Ma trận trong toán học

Trong toán học, ma trận là một mảng có hình chữ nhật hoặc hình vuông (nếu số hàng bằng số cột) – chứa các số, ký hiệu hoặc biểu thức, được sắp xếp theo hàng và cột. Mỗi phần tử trong ma trận được gọi là phần tử hoặc mục. Ví dụ, ma trận có 2 hàng và 3 cột.

Khi hai ma trận có cùng kích thước (cùng số hàng và số cột), ta có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy nhiên, phép nhân ma trận chỉ khả thi khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ma trận thường được dùng để biểu diễn các phép biến đổi tuyến tính, mở rộng từ hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn bằng ma trận quay R: nếu v là vectơ cột miêu tả vị trí điểm trong không gian, tích của Rv là vectơ cột mô tả vị trí điểm sau phép quay. Tích của hai ma trận biến đổi tạo ra ma trận biểu diễn sự kết hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận là giải các hệ phương trình tuyến tính. Đối với ma trận vuông, có thể xác định một số tính chất của nó qua định thức. Ví dụ, ma trận vuông khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Quan niệm hình học về phép biến đổi tuyến tính có thể được hiểu qua trị riêng và vectơ riêng của ma trận.

Lý thuyết ma trận có ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong các nhánh của vật lý như cơ học cổ điển, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử và điện động lực học lượng tử, ma trận được dùng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý như chuyển động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận hỗ trợ việc chiếu hình ảnh 3D lên màn hình 2D. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, ma trận ngẫu nhiên miêu tả tập hợp xác suất, ví dụ, trong thuật toán PageRank để xếp hạng trang web trên Google. Phép toán ma trận mở rộng các khái niệm giải tích như đạo hàm và hàm mũ cho không gian nhiều chiều.

Một lĩnh vực chính trong giải tích số là phát triển các thuật toán hiệu quả cho tính toán ma trận, một chủ đề có lịch sử lâu dài và hiện vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động. Phương pháp khai triển ma trận giúp đơn giản hóa tính toán cả về lý thuyết và thực hành. Các thuật toán dựa trên cấu trúc của ma trận đặc biệt, như ma trận thưa và ma trận gần chéo, hỗ trợ giải các bài toán trong phương pháp phần tử hữu hạn và các tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể và lý thuyết nguyên tử, ví dụ, ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm tác động đến chuỗi Taylor của hàm số.

Khái niệm

Ma trận là một mảng hình chữ nhật hoặc vuông (ma trận vuông) chứa các số hoặc các đối tượng toán học khác, và có thể định nghĩa các phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận. Ma trận thường gặp trên một trường F là mảng chứa các đại lượng vô hướng từ F. Bài viết này sẽ tập trung vào các ma trận thực và phức, nghĩa là các ma trận có phần tử là số thực hoặc số phức. Các loại ma trận tổng quát hơn sẽ được thảo luận tiếp theo. Ví dụ về ma trận thực:

Các số, ký hiệu hoặc biểu thức nằm trong ma trận được gọi là các phần tử. Những dòng ngang hoặc dọc chứa các phần tử này lần lượt được gọi là hàng và cột.

Kích thước

Kích thước hay cỡ của ma trận được xác định bởi số lượng hàng và cột. Một ma trận có m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, với m và n là các chiều của ma trận. Ví dụ, ma trận A được đề cập là ma trận 3 × 2.

Ma trận với chỉ một hàng được gọi là vectơ hàng, còn ma trận với chỉ một cột được gọi là vectơ cột. Ma trận có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Nếu ma trận có số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) là vô hạn, nó được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số tình huống, như trong đại số máy tính, việc xem xét ma trận không có hàng hoặc không có cột, gọi là ma trận rỗng, có thể hữu ích.

Ghi chép lịch sử

Ma trận đã có lịch sử lâu dài trong việc giải các phương trình tuyến tính, nhưng chúng chỉ được biết đến với tên gọi là mảng cho đến những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật, viết vào khoảng năm 152 TCN, đã đề cập đến phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính, bao gồm khái niệm định thức. Năm 1545, nhà toán học Ý Girolamo Cardano đã giới thiệu phương pháp này vào châu Âu qua cuốn sách Ars Magna. Nhà toán học Nhật Bản Seki đã áp dụng phương pháp mảng để giải hệ phương trình vào năm 1683. Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên thể hiện các biến đổi dưới dạng ma trận trong cuốn sách viết năm 1659, Elements of Curves. Từ năm 1700 đến 1710, Gottfried Wilhelm Leibniz đã công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin, tìm nghiệm và nghiên cứu hơn 50 loại ma trận khác nhau. Quy tắc của Cramer được công bố vào năm 1750.

Thuật ngữ tiếng Anh 'matrix' (từ Latin 'womb', xuất phát từ mater—mẹ) được James Joseph Sylvester đặt ra vào năm 1850, khi ông nhận thấy rằng ma trận là một đối tượng liên quan đến các định thức, mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của các ma trận con thu được bằng cách xóa các hàng và cột từ ma trận gốc. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa 'Ma trận' trong bài viết trước là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, với các định thức khác nhau có thể được sử dụng để xác định định thức của ma trận gốc.

Arthur Cayley đã công bố một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận, mở rộng từ các phép biến đổi quay trước đó. Ông đã định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia trên các ma trận và chứng minh rằng các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn đúng. Cayley nghiên cứu và chứng minh tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận, cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận. Lý thuyết ma trận sơ khai, vốn chỉ giới hạn ở việc sử dụng các mảng và tính định thức, đã được Arthur Cayley cách mạng hóa bằng cách áp dụng các phép toán ma trận trừu tượng cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858, Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913, và ông cũng đã phát minh ra ký hiệu quan trọng A = [a_i,j] để biểu diễn ma trận, trong đó a_i,j là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j.

Nghiên cứu định thức có nguồn gốc từ nhiều lĩnh vực khác nhau. Gauss đã khám phá các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức như x + xy − 2y, và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều thông qua ma trận. Eisenstein đã mở rộng các khái niệm này, với nhận xét hiện đại rằng tích ma trận không có tính giao hoán. Cauchy là người đầu tiên chứng minh các mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa sau cho định thức của ma trận A = [a_i,j]: thay thế lũy thừa a_j bằng a_jk trong đa thức

,

với Π ký hiệu tích của các hệ số đứng đằng sau. Ông cũng đã chứng minh vào năm 1829 rằng các giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực. Jacobi đã nghiên cứu 'định thức hàm', mà sau này được gọi là định thức Jacobi theo cách của Sylvester, ứng dụng để phân tích các biến đổi hình học ở mức cục bộ; bài báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker và Zur Determinantentheorie của Weierstrass, cả hai đều được công bố vào năm 1903, lần đầu tiên coi định thức theo cách tiên đề hóa, trái ngược với phương pháp cụ thể trước đó như trong công thức của Cauchy.

