Mặt Mobius

Mặt Mobius hay dải Mobius (Mobius band/ Mobius strip), trong toán học là khái niệm cơ bản về một dải chỉ có một mặt và một biên. Ban đầu chỉ là một trò đùa với một dải băng giấy (do Mobius phát minh) được dán lại hai đầu sau khi bị lật ngược một hoặc hai lần. Sau đó, các nhà toán học đã phát triển thành lý thuyết và đưa ra công thức tính toán. Không chỉ vậy, lý thuyết về dải Mobius còn được áp dụng rộng rãi trong thực tế, bao gồm cả kiến trúc và xây dựng,... Thú vị hơn nữa, dải Mobius cũng được ứng dụng trong nghệ thuật như âm nhạc (Bach), hội họa (M.C. Escher), điêu khắc, kim hoàn và thủ công.

Đây là một mô hình có thể dễ dàng tạo ra bằng cách sử dụng một dải giấy, xoắn nửa đoạn và dán hai đầu lại với nhau để tạo thành một vòng. Trong không gian Euclid, có hai loại dải Mobius tùy thuộc vào hướng xoắn: thuận chiều và ngược chiều.

Tóm tắt

Mặt Mobius được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học người Đức August Ferdinand Möbius, người phát hiện ra nó vào tháng 9 năm 1858 trong quá trình nghiên cứu các đa diện, mặc dù nhà toán học người Đức Johann Benedict Listing đã nghiên cứu độc lập từ trước đó ít lâu vào tháng 7 năm 1858.

Mặt Mobius không phải là một bề mặt duy nhất có một hình học cụ thể (tức là chỉ có một kích thước và hình dạng nhất định), như là dải giấy được xoắn thành hình minh họa. Do đó, các nhà toán học đã nghiên cứu mặt Mobius (cũng gọi là Mobius đóng) như là bất kỳ bề mặt nào có hình học topo tương đương với dải này.

Biên của nó là một đường cong đơn, có thể là hình học topo của một vòng tròn. Điều này cho thấy rằng có rất nhiều phiên bản hình học của các dải Mobius như thể mỗi bề mặt này đều có một hình dạng và kích thước cụ thể.

Ví dụ, với bất kỳ hình chữ nhật đóng nào có chiều dài L và chiều rộng W, có thể dán lại để tạo thành một dải Mobius (bằng cách dán một cạnh với cạnh đối diện sau khi đảo ngược 180 độ). Một trong số chúng có thể là mô hình trơn trong không gian ba chiều, nhưng một số khác lại không (xem phần Dải Mobius chữ nhật đầy trong không gian 3 chiều bên dưới). Tuy nhiên, một ví dụ khác là dải Mobius mở đầy đủ (xem phần Dải Mobius mở bên dưới). Theo hình học topo, điều này có chút khác biệt so với những dải Mobius đóng thông thường, trong khi mọi dải Mobius đều mở và không có biên.

Không quá phức tạp để tìm phương trình đại số cho các giải pháp hình học topo của một dải Mobius, nhưng nói chung các phương trình này không mô tả cùng một hình dạng hình học tương tự như mô hình giấy đã xoắn như đã mô tả trên. Đặc biệt, mô hình giấy xoắn là một bề mặt có thể khai triển vì nó không có độ cong Gauss (độ cong toàn phần). Một hệ thống phương trình vi phân đại số mô tả mô hình này đã được công bố vào năm 2007 cùng với các giải pháp số đi kèm.

Đặc tính Euler của dải Mobius là bằng 0.

