Môn số học

Số học là một trong những nhánh toán học cổ xưa và cơ bản nhất, được sử dụng rộng rãi từ các công việc hàng ngày đến các tính toán khoa học và kinh doanh phức tạp, thông qua các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia và khai căn.

Thuật ngữ này thường được dùng để chỉ một nhánh toán học tập trung vào các thuộc tính cơ bản của các phép toán trên số. Đôi khi, các nhà toán học sử dụng cụm từ số học (cao cấp) để chỉ môn lý thuyết số, nhưng không nên nhầm lẫn với số học cơ bản. Các ngôn ngữ gốc Hán gọi môn này là toán thuật; từ số học lại được dùng để chỉ môn học mà người Việt gọi là toán học.

Lịch sử

Lịch sử số học thời kỳ tiền sử rất hạn chế với một số hiện vật cho thấy khái niệm cơ bản về phép cộng và trừ. Một trong những ví dụ nổi tiếng nhất là xương Ishango từ trung tâm châu Phi, có niên đại từ 20.000 đến 18.000 TCN, dù vẫn còn tranh cãi về cách giải thích của nó.

Các tài liệu cổ nhất cho thấy người Ai Cập và Babylon đã áp dụng các phép toán số học cơ bản từ năm 2000 TCN. Những hiện vật này không luôn tiết lộ chi tiết quy trình giải quyết vấn đề, nhưng hệ đếm cụ thể đã ảnh hưởng lớn đến phương pháp. Hệ thống chữ tượng hình Ai Cập, tương tự như chữ số La Mã sau này, bắt nguồn từ các dấu kiểm đếm, dẫn đến giá trị cơ số thập phân mà không có ký hiệu vị trí. Đối với các phép toán phức tạp với chữ số La Mã, cần đến bảng đếm (hoặc bàn tính La Mã) để đạt được kết quả chính xác.

Các hệ đếm đầu tiên có ký hiệu vị trí nhưng không phải là hệ thập phân, bao gồm hệ cơ số 60 của Babylon và hệ cơ số 20 của Maya. Khả năng sử dụng các ký hiệu này cho các hệ đếm khác nhau đã cung cấp một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn trong tính toán.

Sự phát triển liên tục của số học hiện đại bắt đầu từ nền văn minh Hy Lạp cổ đại, mặc dù nó xuất hiện muộn hơn so với các ví dụ từ Babylon và Ai Cập. Trước tác phẩm của Euclid vào khoảng năm 300 TCN, nghiên cứu toán học của người Hy Lạp thường bị ảnh hưởng bởi triết lý và thần bí. Ví dụ, Nicomachus đã tóm tắt quan điểm của phương pháp Pythagore đối với các số và mối quan hệ của chúng trong tác phẩm Nhập môn Số học của ông.

Các chữ số Hy Lạp đã được Archimedes, Diophantus và nhiều người khác sử dụng trong một hệ ký hiệu vị trí khá giống với hệ hiện đại. Người Hy Lạp cổ đại chưa có ký hiệu cho số 0 cho đến thời kỳ Hy Lạp hóa, và họ sử dụng ba bộ ký hiệu khác nhau cho hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm. Đối với hàng nghìn, họ sử dụng lại các ký hiệu cho đơn vị. Thuật toán cộng của họ tương tự như phương pháp hiện đại, trong khi thuật toán nhân chỉ khác một chút. Thuật toán chia dài của họ giống nhau và thuật toán căn bậc hai từng chữ số, được phổ biến gần đây vào thế kỷ 20, được biết đến bởi Archimedes (người có thể đã phát minh ra nó). Ông ưa chuộng phương pháp này hơn phương pháp tính gần đúng liên tục của Hero vì một chữ số không thay đổi sau khi tính toán, và căn bậc hai của các bình phương hoàn hảo như 7485696 sẽ cho kết quả ngay lập tức là 2736. Đối với các số có phần thập phân như 546,934, họ sử dụng lũy thừa âm của 60 thay vì lũy thừa âm của 10 cho phần thập phân 0,934.

