Một Bằng Chứng Mới Đưa Kim Động Trong Một Vấn Đề Hình Học Khó Nhằn

Phiên bản ban đầu của câu chuyện này xuất hiện trong Tạp chí Quanta.

Năm 1917, nhà toán học người Nhật Bản Sōichi Kakeya đặt ra một bài toán ban đầu dường như không có gì ngoài một bài tập vui vẻ về hình học. Đặt một chiếc kim mảnh, mảnh mỏng vô cùng, lên một bề mặt phẳng, sau đó quay nó sao cho nó chỉ vào mọi hướng lần lượt. Diện tích nhỏ nhất mà chiếc kim có thể quét ra là bao nhiêu?

Nếu bạn chỉ quay nó xung quanh trung tâm, bạn sẽ thu được một hình tròn. Nhưng có thể di chuyển chiếc kim theo cách sáng tạo, sao cho bạn tạo ra một lượng không gian nhỏ hơn nhiều. Từ đó, những người toán học đã đặt ra một phiên bản liên quan của câu hỏi này, gọi là Ước Đoán Kakeya. Trong quá trình cố gắng giải quyết nó, họ đã khám phá ra những kết nối đáng ngạc nhiên với phân tích cơ học, lý thuyết số, và thậm chí là vật lý.

“Bằng cách nào đó, hình học của các đường chỉ vào nhiều hướng khác nhau là phổ biến trong một phần lớn của toán học,” nói Jonathan Hickman của Đại học Edinburgh.

Nhưng điều đó cũng là điều mà các nhà toán học vẫn chưa hiểu đầy đủ. Trong vài năm qua, họ đã chứng minh các biến thể của Ước Đoán Kakeya trong những bối cảnh dễ dàng hơn, nhưng câu hỏi vẫn chưa được giải quyết trong không gian ba chiều bình thường. Một thời gian dài, dường như mọi tiến triển đều đình trệ trên phiên bản đó của Ước Đoán, mặc dù nó mang lại nhiều hậu quả toán học.

Bây giờ, hai nhà toán học đã đưa kim chuyển động, để nói một cách nói khác. Bằng chứng mới của họ hạ gục một rào cản lớn đã tồn tại trong nhiều thập kỷ—đánh bại hy vọng rằng một giải pháp có thể cuối cùng là trong tầm tay.

Vấn Đề Nhỏ Gì Thế?

Kakeya quan tâm đến các tập hợp trong mặt phẳng chứa một đoạn thẳng có chiều dài 1 ở mọi hướng. Có nhiều ví dụ về các tập hợp như vậy, đơn giản nhất là một đĩa có đường kính 1. Kakeya muốn biết tập hợp nhỏ nhất như thế sẽ trông như thế nào.

Anh đề xuất một tam giác với các cạnh lõm một cách nhẹ, gọi là một deltoid, có diện tích bằng một nửa của đĩa. Tuy nhiên, hóa ra có thể làm tốt hơn rất nhiều.

Năm 1919, chỉ vài năm sau khi Kakeya đặt ra vấn đề của mình, nhà toán học Nga Abram Besicovitch chứng minh rằng nếu bạn sắp xếp những chiếc kim của mình một cách rất cụ thể, bạn có thể xây dựng một tập hợp trông giống như có gai với diện tích tùy ý nhỏ. (Do Chiến tranh thế giới thứ nhất và Cách mạng Nga, kết quả của ông sẽ không đến được với thế giới toán học trong vài năm nữa.)

Để thấy cách điều này có thể hoạt động, hãy lấy một tam giác và chia nó dọc theo đáy thành các mảnh tam giác mảnh hơn. Sau đó, trượt những mảnh đó sao cho chúng chồng lên nhau càng nhiều càng tốt nhưng nhô ra theo hướng khác nhau một chút. Bằng cách lặp lại quá trình này lần lượt—chia tam giác của bạn thành các đoạn mảnh mảnh hơn và mảnh hơn và sắp xếp chúng cẩn thận trong không gian—bạn có thể làm cho tập hợp của mình nhỏ đến bất kỳ mức độ nào bạn muốn. Trong giới hạn vô hạn, bạn có thể có được một tập hợp mà toán học không có diện tích nhưng vẫn, một cách nghịch lý, có thể chứa một chiếc kim chỉ về mọi hướng.

