Mạch điện RLC

Mạch RLC (hay còn gọi là mạch LCR, mạch CRL, hoặc mạch RCL) là một mạch điện bao gồm một điện trở, một cuộn cảm và một tụ điện, có thể mắc nối tiếp hoặc song song. Các ký hiệu RLC tương ứng với các thành phần điện trở, điện cảm và điện dung. Mạch này tạo ra dao động điều hòa cho dòng điện và cộng hưởng giống như mạch LC. Sự khác biệt chính là điện trở có thể làm tắt dần dao động nếu không có nguồn cấp. Mạch LC lý tưởng không có điện trở chỉ là một mô hình lý thuyết.

Mạch RLC có nhiều ứng dụng thực tiễn. Chúng được dùng trong các mạch dao động khác nhau, bao gồm các mạch điều chỉnh trong bộ thu phát radio và truyền hình, giúp chọn lọc tần số sóng vô tuyến từ môi trường. Mạch RLC còn có thể làm bộ lọc thông dải, bộ lọc chặn dải, bộ lọc thông thấp hoặc bộ lọc thông cao. Ví dụ, bộ lọc thông dải là một ứng dụng của mạch điều chỉnh. Bộ lọc RLC là mạch bậc hai, nghĩa là điện áp hoặc cường độ dòng điện trong mạch có thể được mô tả bằng phương trình vi phân bậc hai khi phân tích.

Mạch RLC mắc nối tiếp

Trong mạch này, các thành phần điện trở, cuộn cảm và tụ điện được kết nối nối tiếp và nối vào một nguồn điện áp. Phương trình biến thiên có thể được xác định dựa trên định luật Kirchhoff về điện thế:

$v_R+v_L+v_C=v\left(t\right)$

Trong đó $v_R,v_L,v_C$ là điện áp tại các đầu của R, L và C, còn $v\left(t\right)$ là điện áp nguồn biến đổi theo thời gian. Thay đổi các đại lượng trong phương trình,

$Ri\left(t\right)+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=t}i\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=v\left(t\right)$

Nếu điện áp nguồn không thay đổi, lấy vi phân và chia hai vế cho L, ta sẽ có một phương trình vi phân bậc 2:

$\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{LC}i\left(t\right)=0$

Phương trình này thường được viết lại dưới dạng:

$\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\frac{di\left(t\right)}{dt}+{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^{2}i\left(t\right)=0$

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ và ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$ là các đại lượng với đơn vị tương đương tần số góc. $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ được gọi là tần số neper, đặc trưng cho mức độ suy giảm của dao động trong mạch khi nguồn nuôi không còn. Tần số neper được đo bằng neper/giây (Np/s), trong đó neper là đơn vị đo suy giảm. ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$ là tần số góc cộng hưởng.

Đối với mạch RLC mắc nối tiếp, hai đại lượng này được tính theo công thức sau:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{R}{2L}$

Một chỉ số quan trọng là hệ số suy giảm (hay còn gọi là hệ số tắt), $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$, được tính bằng tỷ số giữa hai đại lượng này:

Đối với mạch RLC nối tiếp, hệ số suy giảm được xác định như sau:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$

Hệ số suy giảm cho biết kiểu tắt của dao động trong mạch. Một số tác giả không sử dụng ký hiệu $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$ mà thay vào đó dùng ký hiệu $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ để chỉ hệ số suy giảm.

Đáp ứng quá độ

Phương trình vi phân của mạch phụ thuộc vào ba loại giá trị của $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$, phản ánh các loại đáp ứng: đáp ứng dưới tắt dần (; underdamped), đáp ứng xung tắt dần ($\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}>1$; overdamped) và đáp ứng tắt dần tới hạn ($\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=1$; critically damped). Phương trình vi phân này có dạng phương trình đặc trưng như sau:

$s^2+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}s+{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2=0$

Các nghiệm của phương trình là:

$s_1=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2}$

$s_2=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2}$

Với mỗi giá trị của s, ta có đáp ứng tự nhiên tương ứng là $A_1{e}^{s_{1}t}$ và $A_2{e}^{s_{2}t}$. Do đó, đáp ứng quá độ của dòng điện là:

$i\left(t\right)=A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}$

Đáp ứng tắt dần khi $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}>1$,

$i\left(t\right)=A_1{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0\left(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}+\sqrt{{\mathrm{\zeta \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \zeta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->1}\right)t}+A_2{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0\left(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->\sqrt{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->1}\right)t}$

Đáp ứng tắt dần là sự giảm dần của dòng quá độ mà không có dao động.