Người Trung Quốc cổ đại đã nghiên cứu sâu về số học từ thời nhà Thương đến thời nhà Đường, từ các con số cơ bản đến đại số phức tạp. Họ sử dụng hệ thống ký hiệu vị trí tương tự như của người Hy Lạp. Dù không có ký hiệu cho số 0, họ có bộ ký hiệu cho đơn vị và bộ khác cho hàng chục, và dùng lại các ký hiệu cho hàng trăm. Các ký hiệu này bắt nguồn từ các que đếm cổ đại. Việc người Trung Quốc bắt đầu tính toán với đại diện vị trí chưa được xác định chính xác, nhưng có bằng chứng cho thấy điều này bắt đầu trước năm 400 TCN. Họ là những người đầu tiên khám phá và áp dụng các số âm một cách có ý nghĩa, điều này được ghi chép trong Cửu chương toán thuật (Jiuzhang Suanshu) của Lưu Huy vào thế kỷ 2 TCN.

Sự phát triển của hệ thống chữ số Hindu – Ả Rập đã độc lập phát minh ra khái niệm giá trị và ký hiệu vị trí, kết hợp phương pháp tính toán đơn giản với cơ số thập phân và sử dụng ký hiệu số 0. Điều này cho phép biểu diễn nhất quán các số nguyên lớn và nhỏ, và đã thay thế hầu hết các hệ thống khác. Vào đầu thế kỷ 6, nhà toán học Ấn Độ Aryabhata đã áp dụng hệ thống này trong các nghiên cứu của mình và thử nghiệm với các ký hiệu khác. Vào thế kỷ 7, Brahmagupta đã xác định việc sử dụng số 0 như một số riêng biệt và xác định kết quả của các phép toán với số 0, trừ phép chia cho số không. Giám mục Syriac Severus Sebokht (650) đã ca ngợi, “Người Ấn Độ có một phương pháp tính toán không từ ngữ nào có thể khen ngợi đủ. Hệ thống toán học hợp lý của họ, hay phương pháp tính toán của họ, sử dụng chín ký hiệu.” Người Ả Rập đã tiếp nhận phương pháp này và gọi nó là hesab.

Mặc dù Codex Vigilanus đã mô tả một dạng sơ khai của chữ số Ả Rập (không có số 0) vào năm 976, Leonardo thành Pisa (Fibonacci) là người đóng vai trò quan trọng trong việc phổ biến chúng ở châu Âu sau khi xuất bản cuốn sách Liber Abaci vào năm 1202. Ông viết, “Phương pháp của người Ấn Độ (Latin Modus Indoram) vượt trội hơn bất kỳ phương pháp tính toán nào đã biết. Đây là một phương pháp kỳ diệu. Họ thực hiện các phép tính bằng cách sử dụng chín ký hiệu và số không.”

Trong thời Trung Cổ, số học là một trong bảy môn học cơ bản được giảng dạy tại các trường đại học.

Sự phát triển vượt bậc của đại số trong thế giới Hồi giáo thời trung cổ, và sau đó là ở châu Âu trong thời kỳ Phục hưng, đã đánh dấu một bước tiến lớn trong việc đơn giản hóa phép toán nhờ vào hệ thống ký hiệu thập phân.

Đã có nhiều loại công cụ được phát minh và sử dụng rộng rãi để hỗ trợ tính toán số. Trước thời kỳ Phục hưng, những công cụ này chủ yếu là các loại bàn tính khác nhau. Các công cụ gần đây hơn bao gồm các quy tắc trang trình bày, biểu đồ và máy tính cơ học như máy tính Pascal. Hiện nay, những công cụ này đã được thay thế bằng máy tính điện tử và máy tính.

Số

Số là khái niệm cơ bản trong toán học, và đã trở thành phần không thể thiếu trong lịch sử toán học của nhân loại. Số giúp con người ghi lại số lượng các đối tượng như công cụ sản xuất, gia súc, v.v. Các nền văn hóa khác nhau có hệ thống ký hiệu khác nhau, mỗi ký hiệu thường gọi là một chữ số hay con số, hiện nay được gọi là ký số. Các chữ số được kết hợp theo quy ước để tạo thành các số.