Đặc tính đặc biệt của dải Mobius

Dải Mobius có một số đặc tính đặc biệt như sau:

• Nếu vẽ một đường bắt đầu từ một điểm ở giữa dải Mobius, nó sẽ quay trở lại chính điểm xuất phát nhưng ở phía đối diện của dải này. Nếu tiếp tục vẽ đường này, nó sẽ quay trở lại điểm bắt đầu và có độ dài gấp đôi chiều dài ban đầu của dải. Đường cong này là duy nhất và chứng tỏ rằng các dải Mobius chỉ có một biên duy nhất.
• Nếu cắt một dải Mobius theo chiều giữa, ta sẽ thu được một dải dài với đúng 2 xoắn, chứ không phải hai dải riêng biệt như dự đoán, kết quả là dải mới này không còn là một dải Mobius. Điều này xảy ra vì dải gốc chỉ có một cạnh nhưng cạnh này lại có chiều dài gấp đôi so với nó. Vết cắt tạo ra một cạnh bổ sung, mà một nửa ở mỗi bên, tạo ra một dải mới dài hơn. Nếu cắt dải này theo chiều giữa một lần nữa, sẽ tạo ra hai dải quấn vào nhau, mỗi dải đều có đúng 2 xoắn.
• Nếu cắt dải Mobius theo chiều dài khoảng một phần ba từ mỗi cạnh, sẽ thu được hai dải: Một dải Mobius nhỏ hơn nằm ở giữa, có chiều rộng bằng 1/3 và chiều dài tương tự như dải ban đầu. Dải còn lại dài hơn và có đúng 2 xoắn - đây là dải nằm dọc suốt hai cạnh của dải ban đầu, và bao gồm 1/3 chiều rộng và hai lần chiều dài của dải gốc.
• Các dải tương tự có thể được tạo ra bằng cách xoắn với số lần nửa vòng lặp lại là hai hoặc nhiều hơn. Ví dụ, một dải với ba nửa vòng, khi cắt đôi theo chiều dài của nó, trở thành một dải nối với nhau để tạo thành một nút ba phần. (Nếu nút này được tách ra, dải được tạo ra bằng cách thêm tám nửa vòng sẽ tạo ra một nút đơn.) Một dải với N nửa vòng, khi cắt đôi, trở thành một dải với N + 1 xoắn đầy đủ. Khi nó được xoắn thêm và các đầu nối lại, nó sẽ tạo thành một hình được gọi là vòng paradromic.
• Một dải với số lẻ nửa vòng, như dải Mobius, sẽ chỉ có một mặt và một biên. Một dải với số chẵn nửa vòng sẽ có hai mặt và hai biên.
• Nếu một dải với số lẻ nửa vòng được cắt đôi theo chiều rộng dọc theo chiều dài của nó, nó sẽ tạo ra một dải dài hơn với nửa vòng gấp đôi so với dải gốc. Ngược lại, nếu một dải với số chẵn nửa vòng được cắt đôi dọc theo chiều dài của nó, nó sẽ tạo ra hai dải quấn vào nhau, mỗi dải đều có cùng số vòng xoắn như dải gốc.

Hình học và Topology

Mặt Mobius là một tập con chính tắc trong R được định nghĩa bằng cách tham số hóa:

$x(u,v)=\left(1+\frac{1}{2}v\cos <!--\; \; -->\frac{1}{2}u\right)\cos <!--\; \; -->u$

$y(u,v)=\left(1+\frac{1}{2}v\cos <!--\; \; -->\frac{1}{2}u\right)\sin <!--\; \; -->u$

$z(u,v)=\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\frac{1}{2}v\sin <!--\; \; -->\frac{1}{2}u$

trong đó 0 ≤ u < 2π và −1 ≤ v ≤ 1. Công thức này cho ta dải Möbius có chiều rộng 1 đơn vị, vòng có bán kính 1 nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy với tâm đặt tại gốc tọa độ (0, 0, 0). Biến u thay đổi vòng quanh dải mobius trong khi v thay đổi chạy vòng quanh biên.

Trong toạ độ cầu (r, θ, z), dải Möbius mở không biên được biểu diễn bằng công thức sau:

$\log <!--\; \; -->\left(r\right)\sin <!--\; \; -->\left(\frac{1}{2}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=z\cos <!--\; \; -->\left(\frac{1}{2}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right).$