Nhiều định lý ban đầu chỉ áp dụng cho các ma trận nhỏ, chẳng hạn như định lý Cayley–Hamilton, được chứng minh cho ma trận 2×2 bởi Cayley và cho ma trận 4×4 bởi Hamilton. Frobenius, dựa trên các dạng song tuyến tính, đã mở rộng định lý cho tất cả các kích thước vào năm 1898. Cuối thế kỷ 19, phương pháp khử Gauss–Jordan (mở rộng từ phép khử Gauss) được nhà trắc địa Wilhelm Jordan đề xuất. Đầu thế kỷ 20, ma trận đã trở thành trung tâm trong đại số tuyến tính, nhờ ứng dụng của nó trong phân loại hệ thống số siêu phức trong thế kỷ trước.

Sự khởi đầu của cơ học ma trận, do các nhà vật lý Heisenberg, Born và Jordan nêu ra, đã dẫn đến nghiên cứu về ma trận với vô số hàng và cột. Sau đó, von Neumann đã xây dựng phát biểu toán học về cơ học lượng tử, phát triển xa hơn các khái niệm của giải tích hàm như toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert, mà, tóm gọn, tương ứng với không gian Euclide nhưng có vô số chiều độc lập.

Lịch sử việc áp dụng thuật ngữ 'ma trận' trong toán học

Thuật ngữ này đã được hai tác giả quan trọng trong lịch sử, Bertrand Russell và Alfred North Whitehead, sử dụng theo cách không thường thấy. Trong tác phẩm Principia Mathematica (1910–1913), họ đã dùng từ 'ma trận' trong ngữ cảnh của khả năng rút gọn theo các tiên đề. Alfred Tarski cũng đã sử dụng từ 'ma trận' trong cuốn Introduction to Logic năm 1946 của mình để chỉ khái niệm bảng chân trị trong logic toán học.

Ký hiệu

Ma trận thường được biểu diễn trong dấu ngoặc vuông như sau:

Một phương pháp ký hiệu khác là thay dấu ngoặc vuông bằng dấu ngoặc đơn lớn:

Các ký hiệu cho ma trận rất phong phú, với nhiều cách ghi phổ biến. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái hoa (như A trong ví dụ trên), trong khi các phần tử của ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái thường kèm theo chỉ số dưới (như a₁₁ hoặc a_1,1). Bên cạnh việc sử dụng chữ hoa cho ma trận, nhiều tác giả cũng dùng kiểu viết đậm (không nghiêng) để làm nổi bật ma trận so với các đối tượng toán học khác. Một phương pháp khác là dùng ký hiệu với hai đường gạch dưới, có thể kết hợp với kiểu viết đậm, ví dụ $\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{A}}$.

Các phần tử của ma trận có thể được ký hiệu theo nhiều cách khác nhau. Thông thường, phần tử nằm ở hàng i và cột j được ghi là i,j hoặc (i,j), với ký hiệu phổ biến là a_i,j hoặc a_ij. Các cách ký hiệu khác bao gồm A[i,j] hoặc A_i,j. Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận A có thể được viết là 5, hoặc như a₁₃, a_1,3, A[1,3] hoặc A_1,3.

Đôi khi, các phần tử trong ma trận có thể được xác định bằng một công thức như a_i,j = f(i, j). Ví dụ, trong ma trận A dưới đây, mỗi phần tử được xác định theo công thức a_ij = i − j.

Trong trường hợp này, ma trận được xác định bằng công thức cụ thể đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông hoặc ngoặc đơn mở rộng. Ví dụ, ma trận được biểu diễn là A = [i − j], hoặc A = ((i − j)). Nếu ma trận có kích thước m × n, thì công thức trên f(i, j) áp dụng cho bất kỳ i = 1,..., m và bất kỳ j = 1,..., n. Kích thước của ma trận có thể được ghi tách biệt, hoặc được chỉ định bằng cách sử dụng ký hiệu m × n dưới ma trận. Ví dụ, ma trận A ở trên có kích thước 3 × 4 và có thể được ký hiệu là A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1,..., 4), hoặc A = [i − j]_3×4.

Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết mảng hai chỉ số (hoặc mảng của mảng) để đại diện cho ma trận có kích thước m × n. Trong đó, một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu đánh số chỉ số của mảng từ 0, ví dụ như mảng m × n được đánh số từ 0 ≤ i ≤ m − 1 và 0 ≤ j ≤ n − 1. Bài viết này theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu từ 1.

Dấu sao đôi khi được dùng để chỉ toàn bộ các hàng hoặc cột trong ma trận. Ví dụ, a_i,∗ chỉ hàng thứ i của ma trận A, và a_∗,j chỉ cột thứ j của ma trận A. Tập hợp tất cả các ma trận kích thước m×n có thể được ký hiệu là $M(m,n),$ hoặc $R^{m\times <!--\; \times \; -->n}$ cho mọi ma trận.

Các phép toán cơ bản

Có một số phép toán cơ bản áp dụng cho ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân ma trận với một số, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.

Phép cộng, nhân ma trận với một số, và chuyển vị ma trận

Các tính chất tương tự như đối với số thực có thể được mở rộng cho phép toán ma trận. Phép cộng ma trận có tính chất giao hoán, nghĩa là tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự cộng.

A cộng B bằng B cộng A.

(A cộng B) cộng C bằng A cộng (B cộng C)

Phép chuyển vị có thể được kết hợp với phép nhân vô hướng, phép cộng ma trận và phép nhân ma trận.

(cA) = c(A)

(A cộng B) bằng A cộng B

(A) bằng A

(AB) bằng BA

Nhân ma trận

Nhân ma trận chỉ được thực hiện khi số cột của ma trận bên trái tương ứng với số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là ma trận kích thước m × n và B là ma trận kích thước n × p, thì ma trận tích AB sẽ là ma trận kích thước m × p, với các phần tử được tính bằng tích vô hướng của hàng trong A và cột trong B:

$[AB{]}_{i,j}=A_{i,1}{B}_{1,j}+A_{i,2}{B}_{2,j}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_{i,n}{B}_{n,j}=\underset{r=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_{i,r}{B}_{r,j}$,

với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ p. Ví dụ, phần tử gạch chân dưới đây 2340 trong ma trận tích được tính bằng (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

Khi thực hiện phép nhân ma trận, ta có các quy tắc: (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp), và (A+B)C = AC+BC cùng với C(A+B) = CA+CB (luật phân phối). Những quy tắc này chỉ áp dụng khi kích thước của các ma trận thỏa mãn yêu cầu của phép nhân. Điều này có nghĩa là tích AB có thể thực hiện được trong khi BA không chắc chắn có thể thực hiện, tức là nếu A có kích thước m-x-n và B có kích thước n-x-k, và m ≠ k. Ngay cả khi cả hai phép nhân này đều hợp lệ, chúng vẫn có thể không bằng nhau.

AB ≠ BA,

vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán, khác với các trường số (hữu tỉ, thực, hay phức) mà phép nhân của các số không bị ảnh hưởng bởi thứ tự. Một ví dụ về việc phép nhân ma trận không giao hoán là:

trong khi

$$

[ 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 3 4 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}

Bên cạnh phép nhân ma trận thường thấy, còn có những phép toán ít phổ biến hơn nhưng cũng được xem là phép nhân ma trận, như tích Hadamard và tích Kronecker. Những phép toán này thường xuất hiện trong các phương trình ma trận, chẳng hạn như phương trình Sylvester.