Các phương pháp ghi số phổ biến trong toán học bao gồm hệ thống số La Mã của người Ả Rập với các chữ cái như (I, V, X, L, C,...) và giá trị số tương ứng, và hệ thống ghi chép thập phân với các chữ số (0, 1, 2,... 9).

Phép toán số học

Các phép toán cơ bản trong số học bao gồm cộng, trừ, nhân và chia. Tuy nhiên, lĩnh vực này cũng mở rộng ra các phép toán nâng cao như tỷ lệ phần trăm, căn bậc hai, lũy thừa, hàm logarit và hàm lượng giác. Các biểu thức số học cần được đánh giá theo đúng thứ tự các phép toán đã quy định. Có nhiều phương pháp để xác định thứ tự này, chẳng hạn như sử dụng dấu ngoặc đơn và nguyên tắc ưu tiên, hoặc áp dụng ký hiệu tiền tố hoặc hậu tố. Một tập hợp đối tượng có thể thực hiện cả bốn phép toán cơ bản (trừ phép chia cho 0) và tuân theo các quy luật thông thường, bao gồm cả phân phối, được gọi là trường.

Phép cộng

Phép cộng, ký hiệu bằng $+$, là phép toán cơ bản nhất trong số học. Phép cộng đơn giản kết hợp hai số gọi là số hạng để tạo thành một số mới, gọi là tổng số (ví dụ: 2 + 2 = 4 hay 3 + 5 = 8).

Cộng nhiều số hữu hạn có thể được coi là một dạng phép cộng lặp lại; quy trình này gọi là tính tổng, cũng được dùng để mô tả việc 'cộng vô số số' trong một chuỗi vô hạn. Việc cộng thêm số 1 nhiều lần là hình thức đếm cơ bản nhất; kết quả của việc cộng thêm 1 thường được gọi là số tiếp theo của số ban đầu.

Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp, vì vậy thứ tự các số hạng không ảnh hưởng đến kết quả. Phần tử đơn vị trong phép cộng là số khi kết hợp với bất kỳ số nào đều không thay đổi số đó. Theo quy tắc của phép cộng, việc cộng 0 vào bất kỳ số nào đều giữ nguyên số đó, do vậy 0 là phần tử đơn vị của phép cộng. Nghịch đảo của một số trong phép cộng là số khi cộng với số đó sẽ cho phần tử đơn vị của phép toán này. Nghĩa là, nghịch đảo cộng của một số (hoặc số đối) là số khi cộng vào số ban đầu cho kết quả là 0; ví dụ, nghịch đảo cộng của 7 là −7, vì 7 + (−7) = 0.

Phép cộng cũng có thể được diễn giải qua hình học, như trong ví dụ sau:

• Nếu chúng ta có hai que tính với độ dài lần lượt là 2 và 5, khi chúng ta đặt cạnh nhau, tổng chiều dài của que tính là 7, vì 2 + 5 = 7.

Phép trừ

Phép trừ, ký hiệu bằng $-<!--\; -\; -->$, là phép toán nghịch đảo của phép cộng. Phép trừ xác định sự khác biệt giữa hai số, với số trừ trừ đi số bị trừ: D = M - S. Dựa trên phép cộng đã được thiết lập, điều này có nghĩa là sự khác biệt là số khi cộng vào số bị trừ sẽ cho số trừ: D + S = M.

Đối với các số dương, M và S có các đặc điểm sau:

Nếu số bị trừ lớn hơn số trừ, sự khác biệt D sẽ là dương.

Nếu số bị trừ nhỏ hơn số trừ, sự khác biệt D sẽ là âm.

Khi số bị trừ và số trừ bằng nhau, hiệu số D = 0.