“Điều đó khá ngạc nhiên và ngược đời,” nói Ruixiang Zhang của Đại học California, Berkeley. “Đó là một tập hợp rất bất thường.”

Kết quả này có thể được tổng quát hóa cho các chiều cao hơn: Có thể xây dựng một tập hợp với thể tích tùy ý nhỏ chứa một đoạn thẳng đơn vị chỉ về mọi hướng trong không gian n chiều.

Besicovitch có vẻ đã giải quyết hoàn toàn câu hỏi của Kakeya. Nhưng nhiều thập kỷ sau, nhà toán học bắt đầu nghiên cứu phiên bản khác của vấn đề trong đó họ thay thế diện tích (hoặc thể tích, trong trường hợp có nhiều chiều hơn) bằng một khái niệm khác về kích thước.

Để hiểu việc đặt lại câu hỏi này, trước hết hãy làm dày mỗi đoạn thẳng trong tập hợp Kakeya một chút—như thể bạn đang sử dụng một cây kim thực tế, thay vì một cây kim lý tưởng. Trong mặt phẳng, tập hợp của bạn sẽ bao gồm các hình chữ nhật cực kỳ mảnh; trong không gian ba chiều, bạn sẽ có một bộ sưu tập của các ống cực kỳ mảnh.

Những tập hợp được làm dày này luôn có một diện tích nào đó (hoặc thể tích, nhưng chúng ta sẽ giữ ở trường hợp hai chiều trước). Khi bạn thay đổi độ rộng của cây kim, diện tích này sẽ thay đổi. Trong những năm 1970, nhà toán học Roy Davies (người đã qua đời vào tháng 6) đã cho thấy nếu tổng diện tích thay đổi một lượng nhỏ, độ dày của mỗi cây kim phải thay đổi một cách đáng kể. Ví dụ, nếu bạn muốn một phiên bản làm dày của tập hợp Besicovitch có diện tích là 1/10 của một inch vuông, mỗi cây kim cần có độ dày khoảng 0.000045 inch: e⁻¹⁰ inch, để chính xác. Nhưng nếu bạn muốn tổng diện tích là 1/100 của một inch vuông—nhỏ hơn 10 lần—cây kim phải có độ dày là e⁻¹⁰⁰ inch. (Sau dấu thập phân, có bốn mươi ba số không đi sau dấu chấm trước khi bạn đến các chữ số khác.)

“Nếu bạn nói cho tôi bạn muốn diện tích nhỏ đến mức nào, thì tôi phải yêu cầu một cây kim vô cùng mảnh,” nói Charles Fefferman của Đại học Princeton.

Nhà toán học đo “kích thước” của tập hợp Kakeya bằng một lượng gọi là chiều Minkowski, liên quan đến nhưng không hoàn toàn giống như chiều thông thường (được định nghĩa là số hướng độc lập bạn cần để mô tả một không gian).

Dưới đây là một cách để nghĩ về chiều Minkowski: Lấy tập hợp của bạn và che phủ nó bằng những viên bi nhỏ mỗi viên có đường kính là một triệu phần một đơn vị bạn chọn. Nếu tập hợp của bạn là một đoạn thẳng chiều dài 1, bạn sẽ cần ít nhất 1 triệu viên bi để che phủ nó. Nếu tập hợp của bạn là một hình vuông có diện tích là 1, bạn sẽ cần nhiều bi hơn rất nhiều: một triệu bình phương, hoặc một tỉ. Đối với một quả cầu có thể tích là 1, đó là khoảng 1 triệu lập phương (một tỷ tỉ), và cứ thế. Chiều Minkowski là giá trị của số mũ này. Nó đo lường tốc độ mà số lượng bi bạn cần để che phủ tập hợp của bạn tăng lên khi đường kính của mỗi viên bi trở nên nhỏ hơn. Một đoạn thẳng có chiều là 1, một hình vuông có chiều là 2, và một hình lập phương có chiều là 3.

Những chiều này là quen thuộc. Nhưng khi sử dụng định nghĩa của Minkowski, trở nên có thể xây dựng một tập hợp có chiều, ví dụ, là 2.7. Mặc dù tập hợp như vậy không chiếm hết không gian ba chiều, nhưng nó ở một ý nghĩa nào đó “lớn” hơn một bề mặt hai chiều.

