong k biến.

Điều này được tổng quát hóa bởi định lý của Charlie, cho thấy rằng bất kỳ đại diện nào của đại số Lie có thể tam giác hóa đồng thời là tam giác trên, với trường hợp của ma trận đi lại là một ví dụ về đại số Lie abelian, và vì thế mà abelian là một trường hợp đặc biệt có thể giải được.

Nói một cách tổng quát và chính xác hơn, một tập hợp các ma trận $A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k$ sẽ đồng thời là dạng tam giác nếu và chỉ nếu ma trận $p(A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_k)[A_i,A_j]$ là nilpotent đối với mọi đa thức p trong k biến không biến đổi, với $[A_i,A_j]$ là bộ hoán vị; để khi các ma trận $A_i$ cổ góp biến mất để duy trì tính chất này. Điều này đã được chứng minh bởi Drazin, Dungey và Gruenberg vào năm 1951 và được trình bày ngắn gọn trong Prasolov 1994. Nếu các ma trận đồng thời là dạng tam giác, thì $[A_i,A_j]$ cũng sẽ là tam giác hoàn toàn (do đó là nilpotent), điều này được duy trì bằng cách nhân với bất kỳ ma trận $A_k$ hoặc kết hợp chúng - vẫn sẽ có các phần tử bằng 0 trên đường chéo trong cơ sở tam giác hóa.

Khái quát

Vì tích của hai ma trận tam giác trên vẫn giữ dạng tam giác trên, tập hợp các ma trận tam giác trên tạo thành một đại số. Đại số của các ma trận tam giác trên có sự mở rộng tự nhiên trong phân tích chức năng, từ đó sinh ra các đại số tổ trên các không gian Hilbert.

Một ma trận không vuông (hoặc đôi khi bất kỳ ma trận nào) có các số 0 nằm trên (hoặc dưới) đường chéo được gọi là ma trận hình thang (trên) dưới. Những ma trận khác không có hình dạng hình thang.

Nhóm con Borel và nhóm cơ Borel

Nhóm các ma trận tam giác khả nghịch (trên hoặc dưới) của một loại nhất định tạo thành một nhóm Lie, một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát của tất cả các ma trận khả nghịch. Một ma trận tam giác chỉ có thể đảo ngược nếu các mục chéo của nó đều có thể đảo ngược (khác không).

Trong không gian số thực, nhóm này không liên thông, có $2^n$ thành phần tương ứng với các mục nhập chéo dương hoặc âm. Thành phần đặc biệt là ma trận tam giác khả nghịch với các mục dương trên đường chéo, và nhóm của tất cả các ma trận tam giác khả nghịch là một sản phẩm bán dẫn của nhóm này và các mục chéo với $\pm <!--\; \pm \; -->1$ trên đường chéo.

Đại số Lie của nhóm Lie của các ma trận tam giác trên không thể đảo ngược bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên, không nhất thiết phải không thể đảo ngược, và là một đại số Lie có thể giải được. Đây chính là nhóm con Borel B tiêu chuẩn của nhóm Lie GL _n và nhóm con Borel tiêu chuẩn $b$ của đại số Lie gl _n.

Các ma trận tam giác trên chính là các ma trận ổn định cờ tiêu chuẩn. Các nhóm không thể đảo ngược trong số chúng tạo thành một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, với các nhóm con liên hợp là những nhóm xác định bộ ổn định của một số cờ hoàn chỉnh (khác). Những nhóm nhỏ này là nhóm con Borel. Nhóm các ma trận tam giác dưới không thể đảo ngược cũng là một nhóm nhỏ, vì nó là bộ ổn định của cờ tiêu chuẩn liên quan đến cơ sở tiêu chuẩn theo thứ tự ngược lại.

Bộ ổn định của một phần cờ thu được bằng cách quên một số phần của cờ tiêu chuẩn có thể được mô tả là tập hợp các ma trận tam giác khối trên (nhưng không phải tất cả các ma trận tam giác). Các liên hợp của một nhóm như vậy là những nhóm con được định nghĩa là bộ ổn định của một số cờ một phần. Những nhóm nhỏ này được gọi là phân nhóm parabol.

Ví dụ

Nhóm 2 của các ma trận đơn vị 2x2 tương đương với nhóm phụ gia của trường vô hướng; trong số các số phức, nó tương ứng với nhóm các phép biến đổi Möbius parabol; các ma trận đơn vị 3x3 tạo thành nhóm Heisenberg.

Thay thế và quay trở lại

Một phương trình ma trận dưới dạng $Lx=b$ hoặc $Ux=b$ có thể dễ dàng giải quyết bằng phương pháp lặp gọi là thay thế phía trước đối với ma trận tam giác dưới và thay thế ngược đối với ma trận tam giác trên. Quá trình này được gọi như vậy vì đối với các ma trận tam giác dưới, ta tính toán trước $x_1$, sau đó thay thế nó tiến lên vào phương trình tiếp theo để giải $x_2$ và lặp lại cho đến $x_n$. Trong ma trận tam giác trên, quá trình ngược thực hiện việc tính toán trước $x_n$, sau đó thay thế nó trở lại vào phương trình trước để giải $x_{n-<!--\; -\; -->1}$ và lặp lại đến $x_1$.

Lưu ý rằng quá trình này không yêu cầu đảo ngược ma trận.

Thay thế theo chiều tiến

Phương trình ma trận L x = b có thể được diễn tả dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính

Chú ý rằng phương trình đầu tiên (${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_{1,1}{x}_1=b_1$) chỉ liên quan đến $x_1$ và do đó có thể giải quyết trực tiếp giá trị của $x_1$. Phương trình thứ hai liên quan đến $x_1$ và $x_2$ và có thể giải quyết khi đã biết giá trị của $x_1$. Tiếp tục như vậy, phương trình thứ $k$ chỉ liên quan đến $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k$ và có thể giải quyết giá trị của $x_k$ sử dụng các giá trị đã giải quyết trước đó cho $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{k-<!--\; -\; -->1}$.

Các công thức kết quả là:

Một ma trận tam giác trên U có thể được giải quyết theo cách tương tự, nhưng theo hướng ngược lại.

Các ứng dụng

Việc thay thế chuyển tiếp được ứng dụng trong bootstrap tài chính để xây dựng đường cong lợi suất.

• Phép loại trừ Gaussian
• Phân tách QR
• Phân rã Cholesky
• Ma trận Hessenberg
• Ma trận tam giác
• Không gian con bất biến

Ghi chú

Danh mục giải thích