Phép trừ không có tính chất giao hoán hay kết hợp. Do đó, trong đại số hiện đại, phép toán này thường được thay thế bằng khái niệm phần tử nghịch đảo (như đã mô tả trong phần Phép cộng), với phép trừ được coi như là việc cộng nghịch đảo của số bị trừ; tức là, a − b = a + (−b). Việc loại bỏ phép trừ dẫn đến sự xuất hiện của phép toán một ngôi, nơi kết quả là nghịch đảo của phép cộng cho bất kỳ số nào, làm mất đi khái niệm về sự khác biệt và có thể gây nhầm lẫn khi làm việc với các số âm.

Với bất kỳ hệ thống biểu diễn số nào, có các phương pháp tính toán kết quả, một số phương pháp đặc biệt hữu ích trong việc thực hiện các phép toán, với những điều chỉnh nhỏ có thể áp dụng cho các phép toán khác. Ví dụ, máy tính kỹ thuật số có thể tận dụng mạch cộng hiện có và tiết kiệm mạch bổ sung để thực hiện phép trừ, bằng cách sử dụng phương pháp bù hai để biểu diễn phép cộng nghịch đảo. Điều này rất dễ thực hiện trong phần cứng (phủ định). Tuy nhiên, việc này làm giảm một nửa phạm vi số cho mỗi độ dài cố định.

Trước đây, để tính số tiền phải trả lại một cách chính xác khi biết số tiền đưa và số tiền phải trả, người ta thường dùng phương pháp đếm ngược. Phương pháp này không trực tiếp tính ra sự khác biệt. Ví dụ, khi một số tiền P được đưa ra để trả số tiền yêu cầu Q, với P lớn hơn Q, thay vì thực hiện phép trừ P - Q = C để tính số tiền phải trả lại, người ta sẽ đếm từ số kế tiếp của Q theo các đơn vị tiền tệ cho đến khi đạt đến P. Mặc dù số tiền được đếm ra bằng kết quả của phép trừ P - Q, nhưng phép trừ thực sự không được thực hiện và giá trị của P - Q không được cung cấp bằng phương pháp này.

Phép nhân

Phép nhân, được ký hiệu bằng các biểu tượng $\times <!--\; \times \; -->$ hoặc $\cdot <!--\; \cdot \; -->$, là phép toán cơ bản thứ hai trong số học. Phép nhân kết hợp hai số để tạo ra một số duy nhất gọi là tích. Các số ban đầu được gọi là số nhân, và chúng thường được gọi chung là thừa số.

Phép nhân có thể được hiểu như một phép toán tỷ lệ. Nếu tưởng tượng các số nằm trên một trục, việc nhân với một số lớn hơn 1, chẳng hạn như x, giống như kéo dài mọi thứ ra từ vị trí 0 đồng đều, sao cho số 1 kéo dài đến vị trí x. Ngược lại, nhân với một số nhỏ hơn 1 có thể được tưởng tượng như việc nén trục về phía 0, sao cho 1 được thu nhỏ đến vị trí x.

Một cách nhìn khác về phép nhân các số nguyên (có thể mở rộng cho số hữu tỉ nhưng không dễ áp dụng với số thực) là coi nó như một phép cộng lặp lại. Ví dụ, 3 × 4 tương đương với việc cộng 3 lần với 4 hoặc 4 lần với 3, cho cùng một kết quả. Có nhiều quan điểm khác nhau về lợi ích của các mô hình này trong giáo dục toán học.

Phép nhân có tính chất giao hoán và kết hợp, và nó còn phân phối trên phép cộng và phép trừ. Phần tử đơn vị của phép nhân là số 1, vì nhân bất kỳ số nào với 1 sẽ thu được chính số đó. Nghịch đảo của phép nhân đối với bất kỳ số nào (ngoại trừ 0) là nghịch đảo của số đó, vì nhân số nghịch đảo của bất kỳ số nào với chính số đó sẽ được phần tử đơn vị 1. Số 0 là số duy nhất không có nghịch đảo trong phép nhân và kết quả của phép nhân bất kỳ số nào với 0 luôn là 0. Vì vậy, số 0 không thuộc nhóm phép nhân của các số.