Phép toán hàng

Có ba loại phép toán hàng trong ma trận:

1. cộng hàng, nghĩa là cộng các hàng với nhau;
2. nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một số khác 0;
3. chuyển hàng, đổi chỗ hai hàng trong ma trận;

Những phép toán này thường được sử dụng trong các lĩnh vực như giải phương trình tuyến tính và tính toán ma trận nghịch đảo.

Ma trận con

Ma trận con của một ma trận được tạo ra bằng cách loại bỏ một số hàng và cột. Ký hiệu của ma trận con là M_ij, trong đó i là chỉ số hàng bị loại bỏ và j là chỉ số cột bị loại bỏ. Ví dụ, từ một ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2x3 bằng cách xóa hàng thứ 3 và cột thứ 2.

Để tính định thức con và phần phụ đại số của ma trận, bạn cần tính định thức của một số ma trận con nhất định.

Ma trận con chính là ma trận con vuông được tạo ra bằng cách loại bỏ một số hàng và cột. Các định nghĩa khác nhau của ma trận con chính có thể thay đổi tùy theo tác giả. Một số tác giả định nghĩa ma trận con chính là ma trận con với tập chỉ số hàng còn lại tương ứng với tập chỉ số cột còn lại. Một số khác cho rằng ma trận con chính là ma trận con có k hàng và cột đầu tiên, với các giá trị k, sau khi xóa hàng hoặc/và cột; loại ma trận này cũng được gọi là ma trận con chính trước (leading principal submatrix).

Phương trình tuyến tính

Ma trận thường được sử dụng để biểu diễn và phân tích phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu A là ma trận có kích thước mxn, x là vectơ cột (ma trận n×1) chứa n biến x₁, x₂,..., x_n, và b là vectơ cột kích thước m×1, thì phương trình ma trận sẽ được viết như sau:

$Ax=b$

tương đương với một hệ phương trình tuyến tính

Sử dụng ma trận giúp đơn giản hóa cách viết các phương trình tuyến tính, tránh việc phải viết từng phương trình riêng biệt. Nếu n bằng m và các phương trình độc lập, ta có thể giải quyết bài toán bằng cách viết

$x=A^{-<!--\; -\; -->1}b$

trong đó A là ma trận có thể đảo ngược. Nếu A không có ma trận nghịch đảo, các giải pháp — nếu tồn tại — có thể được áp dụng thông qua việc sử dụng ma trận giả nghịch đảo.

Biến đổi tuyến tính

Ma trận và phép nhân ma trận phản ánh các đặc điểm cơ bản của chúng khi được liên hệ với biến đổi tuyến tính, hay còn gọi là ánh xạ tuyến tính.Một ma trận thực mxn A thể hiện phép biến đổi tuyến tính R → R, ánh xạ mỗi vectơ x trong R thành tích (hoặc ma trận) Ax, mà là một vectơ trong R. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính f: R → R có thể được biểu diễn bởi một ma trận duy nhất A mxn: cụ thể, phần tử (i, j) của A là tọa độ thứ i của f(e_j), với e_j = (0,...,0,1,0,...,0) là vectơ đơn vị có giá trị 1 tại vị trí thứ j và 0 ở các vị trí còn lại. Ma trận A được gọi là biểu diễn của ánh xạ tuyến tính f, và A là ma trận biến đổi của f.

Chẳng hạn, ma trận vuông 2×2

Có thể xem đây là phép biến đổi từ hình vuông đơn vị thành một hình bình hành với các đỉnh nằm tại (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), và (c, d). Hình bình hành trong hình minh họa bên cạnh được tạo ra bằng cách nhân A với từng vectơ cột $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ và $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$. Những vectơ này xác định các đỉnh của hình vuông đơn vị sau khi biến đổi.

Bảng dưới đây trình bày một số ma trận thực 2 × 2 liên quan đến ánh xạ tuyến tính của R. Hình màu xanh dương ban đầu được ánh xạ thành hình màu xanh lá cây. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu bằng điểm màu đen.

Đặt ma trận và ánh xạ tuyến tính tương ứng một-một, phép nhân ma trận tương đương với việc kết hợp các ánh xạ: nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: R → R, thì hợp của g ∘ f được biểu diễn bởi BA vì

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Phương trình cuối cùng xuất phát từ tính chất kết hợp của phép nhân ma trận.

Hạng của ma trận A là số lượng tối đa các vectơ hàng độc lập tuyến tính của ma trận, và cũng là số lượng tối đa các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó. Hạng của ma trận tương đương với chiều Hamel của ảnh ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi A. Định lý về hạng và số chiều của hạch cho biết số chiều của hạch (kernel) cộng với hạng của ma trận bằng số cột của ma trận.

Ma trận hình vuông

Ma trận hình vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Một ma trận nxn còn được gọi là ma trận hình vuông bậc n. Hai ma trận hình vuông có cùng bậc có thể thực hiện phép cộng và phép nhân với nhau. Các phần tử a_ii tạo thành đường chéo chính của ma trận hình vuông, nằm dọc theo một đoạn thẳng tưởng tượng từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải của ma trận.

Các loại ma trận đặc biệt

Tên	Ví dụ với n = 3
Ma trận chéo
Ma trận tam giác dưới
Ma trận tam giác trên

Nếu tất cả các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận A bằng 0, thì ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên. Ngược lại, nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A bằng 0, thì A là ma trận tam giác dưới. Nếu tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận đường chéo.

Ma trận đơn vị I_n có kích thước n là một ma trận nxn với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ví dụ:

Đây là một ma trận vuông bậc n và là một dạng đặc biệt của ma trận đường chéo. Nó được gọi là ma trận đơn vị vì khi nhân với bất kỳ ma trận nào, kết quả sẽ là chính ma trận đó:

AI_n = I_mA = A với ma trận A bất kỳ có kích thước mxn.

Một bội số vô hướng khác không của ma trận đơn vị được gọi là ma trận vô hướng (scalar matrix). Nếu các phần tử của ma trận đến từ một trường, thì ma trận vô hướng tạo thành một nhóm dưới phép nhân ma trận, nhóm này đồng cấu với nhóm các phần tử khác không của trường.

Ma trận vuông A nếu bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là A = A, thì được gọi là ma trận đối xứng. Nếu A bằng với âm của ma trận chuyển vị của nó, tức là A = −A, thì A là ma trận phản đối xứng. Với ma trận phức, khái niệm ma trận đối xứng thường được thay thế bằng ma trận Hermite, thỏa mãn A = A, trong đó dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, nghĩa là chuyển vị của A sau đó là liên hợp phức của các phần tử ma trận chuyển vị.

Theo định lý phổ (spectral theorem), ma trận đối xứng với các phần tử thực và ma trận Hermite với các phần tử phức có thể được biểu diễn bằng một cơ sở riêng biệt; tức là, mỗi vectơ có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều là số thực. Định lý này có thể được mở rộng cho ma trận vô hạn chiều, tham khảo dưới đây.

Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn tại một ma trận B sao cho

AB = BA = I_n.

Nếu ma trận B tồn tại, nó là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A⁻¹.