Đáp ứng dưới tắt dần khi ,

$i\left(t\right)=B_1{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\cos <!--\; \; -->\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{d}t\right)+B_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\sin <!--\; \; -->\left({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{d}t\right)$

Bằng cách áp dụng các thuộc tính của hàm lượng giác, ta có thể chuyển đổi hai hàm lượng giác thành một hàm sin duy nhất với pha dịch chuyển.

Đáp ứng tắt dần biểu thị một dao động giảm biên độ với tần số ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d$. Dao động giảm biên độ có tốc độ tắt dần được xác định bởi $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$. Số mũ $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ cho thấy đường bao của dao động. Các hằng số B₁ và B₂ (hoặc B₃ và pha dịch chuyển trong công thức thứ hai) là những hằng số tùy ý được xác định bởi các điều kiện biên. Tần số ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d$ có thể được tính bằng công thức sau:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d=\sqrt{{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}^2}$

Tần số cộng hưởng tắt dần, hay còn gọi là tần số tắt dần tự nhiên, là tần số mà tại đó mạch điện có khả năng dao động tự nhiên mà không cần nguồn cung cấp bên ngoài. Tần số này, ký hiệu là ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$, là tần số mà mạch điện có thể cộng hưởng với một dao động từ bên ngoài. Để phân biệt, tần số cộng hưởng không tắt dần cũng được gọi là tần số cộng hưởng.

Dao động tắt dần đến giới hạn ($\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=1$),

$i\left(t\right)=D_{1}t{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}+D_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}$

Dao động tắt dần đến giới hạn cho thấy mạch điện sẽ giảm biên độ nhanh nhất mà không xảy ra dao động phụ. Tính chất này rất quan trọng trong các hệ thống điều khiển vì nó cho phép hệ thống đạt đến trạng thái ổn định nhanh chóng mà không vượt quá ngưỡng. Các hằng số D₁ và D₂ là các giá trị được xác định dựa trên điều kiện biên của hệ thống.

Miền Laplace

Mạch RLC nối tiếp có thể phân tích cho cả dòng không đổi và dòng biến thiên bằng cách áp dụng phép biến đổi Laplace. Khi nguồn điện có điện áp dạng sóng với biến đổi Laplace V(s) (s là tần số phức $s=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$), ta có thể áp dụng định luật Kirchhoff trong miền Laplace.

Trong đó, I(s) là dòng biến đổi Laplace chạy qua toàn bộ các thành phần của mạch. Tính toán I(s):

Sắp xếp lại, ta có:

Tính tổng dẫn Laplace Y(s):

Khi đơn giản hóa với các tham số α và ω_o đã được định nghĩa trước đó, chúng ta có:

Các điểm không của Y(s) là những giá trị s khiến $Y\left(s\right)=0$:

$s=0\text{ và }|s|\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$

Các điểm cực của Y(s) là các giá trị s khiến $Y\left(s\right)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$. Giải phương trình bậc hai, chúng ta có:

$s=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2}$

Các điểm cực của Y(s) tương ứng với các nghiệm $s_1$ và $s_2$ của đa thức đặc trưng trong phương trình vi phân trên.

Đối với bất kỳ nguồn E(t) nào, áp dụng phép biến đổi ngược cho I(s):

trong trường hợp đáp ứng giảm dần dưới tần số $({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0>\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$

trong trường hợp đáp ứng giảm dần đến ngưỡng $({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$

trong trường hợp đáp ứng giảm dần

với ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_r=\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}^2}$, cosh và sinh là các hàm hyperbolic thông thường.

Trạng thái ổn định hình sin có thể được biểu diễn bằng cách đặt $s=i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ Vào phương trình trước đó và tính giá trị tuyệt đối:

Độ lớn của hàm truyền đạt khi s = iω được tính bằng công thức:

Cường độ dòng điện phụ thuộc vào ω và được tính bằng công thức:

Độ lớn của cường độ dòng điện được tính bằng cách nhân độ lớn của hàm truyền đạt với độ lớn của điện áp:

Có một giá trị cực đại cho $\left|I\right(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})|$. Tần số tại điểm cực trị là tần số cộng hưởng tự nhiên không bị tắt dần:

Tần số cộng hưởng tự nhiên của mạch được tính bằng công thức:

Mạch điện RLC mắc song song

Các đặc tính của mạch RLC song song có thể được xác định bằng cách áp dụng quan hệ đối ngẫu từ mạch song song sang mạch RLC nối tiếp, và sau đó sử dụng các công thức cho mạch nối tiếp.