Tích của a và b được viết dưới dạng a × b hoặc a·b. Khi a hoặc b là các biểu thức phức tạp không thể viết đơn giản bằng chữ số, chúng có thể được ghi là ab. Trong lập trình máy tính và các phần mềm, nơi chỉ có thể sử dụng các ký tự bàn phím, phép nhân thường được ký hiệu bằng dấu hoa thị: a * b.

Các thuật toán thực hiện phép nhân trên các biểu diễn số tốn nhiều công sức hơn so với phép cộng. Các phương pháp tính toán thủ công thường chia nhỏ các yếu tố thành các giá trị vị trí và sử dụng phép cộng lặp lại hoặc các bảng và quy tắc loga để ánh xạ phép nhân với phép cộng. Tuy nhiên, các phương pháp này đã lỗi thời và được thay thế bởi các thiết bị di động hiện đại. Máy tính ngày nay sử dụng các thuật toán phức tạp và được tối ưu hóa để thực hiện phép nhân và chia cho nhiều định dạng số khác nhau.

Phép chia

Phép chia, ký hiệu bằng các biểu tượng $:$, $/$ hoặc $÷<!--\; ÷\; -->$, là phép toán nghịch đảo của phép nhân. Phép chia tìm thương khi chia một số số bị chia cho số chia. Chia bất kỳ số nào cho 0 là không xác định. Với các số dương phân biệt, nếu số bị chia lớn hơn số chia, thì thương lớn hơn 1; ngược lại, thương nhỏ hơn 1 (quy tắc tương tự áp dụng cho số âm). Thương số nhân với số chia luôn thu được số bị chia.

Phép chia không có tính chất giao hoán hoặc kết hợp. Vì vậy, giống như phép trừ, phép chia trong đại số hiện đại thường không được sử dụng trực tiếp mà thay vào đó, các phần tử nghịch đảo đối với phép nhân được sử dụng, như đã đề cập trong phép nhân. Do đó, phép chia có thể được hiểu là phép nhân của số bị chia với nghịch đảo của số chia, tức là a : b = a × 1/b.

Trong tập hợp các số tự nhiên, có một khái niệm khác gọi là phép chia Euclide. Phép chia này cho kết quả hai số khi chia số tự nhiên N (tử số) cho số tự nhiên D (mẫu số): số đầu tiên là Q (thương số) và số thứ hai là R (phần dư), sao cho N = D×Q + R và 0 ≤ R < Q.

Định lý cơ bản của số học

Định lý cơ bản của số học khẳng định rằng mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có một cách phân tích duy nhất thành các thừa số nguyên tố (biểu diễn số dưới dạng tích của các số nguyên tố), không kể đến thứ tự của các thừa số. Ví dụ: số 252 có duy nhất một cách phân tích thành thừa số nguyên tố:

252 = 2 × 3 × 7

Định lý cơ bản của số học lần đầu tiên được đề cập trong tác phẩm của Euclid, kèm theo một chứng minh từng phần được gọi là bổ đề Euclid. Chứng minh hoàn chỉnh định lý này là công trình của Carl Friedrich Gauss.

Định lý cơ bản của số học là một trong những lý do chính khiến số 1 không được coi là số nguyên tố. Ngoài ra, lý do khác bao gồm sàng Eratosthenes và định nghĩa về số nguyên tố (là số tự nhiên lớn hơn 1 không thể được phân tích thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn).

Số học thập phân

Biểu diễn thập phân đề cập đến hệ thống chữ số sử dụng chữ số Ả Rập trong cơ số 10 để ký hiệu các giá trị vị trí; tuy nhiên, bất kỳ hệ thống chữ số nào dựa trên cơ số 10, như chữ số Hy Lạp, Kirin, La Mã hoặc Trung Quốc, cũng có thể được gọi là 'ký hiệu thập phân' hoặc 'biểu diễn thập phân'.

