Mô-men quay

Trong vật lý, mô-men động lượng (hay còn gọi là mô-men xung lượng, động lượng quay) là đại lượng đo lường mức độ và hướng quay của vật thể quanh một điểm cố định.

Đối với vật rắn nhỏ so với khoảng cách đến điểm quay, mô-men động lượng, , phụ thuộc vào động lượng, , của vật và véc-tơ khoảng cách từ vật đến tâm quay, .

Đối với các vật rắn có hình dạng bất kỳ, mô-men động lượng quanh một trục cố định có thể tính dựa trên mô-men quán tính của vật đó với trục, $I$, và vận tốc góc, :

Công thức tính mô-men động lượng của vật rắn

Mô-men động lượng của các chất điểm quanh một trục quay có công thức như sau:

Với các vật rắn, mô-men động lượng quanh một trục quay là tổng hợp của mô-men động lượng từ từng chất điểm nhỏ:

Sau một số phép biến đổi toán học, ta có kết quả như sau:

Chiếu lên ba trục xyz và rút gọn lại, ta có:

$\{\begin{array}{c}{L}_x=I_{xx}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x+I_{xy}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y+I_{xz}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z\\ L_y=I_{yx}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x+I_{yy}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y+I_{yz}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z\\ L_z=I_{zx}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x+I_{zy}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y+I_{zz}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z\end{array}$

Với các thông số:

$\{\begin{array}{c}{I}_{xx}=\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{m}_i(y_i^2+z_i^2)\\ I_{yy}=\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{m}_i(z_i^2+x_i^2)\\ I_{zz}=\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}$

Từ đây, ta có thể đơn giản hóa các phương trình thành một phương trình vector:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}=\left[I\right]\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$

Với $\left[I\right]$ là ma trận moment quán tính

Định luật Newton 2 mở rộng

Khi có mô men lực, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$, tác dụng lên vật thể, thì mô men động lượng sẽ thay đổi theo phương trình tương tự như định luật Newton 2:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}}{dt}$

Nếu mô men quán tính của vật thể, $I$, không thay đổi, phương trình trên sẽ được đơn giản hóa thành:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=I\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}$

Định lý bảo toàn mô men động lượng

Từ công thức trên, nếu không có mô men lực tác dụng lên vật thể, mô men động lượng của nó sẽ không thay đổi theo thời gian. Đây là nội dung của định lý bảo toàn mô men động lượng. Cụ thể, 'mô men động lượng của một hệ không thay đổi khi hệ không chịu tổng cộng mô men ngoại lực'.

Cơ học lượng tử

Một đại lượng tương đương với mô men động lượng trong cơ học lượng tử cho các vật thể nhỏ là spin, một đại lượng quan trọng trong vật lý

• Vận tốc góc
• Mômen lực
• Spin
• Mô men
• Mô men từ quỹ đạo
• Mô men từ spin

Tài nguyên liên kết