Ma trận nghịch đảo có các đặc điểm sau:

(A)⁻¹ = A⁻¹

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

(A⁻¹)⁻¹ = A

Ma trận đối xứng kích thước n×n được gọi là xác định dương (hoặc xác định âm; không xác định) nếu với mọi vectơ khác 0 x ∈ R, hàm số bậc hai xác định bởi

Q(x) = xᵀAx

Nếu dạng toàn phương chỉ nhận các giá trị dương (hoặc chỉ nhận các giá trị âm; hoặc nhận cả giá trị âm và dương), thì ma trận đối xứng được gọi là xác định dương (hoặc xác định âm; hoặc không xác định). Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (hoặc không dương), ma trận đối xứng được gọi là bán xác định dương (hoặc bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi không thuộc loại bán xác định dương hay bán xác định âm.

Ma trận đối xứng được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu tất cả các trị riêng của nó đều dương, hoặc nếu ma trận đó là bán xác định dương và đồng thời khả nghịch. Bảng dưới đây minh họa hai trường hợp cho ma trận 2x2.

Ma trận xác định A cho phép biểu diễn dạng song tuyến tính khi kết hợp hai vectơ khác nhau như sau:

B_A (x, y) = xᵀAy.

Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho các cột và hàng là các vectơ đơn vị trực giao, tức là các vectơ trực chuẩn. Hay nói một cách khác, ma trận A được gọi là trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:

$A^T=A^{-<!--\; -\; -->1},$

với

$A^{T}A=A{A}^T=I_n,$

với I_n là ma trận đơn vị.

Ma trận trực giao A cần phải đáp ứng các điều kiện sau: khả nghịch (theo định nghĩa A = A), unita (A = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*). Định thức của bất kỳ ma trận trực giao nào luôn bằng +1 hoặc −1. Một ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng +1. Trong trường hợp biến đổi tuyến tính, mọi ma trận trực giao với định thức bằng +1 thể hiện phép quay thuần túy không có phản chiếu, tức là, phép biến đổi này bảo toàn định hướng của cấu trúc đã thay đổi, trong khi các ma trận trực giao có định thức bằng −1 đại diện cho phép phản xạ thuần túy hoặc là sự kết hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng 1 và thực hiện phép quay thuần túy với góc bằng 0.

Tương tự như vậy, số phức của ma trận trực giao là một ma trận unita.

Các phép toán chính

Vết của ma trận, ký hiệu tr(A), là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông A. Dù phép nhân ma trận không có tính giao hoán, vết của tích hai ma trận vẫn không phụ thuộc vào thứ tự nhân của chúng:

tr(AB) = tr(BA).

Điều này có thể được suy luận trực tiếp từ định nghĩa của phép nhân ma trận.

$\mathrm{tr}<!--\; \; -->\left(AB\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}{b}_{ji}=\mathrm{tr}<!--\; \; -->\left(BA\right).$

Do đó, vết của kết quả khi nhân nhiều ma trận không thay đổi khi thay đổi vòng các ma trận, tuy nhiên, điều này không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ thực tế, tr(ABC) ≠ tr(BAC)). Hơn nữa, vết của một ma trận luôn bằng vết của ma trận chuyển vị của nó, tức là

tr(A) = tr(A).

Định thức của ma trận vuông (ký hiệu là det(A) hoặc |A|) là một số đặc trưng cho các tính chất của ma trận đó. Ma trận có thể đảo ngược được nếu và chỉ nếu định thức của nó khác 0. Giá trị tuyệt đối của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong R) hoặc thể tích (trong R) của hình vuông đơn vị (hoặc hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó phản ánh hướng của ánh xạ tuyến tính: định thức dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.

Công thức tính định thức của ma trận 2 x 2 là

Định thức của ma trận 3 x 3 bao gồm 6 thành phần (hay quy tắc Sarrus). Công thức Leibniz mở rộng hai công thức này cho mọi kích thước của ma trận.

Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của các ma trận đó:

det(AB) = det(A) • det(B).

Khi cộng bội của một hàng vào một hàng khác, hoặc cộng bội của một cột vào một cột khác, định thức không bị thay đổi. Việc hoán đổi hai hàng hoặc hai cột làm thay đổi định thức bằng cách nhân nó với −1. Bằng cách áp dụng các quy tắc này, bất kỳ ma trận vuông nào có thể được chuyển thành ma trận tam giác dưới (hoặc trên), và đối với ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này cung cấp một cách tính định thức của bất kỳ ma trận vuông nào.

Cuối cùng, khai triển Laplace biểu diễn định thức thông qua các phần phụ đại số, tức là định thức của các ma trận nhỏ hơn. Phương pháp khai triển này có thể được sử dụng để định nghĩa định thức theo phương pháp đệ quy (bắt đầu với định thức của ma trận 1 x 1, có một phần tử duy nhất, hoặc thậm chí định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa là 1), điều này có thể coi là tương đương với công thức Leibniz. Định thức còn có ứng dụng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng quy tắc Cramer, với thương của hai định thức của hai ma trận liên quan cho giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình. Khai triển Laplace cho ma trận bất kỳ như sau:

$|A|=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j}|C_{i,j}|=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j}|C_{i,j}|$

với $|C_{i,j}|=(-<!--\; -\; -->1{)}^{(i+j)}|M_{i,j}|$

Các tính chất của định thức bao gồm:

|A| = |A|

Đảo vị trí hai hàng trong ma trận làm thay đổi dấu của định thức

Nhân một hàng của ma trận với một số n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần

Thay thế một hàng của ma trận bằng cách cộng với một bội của một hàng khác không làm thay đổi giá trị định thức

Nếu một hàng là bội của một hàng khác thì định thức của ma trận sẽ bằng 0

Ma trận nghịch đảo của A tồn tại chỉ khi |A| khác 0. Công thức để tính ma trận nghịch đảo như sau:

$A^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{|A|}adjA$

với

Một số λ và một vectơ khác 0 v thỏa mãn

$Av=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}v$

được gọi lần lượt là trị riêng và vectơ riêng của A. Một số λ được xem là trị riêng của ma trận n×n A nếu và chỉ nếu ma trận A−λI_n không khả nghịch, điều này đồng nghĩa với

$det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)=0.$

Đa thức p_A với biến không xác định X, được tìm bằng cách khai triển định thức det(XI_n−A), gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Đây là một đa thức lồi (monic polynomial) có bậc n. Do đó, phương trình đa thức p_A(λ) = 0 có thể có tối đa n nghiệm khác nhau, tức là các trị riêng của ma trận. Chúng có thể là số phức mặc dù các phần tử trong A là thực. Theo định lý Cayley–Hamilton, p_A(A) = 0, có nghĩa là khi thay thế ma trận vào chính đa thức đặc trưng của nó, ta thu được ma trận không.

Khía cạnh tính toán

Để tính toán các đặc tính của ma trận, có thể áp dụng nhiều kỹ thuật khác nhau. Các vấn đề thường được giải quyết thông qua các thuật toán trực tiếp hoặc phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của ma trận vuông bằng cách tính toán chuỗi vectơ x_n hội tụ về vectơ riêng khi n tiến tới vô cùng.

Để lựa chọn thuật toán phù hợp nhất cho từng vấn đề cụ thể, điều quan trọng là đánh giá cả độ chính xác và hiệu quả của từng thuật toán khả thi. Nghiên cứu các khía cạnh này thuộc lĩnh vực đại số tuyến tính số học (numerical linear algebra). Đối với các vấn đề tính toán khác, hai yếu tố chính cần cân nhắc là độ phức tạp của thuật toán và sự ổn định số học của nó.

Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là ước lượng số lượng thao tác cơ bản như phép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, chẳng hạn như nhân hai ma trận. Ví dụ, việc tính tích của hai ma trận kích thước n x n theo định nghĩa trên yêu cầu n phép nhân, vì mỗi phần tử của ma trận kết quả cần n phép nhân. Thuật toán Strassen cải thiện hơn so với thuật toán 'thô' này, vì nó chỉ cần n phép nhân. Các phương pháp tinh vi hơn thường khai thác đặc điểm của thiết bị tính toán.

Trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta có thêm thông tin về các ma trận tham gia vào phép tính. Một ví dụ đặc biệt là 'ma trận thưa' (sparse matrix), tức là ma trận có phần lớn các phần tử bằng 0. Có các thuật toán đặc biệt để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với các ma trận thưa A, chẳng hạn như phương pháp gradient liên hợp (conjugate gradient method).

Nói một cách đơn giản, một thuật toán được coi là ổn định số học (numerically stable) nếu những sai số nhỏ trong đầu vào không gây ra sự thay đổi lớn trong kết quả. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận bằng công thức Laplace (Adj (A) là ma trận phụ hợp của A)

A = adj(A) / det(A)

Sai số lớn có thể xảy ra do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Để quản lý điều kiện của các vấn đề đại số tuyến tính như tính ma trận nghịch đảo, ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng.

Hầu hết các ngôn ngữ lập trình máy tính đều hỗ trợ mảng nhưng thường không cung cấp lệnh tích hợp cho ma trận. Thay vào đó, các thư viện bên ngoài cung cấp các phép toán ma trận trên mảng trong hầu hết các ngôn ngữ lập trình hiện nay. Việc thao tác với ma trận là một trong những ứng dụng sớm nhất của máy tính. Dartmouth BASIC từ thế hệ thứ 2 vào năm 1964 đã tích hợp các lệnh số học ma trận trên mảng. Từ những năm 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như HP 9830 có hộp ROM để thêm lệnh BASIC cho ma trận. Một số ngôn ngữ như APL được thiết kế đặc biệt để thao tác ma trận và các phần mềm toán học khác nhau có thể hỗ trợ tính toán ma trận.

Phân tích ma trận

Có nhiều phương pháp để chuyển ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn, được gọi là phân tích ma trận hoặc nhân tử hóa ma trận. Các nhà toán học quan tâm đến các kỹ thuật này vì chúng bảo tồn các đặc tính nhất định của ma trận như định thức, hạng hay nghịch đảo trong quá trình biến đổi, giúp tính toán dễ dàng hơn hoặc tối ưu hóa tính toán cho các ma trận đặc biệt.

Phương pháp phân tích LU chia ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) và một ma trận tam giác trên (U). Phương pháp này giúp giải hệ phương trình tuyến tính hiệu quả hơn qua các kỹ thuật thay thế tiến và lùi. Tính nghịch đảo của ma trận tam giác cũng đơn giản hơn so với ma trận tổng quát. Phép khử Gauss biến đổi ma trận thành dạng hàng bậc thang. Cả hai phương pháp sử dụng nhân ma trận với các ma trận cơ sở hoặc các ma trận thu được từ việc hoán vị hàng hoặc cột và cộng thêm một số bội số của hàng này vào hàng khác. Kỹ thuật phân tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ A thành tích của UDV, với U và V là các ma trận đơn vị và D là ma trận chéo hóa.

Việc phân tích ma trận thành ma trận chỉ chứa các giá trị riêng (eigendecomposition) hay chéo hóa cho phép biểu diễn A dưới dạng tích VDV, với D là ma trận chéo và V là một ma trận khả nghịch tương ứng. Nếu ma trận A có thể viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Phép phân tích Jordan mở rộng khả năng của phân tích này cho mọi ma trận, biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), nơi chỉ những phần tử khác 0 trên đường chéo chính là các giá trị riêng λ₁ đến λ_n của A, và có thể có các phần tử nằm ngay trên đường chéo chính đều bằng 1 như thể hiện trong hình. Dựa trên kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc n của A (tức là nhân ma trận A với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua

A = (VDV) = VDVVDV...VDV = VDV

Lũy thừa của ma trận đường chéo được tính dễ dàng hơn bằng cách lấy lũy thừa của các phần tử trên đường chéo chính, so với việc thực hiện nhân ma trận A nhiều lần. Phương pháp này cũng hữu ích trong việc tính toán lũy thừa ma trận (matrix exponential) e, mà thường xuất hiện khi giải các phương trình vi phân tuyến tính, cũng như trong việc tính logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix). Để giảm thiểu sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học khuyến khích sử dụng các thuật toán nâng cao như phân tích Schur.

Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa

Các nhà toán học đã mở rộng khái niệm ma trận theo nhiều cách khác nhau. Đại số trừu tượng xem ma trận như những phần tử thuộc các cấu trúc tổng quát hơn như trường hay vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa các thuộc tính của ma trận dưới dạng các ánh xạ tuyến tính. Ma trận có thể được coi như có vô số hàng và cột. Một mở rộng khác là tenxơ, được xem như là những mảng nhiều chiều chứa các số, khác với vectơ vì vectơ là dãy số, còn ma trận là mảng hai chiều. Những ma trận với các tính chất đặc biệt thường tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận. Trong những điều kiện nhất định, ma trận có thể được gọi là vành ma trận nếu nó thỏa mãn các đặc điểm của vành. Mặc dù tích ma trận không luôn giao hoán, một số ma trận có thể tạo thành trường gọi là trường ma trận.

Ma trận với các phần tử mở rộng

Bài viết này chủ yếu đề cập đến ma trận với phần tử là số thực hoặc số phức. Tuy nhiên, ma trận có thể chứa các phần tử tổng quát hơn như số thực hay số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa là sử dụng bất kỳ trường toán học nào có thể thực hiện phép cộng, trừ, nhân, và chia thay cho R hoặc C, chẳng hạn như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét đến trị riêng, chúng là nghiệm của đa thức có thể tồn tại trong trường lớn hơn trường của phần tử ma trận; ví dụ, chúng có thể là số phức trong trường hợp ma trận có phần tử thực. Khả năng giải thích lại các phần tử của ma trận như là phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ, coi ma trận thực như ma trận phức khi các phần tử của nó là thực) giúp mỗi ma trận vuông có đầy đủ các giá trị riêng. Nói cách khác, ma trận chỉ có thể được coi thuộc một trường đóng đại số, như C, từ một tập hợp ngoài.

Trong đại số trừu tượng, khái niệm ma trận được mở rộng với các phần tử thuộc một vành R. Vành là khái niệm tổng quát hơn trường và không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng theo thuộc tính này. Tập hợp M(n, R) của các ma trận vuông n x n trên R tạo thành vành ma trận, đẳng cấu với vành tự đồng cấu của R-mô đun R bên trái. Nếu vành R là giao hoán, tức là phép nhân của nó là giao hoán, thì M(n, R) là đại số kết hợp không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn được xác định bằng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, và được mở rộng cho trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch. Ma trận trên siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).