Brahmagupta của Ấn Độ là người đầu tiên phát triển phương pháp hiện đại cho bốn phép toán cơ bản (cộng, trừ, nhân và chia). Phương pháp này được biết đến trong thời trung cổ ở Châu Âu dưới tên gọi 'Modus Indoram' hay Phương pháp của người da đỏ. Ký hiệu vị trí (hay còn gọi là 'ký hiệu giá trị vị trí') là cách biểu diễn hoặc mã hóa số bằng cách sử dụng cùng một ký hiệu cho các thứ tự độ lớn khác nhau (như 'hàng đơn vị', 'hàng chục', 'hàng trăm') và, với một dấu phân cách cơ số, sử dụng các ký hiệu đó để biểu thị phân số (như 'vị trí phần mười', 'vị trí hàng trăm'). Ví dụ: 507,36 biểu thị 5 trăm (10^2), cộng 0 chục (10^1), cộng 7 đơn vị (10^0), cộng 3 phần mười (10^-1), cộng 6 phần trăm (10^-2).

Khái niệm số 0 như một số riêng biệt và so sánh với các chữ số khác là rất quan trọng cho hệ thống ký hiệu này. 0 không chỉ được dùng như một chỗ giữ và định nghĩa cho phép nhân và phép cộng với 0, mà còn là nền tảng cho ký hiệu vị trí. Văn bản Jain Ấn Độ, Lokavibhâga, viết vào năm 458 Sau Công nguyên, là bằng chứng sớm nhất về việc sử dụng 0 như một ký hiệu giữ chỗ. Các khái niệm này chỉ được truyền vào châu Âu thông qua học thuật Ả Rập và Fibonacci vào đầu thế kỷ 13, và được tích hợp vào hệ thống chữ số Hindu – Ả Rập.

Thuyết đại số cung cấp các quy tắc để thực hiện các phép toán số học sử dụng hệ thống chữ số này. Ví dụ, phép cộng cho tổng của hai số được thực hiện bằng cách cộng từng chữ số trong cùng một vị trí từ phải sang trái. Bảng cộng với mười hàng và mười cột liệt kê tất cả các giá trị có thể cho mỗi tổng. Nếu tổng vượt quá 9, kết quả sẽ được biểu diễn bằng hai chữ số, với chữ số ngoài cùng bên phải đại diện cho giá trị hiện tại và chữ số bên trái tăng giá trị của chữ số thứ hai (ngoài cùng bên trái), luôn là 1 (nếu không phải là 0). Điều chỉnh này được gọi là giá trị có nhớ 1.

Quy trình nhân hai số theo cách tương tự như phép cộng. Một bảng cửu chương có mười hàng và mười cột liệt kê kết quả cho mỗi cặp chữ số. Nếu sản phẩm của một cặp chữ số vượt quá 9, điều chỉnh có nhớ sẽ tăng kết quả của các phép nhân tiếp theo từ các chữ số bên trái bằng giá trị của chữ số thứ hai (ngoài cùng bên trái), nằm trong khoảng từ 1 đến 8 (9 × 9 = 81). Các bước bổ sung sẽ xác định kết quả cuối cùng.

Các phương pháp tương tự cũng áp dụng cho phép trừ và phép chia.

Quá trình tạo ra một quy trình chính xác cho phép nhân dựa trên mối quan hệ giữa các giá trị của các chữ số liền kề. Giá trị của bất kỳ chữ số nào trong một số phụ thuộc vào vị trí của nó. Mỗi vị trí bên trái đại diện cho giá trị lớn hơn mười lần so với vị trí bên phải. Trong toán học, số mũ cho cơ số 10 tăng lên 1 (bên trái) hoặc giảm đi 1 (bên phải). Vì vậy, giá trị của bất kỳ chữ số nào nhân với một giá trị có dạng 10^n, với n là số nguyên. Danh sách các giá trị tương ứng cho tất cả các vị trí có thể của một chữ số là {..., 10, 10, 1, 10, 10,...}.

Nhân bất kỳ giá trị nào trong danh sách với 10 sẽ tạo ra một giá trị khác trong danh sách đó. Trong toán học, đặc điểm này gọi là tính bao đóng, và danh sách này được gọi là đóng với phép nhân. Đây là cơ sở để xác định chính xác kết quả của phép nhân bằng kỹ thuật trước đó. Kết quả này minh họa việc áp dụng lý thuyết số.

