Mặt phẳng trong toán học

Trong toán học, mặt phẳng là một bề mặt phẳng không có giới hạn về chiều dài hoặc chiều rộng. Nó tương tự như các khái niệm cơ bản như điểm (không có chiều), đường thẳng (một chiều) và không gian ba chiều. Mặt phẳng có thể xuất hiện như là phần không gian của một không gian có nhiều chiều hơn, giống như các bức tường của một căn phòng mở rộng vô tận, hoặc có thể tồn tại độc lập như trong hình học Euclid.

Trong không gian hai chiều của hình học Euclid, mặt phẳng đề cập đến toàn bộ không gian này. Nhiều hoạt động cơ bản trong các lĩnh vực toán học như hình học, lượng giác, lý thuyết đồ thị và vẽ đồ thị diễn ra trong mặt phẳng, hay nói cách khác, trong không gian hai chiều.

Hình học Euclid

Euclid đã thiết lập một bước ngoặt quan trọng trong cách tư duy toán học với phương pháp tiên đề hình học. Ông chọn một số thuật ngữ không thể định nghĩa (các khái niệm cơ bản) và các định đề (hoặc tiên đề) cơ bản, từ đó xây dựng chứng minh cho các mệnh đề hình học khác nhau. Mặc dù cuốn Cơ sở không cung cấp một định nghĩa trực tiếp về mặt phẳng theo nghĩa hiện đại, nó vẫn có thể được xem là một phần của các khái niệm cơ bản. Trong nghiên cứu của mình, Euclid không dùng số để đo chiều dài, góc hay diện tích, vì vậy mặt phẳng của Euclid không hoàn toàn giống với mặt phẳng của Descartes.

Mặt phẳng trong không gian ba chiều theo lý thuyết Euclid

Phần này tập trung vào các mặt phẳng trong không gian ba chiều, đặc biệt là trong R.

Xác định thông qua các điểm và đường thẳng nằm trong đó

Trong không gian Euclid với bất kỳ số chiều nào, mặt phẳng có thể được xác định duy nhất bằng những tiêu chí sau đây:

• Ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng (các điểm không nằm chung trên một đường thẳng).
• Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
• Hai đường thẳng khác biệt cắt nhau.
• Hai đường thẳng song song với nhau.

Đặc điểm

Những mệnh đề sau đây chỉ đúng trong không gian ba chiều của Euclid, dù chúng có thể có mô hình trong không gian nhiều chiều hơn:

• Hai mặt phẳng khác biệt sẽ hoặc là song song, hoặc là cắt nhau tại một đường thẳng.
• Một đường thẳng có thể hoặc song song với một mặt phẳng, hoặc cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất, hoặc nằm hoàn toàn trong mặt phẳng đó.
• Hai đường thẳng khác biệt vuông góc với cùng một mặt phẳng sẽ phải song song với nhau.
• Hai mặt phẳng khác biệt vuông góc với cùng một đường thẳng sẽ phải song song với nhau.

Phương trình của mặt phẳng theo dạng điểm-pháp tuyến và phương trình tổng quát

Tương tự như cách biểu diễn các đường thẳng có hướng trong không gian hai chiều bằng phương trình điểm-hệ số góc, mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn tự nhiên bằng cách sử dụng một điểm nằm trên mặt phẳng và một vector pháp tuyến (vector trực giao) để chỉ định 'góc nghiêng' của nó.

Cụ thể, giả sử $r_0$ là vector từ điểm $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, và $n=(a,b,c)$ là vector pháp tuyến không bằng không. Mặt phẳng được xác định bởi điểm này và vector chứa các điểm $P$, với vector bán kính $r$, sao cho vector từ $P_0$ đến $P$ vuông góc với $n$. Lưu ý rằng hai vectơ vuông góc nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0, do đó mặt phẳng có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm $r$ sao cho

$n\cdot <!--\; \cdot \; -->(r-<!--\; -\; -->r_0)=0.$

(Dấu chấm ở đây biểu thị tích vô hướng giữa hai vector, không phải phép nhân vô hướng.) Mở rộng điều này, ta có

$a(x-<!--\; -\; -->x_0)+b(y-<!--\; -\; -->y_0)+c(z-<!--\; -\; -->z_0)=0,$

Đây là phương trình dạng điểm-pháp tuyến của mặt phẳng. Nó là một phương trình tuyến tính:

$ax+by+cz+d=0,\text{ với }d=-<!--\; -\; -->(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0).$

Ngược lại, nếu a, b, c và d là các hằng số và a, b, c không đồng thời bằng không, thì đồ thị của phương trình

$ax+by+cz+d=0,$

là một mặt phẳng với vector $n=(a,b,c)$ là vector pháp tuyến của nó. Phương trình này được gọi là dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng.