Ma trận không nhất thiết phải có toàn bộ phần tử thuộc cùng một vành, hoặc ngay cả vành bất kỳ nào. Một ví dụ điển hình là ma trận khối (block matrix), có thể xem như ma trận với phần tử là các ma trận con. Các phần tử này không cần phải là ma trận toàn phương và không cần thuộc một vành thông thường, nhưng kích thước của chúng phải đáp ứng các điều kiện nhất định.

Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính từ R đến R tương đương với ma trận có kích thước m x n, như đã đề cập trên đây. Một cách tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào f: V → W giữa hai không gian vectơ hữu hạn đều có thể được biểu diễn bằng ma trận A = (a_ij), sau khi chọn cơ sở v₁,..., v_n của V, và w₁,..., w_m của W (với n là số chiều của V và m là số chiều của W), sao cho

$f\left(v_j\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j}{w}_i\text{khi }j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$

Nói cách khác, cột j của ma trận A biểu thị ảnh của v_j dưới các vectơ cơ sở w_i của W; do đó, mối liên hệ này xác định duy nhất các phần tử của ma trận A. Lưu ý rằng ma trận phụ thuộc vào việc chọn cơ sở: nếu chọn cơ sở khác, ta sẽ có ma trận khác nhưng vẫn tương đương. Nhiều khái niệm cụ thể nêu trên có thể được giải thích theo cách này, chẳng hạn như ma trận chuyển vị A, miêu tả sự chuyển vị của ánh xạ tuyến tính được cho bởi A, liên quan đến cơ sở đối ngẫu.

Những đặc tính này có thể được phát biểu lại theo cách rõ ràng hơn: phạm trù của tất cả ma trận với phần tử thuộc một trường $k$ trang bị phép nhân như một tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và các ánh xạ trên trường đó.

Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận có kích thước m×n có thể được sử dụng để mô tả các ánh xạ tuyến tính giữa các mô đun tự do R và R trong một vành R với phần tử đơn vị. Khi số lượng các ánh xạ này bằng n = m, chúng tạo thành vành ma trận của các ma trận n×n, đại diện cho vành tự đẳng cấu của R.

Nhóm ma trận

Nhóm là một cấu trúc toán học bao gồm một tập hợp các đối tượng cùng với một phép toán nhị phân, nghĩa là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ để tạo ra một đối tượng thứ ba, và tuân thủ những quy tắc nhất định. Một nhóm mà trong đó các đối tượng là ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là nhóm ma trận. Trong nhóm, mỗi phần tử phải có phần tử nghịch đảo của nó, và nhóm ma trận tổng quát nhất là nhóm bao gồm tất cả các ma trận khả nghịch với số chiều nhất định, còn gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.

Mọi tính chất của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo đều có thể được dùng để định nghĩa một nhóm ma trận. Ví dụ, các ma trận có kích thước nhất định và định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. Ma trận trực giao được xác định bởi điều kiện

MM = I,

Nhóm trực giao bao gồm các ma trận có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao với định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là nhóm trực giao đặc biệt.

Mỗi nhóm hữu hạn có thể được biểu diễn như một nhóm ma trận, là một cách diễn giải chính quy của nhóm đối xứng. Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu qua nhóm ma trận, một khái niệm mà các nhà đại số đã hiểu sâu nhờ lý thuyết biểu diễn.

Ma trận vô hạn

Ma trận có thể có vô số hàng và/hoặc cột, và mặc dù chúng là các đối tượng vô hạn, chúng ta không thể viết chúng ra một cách rõ ràng. Điều quan trọng là mỗi phần tử trong tập chỉ mục hàng và cột đều có một giá trị được xác định. Các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn có thể thực hiện được; tuy nhiên, phép nhân ma trận có thể yêu cầu tổng vô hạn để xác định các mục nhập, điều này thường không được định nghĩa rõ ràng.

Nếu R là một vành với phần tử đơn vị, thì vành của các biến thể $M=\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{⨁<!--\; ⨁\; -->}R$ như một mô-đun bên phải R tương đương với vòng các ma trận hữu hạn cột ${CFM}_I\left(R\right)$ với các mục nhập được chỉ mục bởi $I\times <!--\; \times \; -->I$, và mỗi cột chỉ có số lượng hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của M được coi là mô-đun R bên trái trong một đối tượng tương tự, ma trận hữu hạn hàng ${RFM}_I\left(R\right)$ mà mỗi hàng chỉ có số lượng hữu hạn mục nhập khác 0.

Khi sử dụng ma trận vô hạn để mô tả ánh xạ tuyến tính, chỉ những ma trận với cột có số mục khác 0 hữu hạn mới phù hợp. Để ma trận A mô tả ánh xạ tuyến tính f: V→W, cần chọn cơ sở cho cả hai không gian. Theo định nghĩa, mọi vectơ trong không gian có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các vectơ cơ sở, tức là vectơ cột  v chỉ có số hữu hạn mục nhập khác 0. Các cột của A mô tả hình ảnh của các vectơ cơ sở của V trong cơ sở của W, điều này chỉ có ý nghĩa khi các cột này chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Tuy nhiên, các hàng của A không bị hạn chế; trong kết quả A·v, chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của v được tính đến, do đó mỗi mục nhập được xác định rõ ràng. Điều này dẫn đến việc hình thành tổ hợp tuyến tính của các cột A mà chỉ có hữu hạn cột liên quan, kết quả là số mục nhập khác 0 hữu hạn.

Khi R là một vành định mức, điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn mới, các chuỗi hội tụ hoàn toàn có thể thay thế cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận với tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối hình thành một vành. Tương tự, ma trận với tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.

Ma trận vô hạn cũng có thể được sử dụng để mô tả các toán tử trên không gian Hilbert, nơi các vấn đề về hội tụ và liên tục xuất hiện, đòi hỏi một số ràng buộc nhất định. Tuy nhiên, việc mô tả ma trận có thể làm phức tạp vấn đề, và các công cụ trừu tượng mạnh mẽ hơn từ Giải tích hàm thường được sử dụng thay thế.

Ma trận rỗng

Ma trận rỗng là ma trận có số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0. Khái niệm này hữu ích trong các ánh xạ liên quan đến không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu A là ma trận 3 x 0 và B là ma trận 0 x 3, thì AB là ma trận không 3 x 3 đại diện cho ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều V vào chính nó, trong khi BA là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các hệ thống đại số máy tính hỗ trợ việc tạo và tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 được định nghĩa là 1, do tích rỗng xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức, và điều này cũng phù hợp với việc ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều vào chính nó có định thức bằng 1, một kết quả thường được xem là đặc trưng của định thức.

Ứng dụng

Ma trận có vô số ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Chúng thường được sử dụng để biểu diễn tập hợp số một cách ngắn gọn. Ví dụ, trong lý thuyết trò chơi và kinh tế học, ma trận tiền trả chứa các khoản tiền trả của hai người chơi, phụ thuộc vào các lựa chọn mà họ đưa ra. Khai thác văn bản và các hệ thống biên tập tự động sử dụng ma trận phần tử văn bản như tf-idf để đánh dấu tần suất xuất hiện của các từ trong các tài liệu khác nhau.