Dải Mobius chữ nhật đầy trong không gian 3 chiều

• Nếu một dải Mobius trơn trong không gian ba chiều được gọi là một dải Mobius dạng chữ nhật - thì nó phải được tạo ra từ việc đồng nhất hai cạnh đối diện của một hình chữ nhật – điều này xảy ra nếu tỉ lệ độ dài của hình chữ nhật lớn hơn căn bậc hai 3. (Lưu ý rằng đây là tỉ lệ với độ dài cạnh bên ngắn hơn của hình chữ nhật – tức chiều rộng). Do vậy, nếu tỉ lệ này nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của 3, một nhúng trơn của một dải Mobius chữ nhật trong không gian 3 chiều sẽ không xảy ra.
• Nếu tỉ lệ độ dài tiến tới giới hạn tỉ lệ của $\sqrt{3}$ theo chiều giảm dần, bất kỳ dải Mobius chữ nhật trong không gian 3 chiều dường như đều tiến đến một hình dạng trong giới hạn có thể được coi như một dải của ba tam giác đều, nếu ta gấp đỉnh của một trong số chúng xuống sẽ tạo được một hình tam giác đều trong không gian 3 chiều.
• Nếu có dải Mobius trong không gian 3 chiều thì nó chỉ có khả vi liên tục cấp 1 (ký hiệu là: C), tuy nhiên, sau này các định lý của Nash-Kuiper cho thấy rằng không tồn tại giới hạn dưới của dải Mobius.

Hình học Topo

Trong topo, dải Mobius được định nghĩa giống như hình vuông [0,1] × [0,1] với dòng đầu của và dòng dưới được xác định bởi quan hệ (x, 0) ~ (1 − x, 1) với 0 ≤ x ≤ 1, như trong sơ đồ bên phải.

Một bài viết ít được sử dụng của dải Mobius là thương quỹ đạo đa tạp của một xuyến.. Một hình xuyến có thể được xây dựng như hình vuông [0,1] × [0,1] với các cạnh được xác định là (0,y) ~ (1,y) (nối từ trái sang phải) và (x,0) ~ (x,1) (nối từ dưới lên trên).

Nếu nó cũng được xác định bởi (x,y) ~ (x,y), thì ta sẽ có được một dải Mobius. Đường chéo của hình vuông (những điểm (x,x) có hai tọa độ giống nhau) trở thành biên của dải Mobius, và mang một cấu trúc quỹ đạo đa tạp, trong đó hình học tương ứng với 'ảnh phản xạ' - trắc địa (đường thẳng) trong dải Mobius phải chiếu ra khỏi mép sau vào trong dải. Về mặt ký hiệu, nó được viết là T/S₂ – thương 2 xuyến bởi các hoạt động nhóm của nhóm đối xứng trên hai ký tự (chuyển đổi tọa độ), và nó có thể được coi là không gian cấu hình của hai điểm bất kỳ trên vòng tròn, có thể là cùng (cạnh tương ứng với các điểm là như nhau), với các đường gờ tương ứng với hai điểm đặt trên vòng tròn.

Dải Mobius là một đa tạp hai chiều compact (tức là một bề mặt) có biên. Đây là một ví dụ điển hình của bề mặt không có hướng. Trong thực tế, dải Mobius là hình ảnh thu nhỏ của hiện tượng topo của không có hướng. Điều này là do:

• Hình dạng hai chiều (bề mặt) là những hình ít chiều nhất nên dễ hiểu là không thể định hướng được
• Dải Mobius là bề mặt duy nhất có topology với mọi tập con của tất cả các bề mặt không định hướng.

Dải Mobius cũng là một ví dụ điển hình được sử dụng để minh họa khái niệm toán học của không gian phân thớ chính. Cụ thể, nó là một phân thớ không tầm thường trên hình tròn S với một phân thớ là đoạn đơn vị, I = [0,1]. Chỉ cần nhìn vào cạnh của dải Mobius ta sẽ thấy 1 bó 2 điểm không tầm thường (hoặc Z₂) quanh S.

Đồ họa máy tính

Một cấu trúc đơn giản của dải Mobius có thể được tạo ra bằng phương pháp số hoá, bằng cách nối kết một tập hợp các đoạn thẳng hoặc các trục đứng với nhau và xoắn đều theo một đường tròn hoặc elip. Theo Charles Joseph Matthews, dải Mobius được coi là một mặt ba chiều không có độ dày. Vì thế, khi có độ dày, nó sẽ trở thành dạng lăng trụ xoắn trong không gian ba chiều.