Đơn vị phối hợp trong số học

Các đơn vị phối hợp trong số học đề cập đến việc áp dụng các phép toán cho các đơn vị đo lường hỗn hợp như feet và inch; ga-lông và pint; bảng Anh, shilling và pence; v.v. Trước khi có hệ thống tiền và đơn vị đo lường dựa trên thập phân, số học đơn vị phối hợp đã được sử dụng rộng rãi trong thương mại và công nghiệp.

Các phép toán số học cơ bản

Các phương pháp trong số học đơn vị phối hợp đã được phát triển qua nhiều thế kỷ và được ghi chép trong nhiều sách giáo khoa bằng nhiều ngôn ngữ khác nhau. Ngoài các phép toán số học cơ bản trong số học thập phân, số học đơn vị phối hợp còn sử dụng thêm ba phép toán đặc thù.

• Giảm, là quá trình chuyển đổi một lượng hỗn hợp đơn vị thành một đại lượng đơn vị duy nhất - ví dụ, chuyển đổi khoảng cách từ thước, feet và inch thành chỉ inch.
• Mở rộng, là phép biến đổi ngược lại của giảm, trong đó một đại lượng đơn vị duy nhất được chuyển đổi thành một đơn vị phức hợp, chẳng hạn như mở rộng 24 oz thành 1 lb 8 oz.
• Chuẩn hóa là quá trình chuyển đổi một tập hợp các đơn vị ghép thành dạng chuẩn — ví dụ, chuyển đổi '1 ft 13 in' thành '2 ft 1 in'.

Hiểu biết về mối quan hệ giữa các đơn vị đo lường khác nhau, cũng như các bội số và phân số của chúng, là phần quan trọng trong số học đơn vị hỗn hợp.

Nguyên tắc số học đơn vị phức hợp

Có hai phương pháp chính trong số học đơn vị hỗn hợp:

• Phương pháp rút gọn -mở rộng, trong đó tất cả các đơn vị hỗn hợp được chuyển đổi thành đơn vị đơn lẻ, các phép toán được thực hiện và kết quả được mở rộng lại thành đơn vị hỗn hợp. Phương pháp này thường được sử dụng cho các tính toán tự động, ví dụ như cách Microsoft Excel xử lý thời gian, trong đó tất cả các khoảng thời gian được tính toán nội bộ dưới dạng ngày và phần thập phân của ngày.
• Phương pháp chuẩn hóa liên tục, trong đó mỗi đơn vị được xử lý riêng biệt và quá trình chuẩn hóa được thực hiện liên tục khi giải pháp phát triển. Phương pháp này, thường được mô tả trong các văn bản cổ điển, phù hợp hơn cho các tính toán thủ công. Dưới đây là ví dụ về phương pháp chuẩn hóa liên tục áp dụng cho phép cộng.

Thao tác cộng được thực hiện từ phải sang trái; trong trường hợp này, pence được xử lý đầu tiên, sau đó đến shilling, cuối cùng là pound. Các con số dưới 'dòng trả lời' là kết quả trung gian.

Tổng số trong cột pence là 25. Vì có 12 pence trong một shilling, 25 được chia cho 12 để cho kết quả 2 với phần dư là 1. Giá trị '1' sau đó được ghi vào hàng câu trả lời và giá trị '2' chuyển tiếp đến cột shilling. Thao tác này được lặp lại bằng cách sử dụng các giá trị trong cột shilling, với bước bổ sung là thêm giá trị được chuyển tiếp từ cột pence. Tổng trung gian được chia cho 20 vì có 20 shilling trong một pound. Cột pound sau đó được xử lý, nhưng vì pound là đơn vị lớn nhất đang được xem xét, không có giá trị nào được chuyển tiếp từ cột pound.