Số phức có thể được biểu diễn thông qua một ma trận thực 2 x 2 như dưới đây

Phép cộng và nhân của mỗi số phức tương ứng với phép cộng và nhân của mỗi ma trận. Ví dụ, ma trận quay 2 x 2 biểu diễn phép nhân với số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1, như đã nêu trên. Cách giải thích này cũng áp dụng cho quaternion và đại số Clifford nói chung.

Những kỹ thuật mã hóa ban đầu như mật mã Hill cũng dựa trên lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, do tính chất tuyến tính của ma trận, các mã này khá dễ bị phá. Đồ họa máy tính sử dụng ma trận để biểu diễn và tính toán sự biến đổi của các đối tượng, sử dụng ma trận quay aphin để chiếu một vật thể ba chiều lên màn hình hai chiều, tương ứng với góc nhìn của một camera. Ma trận trên một vành đa thức có vai trò quan trọng trong lý thuyết điều khiển.

Trong hóa học, ma trận được áp dụng theo nhiều cách, đặc biệt từ khi cơ học lượng tử được sử dụng để nghiên cứu liên kết phân tử và phổ học. Ví dụ bao gồm ma trận đan xen và ma trận Fock, được sử dụng để giải phương trình Roothaan nhằm tìm ra obitan phân tử theo phương pháp Hartree–Fock.

Lý thuyết đồ thị

Ma trận kề của một đồ thị hữu hạn là khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Nó cho biết liệu hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị (1 và 0 lần lượt nghĩa là 'có' và 'không') được gọi là ma trận lôgic. Ma trận khoảng cách chứa thông tin về khoảng cách giữa các đỉnh. Những khái niệm này được áp dụng cho các website được kết nối bởi siêu liên kết hoặc các thành phố được kết nối bằng đường, mà trong hầu hết các trường hợp (ngoại trừ mạng lưới rất dày đặc) ma trận thường thưa, chỉ chứa vài phần tử khác 0. Do đó, các thuật toán ma trận sửa đổi có thể áp dụng cho lý thuyết mạng.

Giải tích và hình học

Ma trận Hesse của một hàm khả vi ƒ: R → R chứa các đạo hàm bậc hai của ƒ với các thành phần tọa độ, tức là

$H\left(f\right)=\left[\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}\right].$

Ma trận này mã hóa thông tin về sự biến thiên cục bộ của hàm số: tại điểm tới hạn x = (x₁, ..., x_n), nơi mà đạo hàm riêng bậc nhất $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i$ của ƒ bằng 0, hàm số đạt giá trị cực tiểu nếu ma trận Hess là xác định dương. Quy hoạch toàn phương có thể được sử dụng để tìm cực tiểu hoặc cực đại toàn cục của các hàm số toàn phương liên hệ mật thiết với ma trận của chúng (xem ở trên).

Một ma trận phổ biến trong hình học là ma trận Jacobi của ánh xạ khả vi f: R → R. Nếu f₁,..., f_m là các thành phần của f, ma trận Jacobi được định nghĩa bởi

$J\left(f\right)={\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}\right]}_{1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->m,1\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->n}.$

Nếu n > m, và hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị tối đa bằng m, thì theo định lý hàm ẩn, f là hàm khả nghịch tại điểm đó.

Các nhà toán học phân loại phương trình đạo hàm riêng dựa trên ma trận các hệ số của toán tử vi phân bậc cao nhất trong phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng eliptic, ma trận này là xác định dương và có vai trò quyết định trong việc xác định tập nghiệm khả dĩ.

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được sử dụng rộng rãi trong mô phỏng các hệ thống thực phức tạp. Phương pháp này ước lượng nghiệm bằng cách chia phương trình thành các hàm tuyến tính, với điều kiện lưới đủ mịn để viết phương trình dưới dạng ma trận.

Xác suất và thống kê lý thuyết

Ma trận của quá trình ngẫu nhiên là ma trận vuông có các hàng là các vectơ xác suất, nghĩa là vectơ có các phần tử không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được dùng để xác định chuỗi Markov với các trạng thái hữu hạn. Một hàng của ma trận ngẫu nhiên biểu diễn phân phối xác suất của vị trí tiếp theo của một số hạt ở trạng thái tương ứng với hàng đó. Các tính chất của chuỗi Markov, như điểm hấp dẫn (attractor), những trạng thái mà các hạt cuối cùng sẽ đạt tới, có thể được suy ra từ các vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp.

Lý thuyết thống kê cũng sử dụng ma trận ở nhiều dạng khác nhau. Thống kê mô tả liên quan đến tập dữ liệu được biểu diễn bằng các ma trận dữ liệu, sau đó các nhà thống kê áp dụng các kỹ thuật 'giảm số biến' (dimensionality reduction) để phân tích các ma trận này. Ma trận hiệp phương sai mã hóa phương sai tương hỗ của các biến ngẫu nhiên. Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận bao gồm bình phương tối thiểu, một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn các cặp điểm (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (x_N, y_N), bằng một hàm tuyến tính

y_i ≈ ax_i + b, i = 1,..., N do chúng có thể được diễn đạt bằng ngôn ngữ của lý thuyết ma trận, liên quan đến kỹ thuật phân tích ma trận giá trị riêng đặc biệt (singular value decomposition).

Ma trận ngẫu nhiên là ma trận chứa các phần tử là số ngẫu nhiên, thích hợp cho việc nghiên cứu tính chất phân bố xác suất, chẳng hạn như ma trận phân bố chuẩn. Ngoài lý thuyết xác suất, chúng còn được sử dụng trong các lĩnh vực từ lý thuyết số đến vật lý học.

Đối xứng và biến đổi trong vật lý học

Các biến đổi tuyến tính và đối xứng liên quan đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Chẳng hạn, các hạt cơ bản trong lý thuyết trường lượng tử được phân loại nhờ biểu diễn của nhóm Lorentz trong thuyết tương đối hẹp và, cụ thể hơn, bởi cách chúng biến đổi dưới nhóm spin. Các biểu diễn cụ thể bao gồm ma trận Pauli và ma trận gamma tổng quát, là phần tích hợp của miêu tả vật lý đối với fermion, hoạt động như spinor. Đối với ba loại quark nhẹ nhất, chúng có thể được biểu diễn bằng nhóm unita đặc biệt SU(3); các nhà vật lý sử dụng ma trận biểu diễn gọi là ma trận Gell-Mann trong các tính toán liên quan, ma trận này cũng được dùng cho nhóm chuẩn SU(3), trở thành cơ sở của lý thuyết mô tả về tương tác mạnh, sắc động lực học lượng tử. Ma trận Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, biểu diễn trạng thái cơ bản của các quark khi tham gia vào tương tác yếu, không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản của các quark, xác định nên hạt tổ hợp với tính chất và khối lượng cụ thể.

Tổ hợp tuyến tính của trạng thái lượng tử

Mô hình cơ học lượng tử đầu tiên (Heisenberg, 1925) biểu diễn các toán tử lý thuyết bằng các ma trận vô hạn chiều tác động lên các trạng thái lượng tử. Lý thuyết này còn gọi là cơ học ma trận. Một ví dụ cụ thể là ma trận mật độ đặc trưng cho trạng thái 'trộn' của một hệ lượng tử, như tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng thuần tuý và cơ bản.