Thêm vào đó, có thể sử dụng mô hình sau để xây dựng một mặt Mobius tổng quát:

• Lấy một dải hình chữ nhật. Xoay nó xung quanh một điểm cố định không nằm trong mặt phẳng chứa nó. Tại mỗi bước, cũng xoay dải dọc theo một đường trong mặt phẳng của nó (đường thẳng chia đôi dải) và vuông góc với bán kính quỹ đạo chính. Bề mặt được tạo ra như cách trên là dải Mobius.
• Lấy một dải Mobius và cắt nó dọc theo đường giữa của dải. Điều này sẽ tạo thành một dải mới, được tạo thành bằng cách thêm một hình chữ nhật vào dải cũ trong khi xoay cả đầu và đuôi của hình chữ nhật đó cùng lúc. Nếu lại cắt dải mới này theo đường giữa của nó 1 lần nữa, sẽ tạo thành 2 dải lồng vào nhau.

Dải Mobius mở

Dải Mobius mở được hình thành bằng cách loại bỏ biên của dải Mobius chuẩn, được xây dựng từ tập S = { (x,y) ∈ R: 0 ≤ x ≤ 1 và 0 < y < 1} bằng cách xác định các điểm (0,y) và (1,1−y) với mọi 0 < y < 1.

Thêm vào đó, ta cũng có thể xây dựng như một bề mặt đầy đủ, bằng cách phân chia mặt phẳng R trên đó xác định y trong đoạn 0 ≤ y ≤ 1 và từ (x,0) tới (-x,1) với mọi x trong R (tập hợp các số thực). Ta thấy trong không gian metric hình thành dải Mobius mở trên mặt phẳng đầy đủ (geodesically) (tức là, có độ cong Gauss bằng 0 ở khắp mọi nơi). Đây là metric duy nhất trên dải Mobius, thỏa trên cả không gian phẳng và đầy đủ.

Giống như các mặt phẳng và các hình trụ mở, dải Mobius mở không chỉ chứa một metric đầy đủ với độ cong không đổi bằng 0, mà còn chứa metric đầy đủ với độ cong không đổi âm = -1. Một cách để thấy điều này là bắt đầu với mô hình (Poincaré) nửa mặt phẳng trên mặt phẳng hyperbol ℍ, cụ thể là ℍ = {(x,y) ∈ ℝ | y > 0} với (dx + dy) / y được cho trong metric Riemann.

Các phép đẳng cự được định hướng bảo toàn trong metric này là tất cả các ánh xạ

f: ℍ → ℍ có dạng f(z):= (az + b) / (cz + d) với a, b, c, d là các số thực thoả ad - bc = 1.

z là một số phức với Im(z) > 0, {z ∈ ℂ | Im(z) > 0}. Một phép đẳng cự đổi ngược hướng g của ℍ được là g(z):= -conj(z), với conj(z) là ký hiệu của số phức liên hợp của z. Điều này cho ta biết các ánh xạ h: ℍ → ℍ với h(z):= -2⋅conj(z) là một phép đẳng cự đổi ngược hướng của ℍ tạo ra một nhóm tuần hoàn vô hạn G của phép đẳng cự. Thương của ℍ / G của hai nhóm này có thể dễ dàng tính được là một dạng hình học của dải Mobius. Nhưng cũng dễ dàng để kiểm tra phép chia trên tạo thành một không gian đầy đủ và không compắc, với độ cong âm hằng= -1.

Không gian chứa các đường thẳng không định hướng đồng phôi với dải Mobius mở .

Đặt L(θ) là đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ trục x dương một góc θ Với mỗi L(θ) có một họ P(θ) của tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng đó trực giao với L(θ). Theo topo, họ các P(θ)chỉ là một đường thẳng (vì mỗi đường thẳng trong P(θ) cắt đường L(θ) tại một điểm duy nhất). Vì vậy, khi θ tăng trong phạm vi 0° ≤ θ < 180°, đường thẳng L(θ) đại diện cho một dải đường thẳng riêng biệt trong mặt phẳng. Nhưng khi θ tiến tới 180°, L(180°) tương đồng với L(0°), vì vậy P(0°) và P(180°) của các đường thẳng trực giao cũng thuộc cùng một họ. Đường L(0°) khi trở thành đường L(180°) lại đi theo hướng ngược lại.