Đối với mạch song song, tốc độ tắt dần α được tính theo công thức sau:

Tốc độ tắt dần $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{1}{2RC}$

và hệ số suy giảm là:

Hệ số suy giảm $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Đây là nghịch đảo của ζ trong mạch nối tiếp. Tương tự, hệ số phẩm chất Q và băng thông tỉ lệ có thể được tính như sau:

$Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}\text{ và }{F}_b=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Phạm vi tần số

Tổng dẫn phức của mạch song song bằng tổng của các độ dẫn của các thành phần:

$\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_L}+\frac{1}{Z_C}+\frac{1}{Z_R}=\frac{1}{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}L}+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}C+\frac{1}{R}$

Khi chuyển từ mạch nối tiếp sang mạch song song, mạch sẽ có một trở kháng cực đại ở tần số cộng hưởng thay vì cực tiểu, khiến mạch không còn cộng hưởng.

Biểu đồ dưới đây cho thấy một cực tiểu trong đáp ứng tần số của dòng điện tại tần số cộng hưởng ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ khi mạch được cấp điện áp không đổi. Ngược lại, khi mạch được cấp nguồn dòng không đổi, sẽ xuất hiện cực đại điện áp tương tự như mạch nối tiếp.

Các loại khác

Điện trở nối tiếp với cuộn cảm trong mạch LC song song như trong hình 7 là một thiết kế phổ biến khi phân tích ảnh hưởng của điện trở trong cuộn cảm. Mạch LC song song thường được sử dụng trong bộ lọc thông dải (band pass filter) và hệ số phẩm chất Q chủ yếu bị ảnh hưởng bởi điện trở này. Tần số dao động của mạch là:

Đây là tần số cộng hưởng của mạch, được xác định khi phần ảo của tổng dẫn bằng không. Tần số này xuất hiện trong phương trình đặc trưng dưới đây:

$s^2+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}s+{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^{\prime }}^2=0$

không phải là tần số cộng hưởng như đã đề cập trước đó. Đây là tần số cộng hưởng tự nhiên khi không có sự tắt dần.

Tần số ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m$ là tần số tại đó trở kháng đạt giá trị tối đa, và được tính bằng công thức:

với là chỉ số phẩm chất của cuộn dây. Công thức này có thể được ước lượng gần đúng,

Độ lớn của trở kháng cực đại,

Khi giá trị $Q_L\gg <!--\; \gg \; -->1$ rất lớn, ta có thể sử dụng công thức gần đúng này,

$|Z{|}_{max}\approx <!--\; \approx \; -->R{Q}_L^2$.

Ghi chép

Năm 1826, nhà khoa học người Pháp Felix Savary đã phát hiện ra rằng một tụ điện có thể tạo ra dao động điện. Ông quan sát rằng khi một chai Leyden được xả qua dây quấn quanh một thanh sắt, thanh sắt bị từ hóa và tạo ra từ trường đảo chiều. Savary đã lý giải chính xác rằng hiện tượng này là kết quả của dao động giảm dần trong dây dẫn, làm từ hóa thanh sắt theo các hướng ngẫu nhiên cho đến khi mất tác dụng.

Vào năm 1842, nhà vật lý người Mỹ Joseph Henry đã thực hiện lại thí nghiệm của Savary và đạt được kết luận tương tự gần như độc lập. Đến năm 1853, William Thomson (Lord Kelvin) từ Anh đã chứng minh rằng việc xả một chai Leyden qua một cuộn cảm tạo ra dao động, và ông đã tính toán được tần số cộng hưởng của hệ thống này.

• Mạch RC
• Mạch LC
• Mạch RL
• Dao động điện tử
• Mạch điện tuyến tính

• Anant Agarwal, Jeffrey H. Lang, Các nguyên lý mạch điện analog và kỹ thuật số, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 1-55860-735-8.
• J. L. Humar, Động lực học cấu trúc, Taylor & Francis, 2002 ISBN 90-5809-245-3.
• J. David Irwin, Phân tích mạch điện cơ bản, Wiley, 2006 ISBN 7-302-13021-3.
• Kenneth L. Kaiser, Cẩm nang tương thích điện từ, CRC Press, 2004 ISBN 0-8493-2087-9.
• James William Nilsson, Susan A. Riedel, Mạch điện, Prentice Hall, 2008 ISBN 0-13-198925-1.

Ghi chú