Ví dụ, phương trình hồi quy dạng y = d + ax + cz (với b=-1) mô tả mặt phẳng phù hợp nhất trong không gian ba chiều với hai biến giải thích.

Đại diện cho mặt phẳng bằng một điểm và hai vectơ nằm trong mặt phẳng đó

Hơn nữa, mặt phẳng cũng có thể được biểu diễn tham số như tập hợp tất cả các điểm có dạng

$r=r_0+sv+tw,$

trong đó s và t là các số thực, với v và w là những vectơ độc lập tuyến tính xác định mặt phẳng, và r₀ đại diện cho vị trí của một điểm cố định trên mặt phẳng. Các vectơ v và w có thể được tưởng tượng như là các vectơ bắt nguồn từ r₀ và chỉ theo những hướng khác nhau trên mặt phẳng. Lưu ý rằng v và w có thể vuông góc với nhau nhưng không được song song.

Biểu diễn mặt phẳng qua ba điểm

Giả sử p₁=(x₁, y₁, z₁), p₂=(x₂, y₂, z₂), và p₃=(x₃, y₃, z₃) là ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng.

Các mặt phẳng đi qua p₁, p₂, và p₃ có thể được xác định bởi tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) thỏa mãn phương trình định thức dưới đây:

Để biểu diễn mặt phẳng bằng một phương trình dạng $ax+by+cz+d+0$, ta cần giải các hệ phương trình sau đây:

$a{x}_1+\mathrm{b\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}{y}_1+c{z}_1+d=0$

$a{x}_2+b{y}_2+c{z}_2+d=0$

$a{x}_3+b{y}_3+c{z}_3+d=0.$

Hệ phương trình có thể được giải bằng cách sử dụng định lý Cramer và các phép biến đổi cơ bản của ma trận. Đặt

.

Khi D không bằng không (để các mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ), các giá trị của a, b và c có thể được tính toán như sau:

Những phương trình này chứa tham số d. Khi thay thế d bằng một giá trị khác không, chúng ta sẽ có một tập hợp nghiệm.

Mặt phẳng cũng có thể được xác định bằng 'một điểm và một vector pháp tuyến' như đã nêu trước đó. Chọn một vector pháp tuyến thích hợp thông qua tích vector

$n=(p_2-<!--\; -\; -->p_1)\times <!--\; \times \; -->(p_3-<!--\; -\; -->p_1),$

và điểm r₀ có thể là một trong các điểm p₁, p₂ hoặc p₃ đã cho.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)Ax+By+Cz+D=0$ và mặt phẳng $\left({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }\right)A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }=0$

$\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)\cap <!--\; \cap \; -->\left({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }\right)=\left(d\right)\iff <!--\; \iff \; -->A:B:C\ne <!--\; \ne \; -->A^{\prime }:B^{\prime }:C^{\prime }$

$\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->\left({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }\right)\iff <!--\; \iff \; -->A:B:C:D=A^{\prime }:B^{\prime }:C^{\prime }:D^{\prime }$

Khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Cho mặt phẳng $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}:ax+by+cz+d=0$ và một điểm $p_1=(x_1,y_1,z_1)$ không nhất thiết phải nằm trên mặt phẳng, khoảng cách ngắn nhất từ $p_1$ đến mặt phẳng là

Vậy $p_1$ nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi D=0.

Nếu $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$ có nghĩa rằng a, b, và c đã được chuẩn hóa, thì phương trình sẽ trở thành

$D=|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|.$

Một dạng khác của phương trình mặt phẳng trong không gian vector là dạng pháp tuyến Hesse, với tham số D. Cụ thể là:

$n\cdot <!--\; \cdot \; -->r-<!--\; -\; -->D_0=0,$

với $n$ là vector pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng, $r$ là vector bán kính của một điểm trên mặt phẳng, và D₀ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng.