Tất cả các đường trong mặt phẳng tương ứng với một đường thẳng duy nhất trong họ P(θ), cho một θ từ 0° ≤ θ < 180°, và P(180°) đồng nhất với P(0°) nhưng theo hướng ngược lại. Điều này đảm bảo rằng không gian của tất cả các đường trong mặt phẳng – là hội của tất cả các L(θ) từ 0° ≤ θ < 180° — là một dải Mobius mở.

Các chuyển động cứng trong mặt phẳng tạo ra sự song ánh trong không gian đường thẳng của chính nó, tự đồng cấu với không gian các đường thẳng. Tuy nhiên, không tồn tại một metric bất biến trong không gian đường thẳng dưới tác động của các nhóm tự đồng cấu.

Kết quả cuối cùng là các dải Mobius có một nhóm Lie tự nhiên 4 chiều tự đồng cấu (được tạo ra từ các chuyển động cứng của mặt phẳng), nhưng mức đối xứng cao không được thể hiện dưới nhóm đẳng cự của bất kỳ chuẩn đo nào.

Dải Mobius có biên tròn

Một cách hình học khác để nhúng như vậy là bắt đầu với chai Klein tối thiểu trong mặt cầu 3 chiều và lấy nửa của nó, tạo thành dải Mobius nhúng trong không gian 4 chiều; Dải này được gọi là M hay còn được biết đến với tên gọi ''dải Mobius Sudanese''. (Đây là sự kết hợp tên gọi của hai nhà toán học Topo, Sue Goodman và Daniel Asimov). Áp dụng phép chiếu lập thể vào M và đặt nó trong không gian 3 chiều, như có thể thấy ở đây và trong các hình ảnh dưới đây. (Một số người đã không đặt nhãn chính xác hình ảnh lập thể của 'Sudanese' trong không gian 3 chiều, nhưng dải Sudanese thực sự hình dạng như vậy, với độ đối xứng cao trong mặt phẳng Riemann: nhóm đẳng cự của nó bao gồm SO(2) cùng với 1 phương trình tham số hóa phổ biến.)

Để dễ thấy điều này, ta nghiên cứu phép nhúng vào quả cầu S là một tập hợp con của R.

Tham số hoá phép nhúng bằng {z₁(η,φ), z₂(η,φ)}, với

$z_1=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$

$z_2=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}/2}.$

Ở đây ta ký hiệu số phức trong R giống như trong C. Tham số η chạy từ 0 đến π và φ từ 0 đến 2π. Khi | z₁ | + | z₂ | = 1 thì phép nhúng hoàn toàn nằm trong S. Biên của dãy là | z₂ | = 1 (tương ứng với η=(0,π)), rõ ràng là một hình tròn trong không gian 3 chiều.

Để nhúng dải Mobius vào R thông qua ánh xạ S và phép chiếu lập thể. Điểm chiếu có thể là bất kỳ điểm nào trên S ngoại trừ điểm nằm trên dải Mobius nhúng (quy tắc này không áp dụng cho tất cả các điểm chiếu thông thường). Chọn $\left\{1/\sqrt{2},i/\sqrt{2}\right\}$. Phép chiếu lập thể ánh xạ vòng để kết nối và bảo toàn biên của dải. Kết quả là một dải Mobius trơn được nhúng vào R với một cạnh tròn và không có phần tự giao.

Các dạng hình học liên quan

• Một đối tượng hình học 'lạ' liên quan chặt chẽ với Mobius là chai Klein. Một chai Klein có thể được tạo ra bằng cách nối hai dải Mobius lại với nhau dọc theo các cạnh của chúng. Tuy nhiên điều này lại không thể được thực hiện trong không gian Euclid ba chiều thông thường, mà không tạo nút tự giao.