Một ví dụ khác về việc ma trận trở thành công cụ quan trọng trong miêu tả các thí nghiệm tán xạ, hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Các phản ứng va chạm xảy ra trong các máy gia tốc, nơi các hạt va chạm trực diện trong một vùng va chạm nhỏ, dẫn đến việc sinh ra các hạt mới. Kết quả này có thể miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái các hạt tạo thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia va chạm. Tổ hợp này được biểu diễn bởi ma trận S, chứa tất cả thông tin về các tương tác khả dĩ giữa các hạt.

Dao động riêng biệt

Một ứng dụng phổ biến của ma trận trong vật lý học là miêu tả hệ dao động điều hòa tuyến tính. Phương trình chuyển động của các hệ này có thể được diễn tả dưới dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho ra số hạng động học, còn ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời sẽ đặc trưng cho tương tác. Cách tốt nhất để giải các phương trình này là xác định các vectơ riêng của hệ, hay các dao động riêng, bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật này rất quan trọng khi nghiên cứu nội động lực phân tử: các dao động bên trong của hệ các nguyên tử liên kết với nhau. Chúng cũng cần thiết để miêu tả dao động cơ học và dao động trong mạch điện.

Quang hình học và ma trận

Quang hình học sử dụng nhiều ứng dụng của ma trận. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng bị bỏ qua. Mô hình kết quả là tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng qua các quang cụ nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2, gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix). Các thành phần của vectơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các đặc tính của quang cụ. Thực sự có hai loại ma trận: ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự di chuyển từ mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kế cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng. Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.

Điện tử học và ma trận

Phương pháp phân tích dòng điện vòng (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, có thể được miêu tả dưới dạng ma trận.

Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử có thể được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vectơ 2 chiều với các thành phần là điện áp vào v₁ và dòng vào i₁, và B là một vectơ 2 chiều với các thành phần là điện áp ra v₂ và dòng ra i₂. Hoạt động của linh kiện điện tử có thể được biểu diễn bằng phương trình B = H • A, trong đó H là ma trận 2x2 chứa các phần tử trở kháng (h₁₂), độ dẫn (admitance) (h₂₁) và hai đại lượng không thứ nguyên (h₁₁ và h₂₂). Việc tính toán mạch điện trở thành việc nhân các ma trận với nhau.

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (ấn bản 5), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-84819-0
• Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
• Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (ấn bản 3), Prentice Hall
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Bronson, Richard (1989), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-007978-6
• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC 1029828
• Conrey, J. Brian (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (ấn bản 2), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (ấn bản 2), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
• Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (ấn bản 3), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
• Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (ấn bản 2), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, MR 0675952
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, MR 0378371
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ấn bản 3), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50728-8.
• Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, MR 0969370
• Itõ, Kiyosi biên tập (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (ấn bản 2), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, MR 0901762
• Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley
• Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (ấn bản 3), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
• Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
• * Lang, Serge (2002), Algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (ấn bản 1), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
• Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
• Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (ấn bản 2), New York: John Wiley & Sons, LCCN 76-91646
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (ấn bản 2), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, tr. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
• Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O'Reilly Media, ISBN 978-0-596-00419-4
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), “LU Decomposition and Its Applications”, Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (PDF) (ấn bản 2), Cambridge University Press, tr. 34–42
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (ấn bản 2), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
• Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
• Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
• Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2
• Šolin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0
• Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (ấn bản 3), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
• Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8, MR 1458894
• Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (ấn bản 5), Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

• Bohm, Arno (2001), Cơ học lượng tử: Cơ sở và Ứng dụng, Springer, ISBN 0-387-95330-2
• Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), Chuẩn Mô hình. Một Sách Giới Thiệu, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9
• Guenther, Robert D. (1990), Quang học Hiện đại, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Lý thuyết Trường Lượng tử, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
• Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Các phương pháp toán học cho vật lý và kỹ thuật, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
• Schiff, Leonard I. (1968), Cơ học lượng tử (ấn bản 3), McGraw–Hill
• Weinberg, Steven (1995), Lý thuyết lượng tử của các trường. Tập I: Cơ sở, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
• Wherrett, Brian S. (1987), Lý thuyết nhóm cho nguyên tử, phân tử và chất rắn, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
• Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Ứng dụng của Ma trận Ngẫu nhiên trong Vật lý (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1

• A. Cayley Một bài viết về lý thuyết ma trận. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
• Bôcher, Maxime (2004), Giới thiệu về đại số bậc cao, New York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5, tái bản của ấn bản gốc năm 1907
• Cayley, Arthur (1889), Tập hợp các bài toán toán học của Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, tr. 123–126
• Dieudonné, Jean (biên tập) (1978), Tóm tắt lịch sử toán học 1700-1900, Paris, FR: Hermann
• Hawkins, Thomas (1975), “Cauchy và lý thuyết phổ của ma trận”, Historia Mathematica, 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, ISSN 0315-0860, MR 0469635
• Knobloch, Eberhard (1994), “Từ Gauss đến Weierstrass: lý thuyết định thức và đánh giá lịch sử của nó”, Giao điểm giữa lịch sử và toán học, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 51–66, MR 1308079
• Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt (biên tập), Leopold Kronecker's Werke, Teubner
• Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (1987), Sự phát triển lịch sử của lý thuyết lượng tử (ấn bản 1), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9
• Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Chín Chương về Nghệ thuật Toán học, Tài liệu và Bình luận (ấn bản 2), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0
• Weierstrass, Karl (1915), Tập hợp các tác phẩm, 3

Liên kết ngoài

Bách khoa toàn thư

• Ma trận (toán học) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Hazewinkel, Michiel (biên tập) (2001), “Ma trận”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., 'Ma trận' từ MathWorld.

Đề tài lịch sử

• MacTutor: Các ma trận và định thức Lưu trữ 2015-03-08 trên Wayback Machine
• Ứng dụng đầu tiên của ma trận và đại số tuyến tính
• Những lần đầu tiên sử dụng ký hiệu cho ma trận và vectơ

Sách trực tuyến

• Kaw, Autar K., Giới thiệu về Đại số Ma trận, ISBN 978-0-615-25126-4
• Cẩm nang Ma trận (PDF), truy cập ngày 24 tháng 3 năm 2014
• Brookes, Mike (2005), Sổ tay Tham khảo Ma trận, London: Imperial College, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008

Công cụ tính toán ma trận trực tuyến

• SimplyMath (Công cụ tính ma trận)
• Công cụ tính ma trận (DotNumerics)
• Xiao, Gang, Công cụ tính ma trận, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
• Công cụ tính ma trận trực tuyến, lưu trữ ngày 12 tháng 12 năm 2008, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008
• Công cụ tính ma trận trực tuyến (ZK framework), lưu trữ ngày 12 tháng 5 năm 2013, truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2009
• Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, Đại học Minnesota, Khoa Thống kê, truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2008, gói phần mềm miễn phí cho đại số ma trận và thống kê
• Công cụ tính ma trận trực tuyến, truy cập ngày 14 tháng 12 năm 2009
• Thao tác với ma trận trong R (định thức, dấu vết, nghịch đảo, liên hợp, chuyển vị)