Đối với các chiều không gian cao hơn, phương trình tổng quát có thể nhanh chóng được viết bằng ký hiệu vector. Đối với các siêu mặt phẳng có phương trình $n\cdot <!--\; \cdot \; -->(r-<!--\; -\; -->r_0)=0$, với $n$ là vector pháp tuyến và $r_0=(x_{10},x_{20},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{N0})$ là vector bán kính trong siêu mặt phẳng. Khoảng cách vuông góc từ điểm $r_1-<!--\; -\; -->r_0$ theo hướng của $n$. Lưu ý rằng $n\cdot <!--\; \cdot \; -->r_0=r_0\cdot <!--\; \cdot \; -->n=-<!--\; -\; -->a_0$ (vì $r_0$ thỏa mãn phương trình của siêu mặt phẳng) ta có

.

Đường thẳng cắt nhau giữa hai mặt phẳng

Đường thẳng cắt nhau giữa hai mặt phẳng ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_1:n_1\cdot <!--\; \cdot \; -->r=h_1$ và ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_2:n_2\cdot <!--\; \cdot \; -->r=h_2$ với $n_i$ được chuẩn hóa bởi

$r=(c_1{n}_1+c_2{n}_2)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(n_1\times <!--\; \times \; -->n_2)$

với

Chúng ta có thể đạt được điều này bằng cách nhận thấy rằng các đường thẳng cần phải vuông góc với pháp tuyến của hai mặt phẳng, từ đó chúng phải song song với tích vectơ của chúng$n_1\times <!--\; \times \; -->n_2$ (vì tích vectơ sẽ bằng không khi và chỉ khi hai mặt phẳng này song song, tức là không cắt nhau hoặc hoàn toàn trùng nhau).

Để tìm phần còn lại của biểu thức, chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng. Mỗi điểm trong không gian có thể được diễn đạt dưới dạng$r=c_1{n}_1+c_2{n}_2+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(n_1\times <!--\; \times \; -->n_2)$, với$\{n_1,n_2,(n_1\times <!--\; \times \; -->n_2\left)\right\}$ là một cơ sở. Ta cần tìm điểm chung của hai mặt phẳng (nghĩa là giao điểm của chúng), vì vậy chèn phương trình này vào từng phương trình của hai mặt phẳng để giải cho $c_1$ và $c_2$.

Nếu giả sử rằng $n_1$ và $n_2$ là trực giao thì điểm gần nhất trên giao tuyến tới gốc tọa độ là $r_0=h_1{n}_1+h_2{n}_2$. Nếu không phải vậy, cần thực hiện một quy trình phức tạp hơn.

Góc giữa hai mặt phẳng

Xét hai mặt phẳng giao nhau được mô tả bởi ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$ và${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$, góc giữa chúng được xác định là góc $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ giữa hai pháp tuyến của chúng:

Mặt phẳng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học

Ngoài các cấu trúc hình học cơ bản với các phép đẳng cấu và tích trong quen thuộc, mặt phẳng có thể được nghiên cứu ở nhiều cấp độ trừu tượng khác nhau. Mỗi cấp độ trừu tượng này tương ứng với một thể loại cụ thể trong toán học.

Tại một cực đoan, mặt phẳng có thể được hiểu là một tấm cao su vô hạn lý tưởng hóa mà không có khái niệm về khoảng cách, mặc dù vẫn duy trì khái niệm về đường thẳng. Mặt phẳng topo, tương đương với hình tròn mở, là miền lân cận căn bản trong lý thuyết topo để xây dựng các bề mặt hai chiều hoặc đa tạp 2 chiều. Các phép đẳng cấu của mặt phẳng topo là các ánh xạ liên tục và mặt phẳng topo là nền tảng tự nhiên cho lý thuyết đồ thị liên quan đến đồ thị phẳng, với kết quả như định lý bốn màu.