• Một dạng đa tạp khác liên quan tới Mobius là mặt phản xạ thực. Nếu một đĩa tròn được cắt ra khỏi mặt phản xạ thực, những gì còn lại sẽ là một dải Mobius. Hay nói cách khác, nếu dán 1 đĩa tròn vào một dải Mobius khi biết biên của nó, ta sẽ được 1 mặt phản xa thực.

Để dễ hình dung điều này, tốt nhất là bạn hãy làm biến dạng biên của dải Mobius thành 1 vòng tròn bình thường (xem ở trên). Mặt phản xạ thực, cũng như chai Klein, không thể được tạo ra trong không gian 3 chiều mà không có nút tự giao.

• Trong lý thuyết đồ thị, thang Mobius là một biểu đồ khối có liên quan chặt chẽ với dải Mobius.

Vào năm 1968, Gonzalo Vélez Jahn (UCV, Caracas, Venezuela) phát hiện ra thể ba chiều với đặc điểm Möbius đặc trưng, sau đó đã được mô tả thành vòng lăng trụ bởi Martin Gardner – sau này là khối đa diện.

Ứng dụng

Âm thanh

Một số ứng dụng kỹ thuật cho các dải Mobius như dải Mobius được áp dụng nguyên lý như băng tải kéo dài trên toàn bộ diện tích bề mặt của vành đai nên có cùng một lượng hao mòn. Chẳng hạn như băng ghi âm liên tục được thiết kế có các vòng lặp (tăng gấp đôi thời gian ghi âm). Mobius phổ biến trong sản xuất máy in vi tính trên vải và băng rôn.

Dải Mobius là không gian cấu hình của hai điểm có thứ tự trên một vòng tròn. Về mặt lý thuyết âm nhạc, không gian của tất cả các hợp hai nốt âm, được biết đến như những cặp, đều có hình dạng của một dải Mobius, điều này và khái quát đến các điểm là một ứng dụng quan trọng của lý thuyết âm nhạc.

Vật lý / điện công nghệ

Lý thuyết về Mobius ứng dụng khá rộng trong lĩnh vực vật lý, tạo ra nhiều thiết bị có tính ứng dụng cao, có thể liệt kê:

• như một compact cộng hưởng với tần số cộng hưởng mà là một nửa của giống nhau xây dựng cuộn tuyến tính
• như một điện trở giảm cảm ứng
• như các chất siêu dẫn nhiệt độ chuyển tiếp cao
• Điện trở Mobius là một phần tử mạch điện tử hủy bỏ cảm kháng của chính nó. Nikola Tesla được cấp bằng sáng chế công nghệ tương tự vào năm 1894: 'cuộn nam châm điện' đã được sử dụng cùng với hệ thống phát điện toàn cầu mà không cần dây.

Hóa học / công nghệ nano

Trong lĩnh vực hóa học cũng có nhiều ứng dụng quan trọng của Mobius:

• như nút thắt phân tử với các đặc tính đặc biệt (Knotane [2], chirality)
• là công cụ phân tử
• như khối lượng lá graphit (nano than chì) với các đặc tính điện tử mới, như xoắn ốc từ tính
• trong một loại đặc biệt của aromaticity: Mobius aromaticity
• hạt tích điện trong từ trường của trái đất có thể di chuyển trên một dải Mobius
• các cyclotide (protein vòng) Kalata B1, chất hoạt động của cây Oldenlandia affinis, có topo Mobius cho đường trục kết hợp của hai hay nhiều amino acid tạo thành chuỗi

Kiến trúc

Trong lĩnh vực kiến trúc, Peter Eisenman có lẽ là người tiên phong phiên chuyển (tuy còn sơ khai) dạng Mobius vào toà nhà 'Max Reinhardt Haus'. Ở đây tác giả đã gọt phẳng phần tiếp đất nên đã làm hỏng tầm nhìn liên tục của hình Mobius. Mô hình toán học của dải Mobius không được đưa trực tiếp vào công trình nhưng nó lại được khái niệm hoá, và được nhìn thấy trong từng thành phần kiến trúc, chẳng hạn hệ thống ánh sáng, cầu thang và lối đi vào ra của ngôi nhà.