Tính toán thực tế

Trong suốt thế kỷ 19 và 20, nhiều công cụ hỗ trợ khác nhau đã được phát triển để giúp thao tác các đơn vị hỗn hợp, đặc biệt trong thương mại. Các công cụ phổ biến nhất là máy cơ học được điều chỉnh ở các quốc gia như Vương quốc Anh để phù hợp với bảng Anh, shilling, pence và farthing, cùng với 'Ready Reckoners' — cuốn sách dành cho các nhà giao dịch liệt kê kết quả của các phép tính thông thường như tỷ lệ phần trăm hoặc bội số các khoản tiền khác nhau. Một cuốn sách điển hình có thể có đến 150 trang liệt kê bội số từ một đến mười nghìn với nhiều mức giá khác nhau từ một farthing đến một bảng Anh.

Tính phức tạp của số học đơn vị hỗn hợp đã được công nhận từ lâu. Năm 1586, nhà toán học người Flemish, Simon Stevin, xuất bản cuốn De Thiende ('số mười') trong đó ông dự đoán sự phổ biến của tiền đúc thập phân, các phép đo và trọng số chỉ là vấn đề thời gian. Trong kỷ nguyên hiện đại, nhiều chương trình chuyển đổi, chẳng hạn như trong hệ điều hành Windows 7 của Microsoft, hiển thị các đơn vị hỗn hợp dưới dạng thập phân rút gọn thay vì định dạng mở rộng (ví dụ: '2,5 ft' thay vì '2 ft 6 in').

Lý thuyết số

Cho đến thế kỷ 19, lý thuyết số là một từ đồng nghĩa với 'số học'. Các vấn đề liên quan đến các phép toán cơ bản như tính nguyên tố, tính chia hết và nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, như định lý cuối cùng của Fermat, đều được giải quyết. Mặc dù rất cơ bản, hầu hết các bài toán này rất khó và có thể không giải được nếu không có các khái niệm và phương pháp sâu từ nhiều ngành toán học khác. Điều này dẫn đến các nhánh mới của lý thuyết số như lý thuyết số giải tích, lý thuyết số đại số, hình học Diophantine và hình học số học. Chứng minh của Wiles về Định lý cuối cùng của Fermat là ví dụ điển hình về sự cần thiết của các phương pháp phức tạp, vượt xa số học cổ điển, để giải quyết các bài toán có thể được phát biểu trong số học sơ cấp.

Số học trong giáo dục

Giáo dục tiểu học về toán học thường tập trung mạnh vào các thuật toán cho số học của số tự nhiên, số nguyên, phân số và số thập phân (sử dụng hệ thống giá trị vị trí thập phân). Nghiên cứu này đôi khi được gọi là thuyết thuật toán.

Sự phức tạp và thiếu động lực của các thuật toán này đã từ lâu khiến các nhà giáo dục cân nhắc lại chương trình học, ủng hộ việc giảng dạy các ý tưởng toán học trực quan và quan trọng hơn từ sớm. Một phong trào nổi bật theo hướng này là Toán học Mới của những năm 1960 và 1970, cố gắng dạy số học theo cách tiếp cận tiên đề từ lý thuyết tập hợp, phản ánh xu hướng phổ biến trong toán học cao cấp.

Ngoài ra, các Học giả Hồi giáo đã sử dụng số học để giảng dạy các quy tắc liên quan đến Zakat và Irth. Điều này được thực hiện trong cuốn sách The Best of Arithmetic của Abd-al-Fattah-al-Dumyati. Cuốn sách bắt đầu với những nền tảng của toán học và tiến tới ứng dụng của nó trong các chương sau.

Các loại số

Các số có thể được chia thành các tập hợp theo các hệ thống số khác nhau.

• Số tự nhiên
• Số nguyên
• Số nguyên tố
• Số hữu tỉ
• Số vô tỉ
• Số thực
• Số phức
• Số siêu phức

Ghi chú

Tài liệu tham khảo

Liên kết hữu ích

• Bài viết về số học trên MathWorld
• Tính toán vĩ đại theo người Ấn Độ, của Maximus Planudes – một tác phẩm phương Tây sớm về số học