Mặt phẳng có thể được coi như một không gian affine, nơi các phép đẳng cấu là sự kết hợp của tịnh tiến và ánh xạ tuyến tính không suy biến. Dưới góc nhìn này, mặc dù không có khái niệm về khoảng cách, tính chất cộng tuyến và tỷ lệ khoảng cách trên mọi đường thẳng vẫn được giữ nguyên.

Trong hình học vi phân, mặt phẳng được xem như một đa tạp thực hai chiều với cấu trúc vi phân. Ở đây, dù không có khái niệm về khoảng cách, nhưng có một khái niệm về tính trơn của các ánh xạ, chẳng hạn như đường thẳng khả vi hoặc trơn nhẵn, tùy thuộc vào cấu trúc vi phân. Các phép đẳng cấu trong trường hợp này là các ánh xạ song ánh theo độ khả vi được chọn.

Ngược lại, chúng ta có thể gán cho mặt phẳng một cấu trúc trường tương thích, từ đó tạo ra các mặt phẳng phức và các lĩnh vực chính của giải tích phức. Các trường phức chỉ có hai phép đẳng cấu khác biệt so với đường thẳng thực, đó là phép đồng nhất và phép liên hợp.

Tương tự như trong các trường hợp thực tế, mặt phẳng có thể được coi là đa tạp phức đơn giản nhất, một chiều trên trường số phức, đôi khi gọi là đường phức. Quan điểm này trái ngược với việc xem mặt phẳng như một đa tạp thực hai chiều. Các phép đẳng cấu của mặt phẳng phức đều là các ánh xạ song ánh bảo giác, nhưng thực tế là các ánh xạ tương ứng với nhân một số phức với phép tịnh tiến.

Ngoài hình học Euclide, nơi mặt phẳng có độ cong bằng không, mặt phẳng còn có thể được áp dụng các dạng hình học khác như hình học hình cầu thông qua phép chiếu lập thể. Điều này có thể hình dung như việc đặt một quả cầu trên mặt phẳng và chiếu hình cầu lên mặt phẳng từ điểm đó. Đây là một trong những phép chiếu dùng để tạo ra bản đồ phẳng của một phần bề mặt Trái đất, với các dạng hình học có độ cong dương liên tục.

Mặt phẳng cũng có thể được gán một chuẩn đo hệ mét, biến nó thành một mặt phẳng hyperbol với độ cong âm không đổi. Một ứng dụng khác có thể thấy trong thuyết tương đối đặc biệt, khi không gian có hai chiều và thời gian một chiều. (Các mặt phẳng hyperbol thực chất là siêu bề mặt loại thời gian trong không gian Minkowski ba chiều.)

Chú thích về hình học tôpô và hình học vi phân

Khi mở rộng compac tại một điểm, mặt phẳng trở thành đồng phôi với một hình cầu (xem phép chiếu lập thể); hình tròn mở tương đương với khối cầu khi 'cực Bắc' bị loại bỏ, và việc thêm điểm đó trở lại khối cầu (compact). Kết quả của sự mở rộng này là một đa tạp gọi là khối cầu Riemann hay đường xạ ảnh phức. Phép chiếu từ mặt phẳng Euclide lên một quả cầu không có điểm nào là một bản đồ vi đồng phôi và thậm chí còn bảo giác.

Mặt phẳng bản thân là đồng phôi (và vi đồng phôi) với một hình tròn mở. Đối với mặt phẳng hyperbol, sự vi đồng phôi là bảo giác, nhưng điều này không áp dụng cho các mặt phẳng Euclide.

• Hình học phẳng
• Polygone nửa mặt
• Siêu mặt
• Giao cắt đường và mặt phẳng
• Mặt phẳng tiếp xúc
• Mặt phẳng quay
• Điểm gần nhất trên mặt phẳng đến gốc
• Mặt phẳng dự án

Ghi chú

• Anton, Howard (1994), Đại số tuyến tính cơ bản (ấn bản 7), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Eves, Howard (1963), Tổng quan về Hình học, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

Liên kết bên ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Mặt phẳng”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., 'Mặt phẳng' từ MathWorld.
• “Giảm bớt độ khó của số học và hình học phẳng” là một bản thảo Ả Rập từ thế kỷ 15, là hướng dẫn về hình học phẳng và số học.