Khi bạn che phủ một tập hợp bằng các viên bi có đường kính đã cho, bạn đang ước lượng thể tích của phiên bản làm dày của tập hợp. Càng chậm thì thể tích của tập hợp giảm khi kích thước của cây kim tăng, bạn càng cần nhiều viên bi để che phủ nó. Do đó, bạn có thể viết lại kết quả của Davies—nhằm chỉ ra rằng diện tích của một tập hợp Kakeya trong mặt phẳng giảm chậm—để chỉ ra rằng tập hợp đó phải có chiều Minkowski là 2.Ước Đoán Kakeya tổng quát hóa tuyên bố này sang các chiều cao hơn: Một tập hợp Kakeya luôn phải có cùng chiều với không gian nó tồn tại.

Tuyên bố đơn giản đó đã khá khó chứng minh.

Một Tháp Ước Đoán

Cho đến khi Fefferman phát hiện một điều đáng kinh ngạc vào năm 1971, Ước Đoán này chỉ được coi là một điều tò mò.

Lúc đó, anh ta đang làm việc trên một vấn đề hoàn toàn khác. Anh ta muốn hiểu biến đổi Fourier, một công cụ mạnh mẽ giúp nhà toán học nghiên cứu các hàm bằng cách viết chúng dưới dạng tổng của sóng sine. Hãy tưởng tượng một nốt nhạc, được tạo nên từ nhiều tần số chồng lấn. (Đó là lý do tại sao một nốt trung C trên piano nghe khác một nốt trung C trên đàn violin.) Biến đổi Fourier cho phép nhà toán học tính toán các tần số thành phần của một nốt nhạc cụ thể. Nguyên tắc tương tự cũng áp dụng cho âm thanh phức tạp như giọng nói người.

Nhà toán học cũng muốn biết liệu họ có thể tái tạo lại hàm ban đầu nếu họ chỉ được cung cấp một số tần số thành phần vô hạn của nó. Họ đã hiểu rõ cách làm điều này trong một chiều. Nhưng trong các chiều cao hơn, họ có thể lựa chọn khác nhau về việc sử dụng tần số nào và bỏ qua tần số nào. Fefferman chứng minh, làm cho đồng nghiệp của anh ta ngạc nhiên, rằng bạn có thể thất bại trong việc tái tạo hàm của mình khi phụ thuộc vào một cách chọn tần số đặc biệt khá nổi tiếng.

Chứng minh của anh ấy dựa vào việc xây dựng một hàm bằng cách sửa đổi tập hợp Kakeya của Besicovitch. Điều này sau đó truyền cảm hứng cho những nhà toán học phát triển một thứ bậc ước về hành vi nhiều chiều của biến đổi Fourier. Ngày nay, thứ bậc này thậm chí còn bao gồm những ước đoán về hành vi của các phương trình đạo hàm riêng quan trọng trong vật lý, như phương trình Schrödinger. Mỗi ước đoán trong thứ bậc tự động ngụ ý ước đoán ở phía dưới nó.

Ước đoán Kakeya nằm ở phía dưới cùng của tháp này. Nếu nó là sai, thì các tuyên bố ở phía trên thứ bậc cũng sai. Ngược lại, chứng minh nó đúng không ngay lập tức ngụ ý cho sự đúng đắn của những ước đoán ở phía trên, nhưng có thể cung cấp công cụ và hiểu biết để tấn công chúng.

“Điều tuyệt vời về Ước đoán Kakeya là nó không chỉ là một vấn đề thú vị; đó là một chướng ngại lý thuyết thực sự,” Hickman nói. “Chúng ta không hiểu nhiều về những hiện tượng trong các phương trình đạo hàm riêng và phân tích Fourier vì chúng ta không hiểu những tập hợp Kakeya này.”

Lập Kế Hoạch

Chứng minh của Fefferman—cùng với những kết nối sau đó với lý thuyết số, tổ hợp học và các lĩnh vực khác—đánh thức sự quan tâm lại vấn đề Kakeya giữa các nhà toán học hàng đầu.

Năm 1995, Thomas Wolff chứng minh rằng chiều Minkowski của một tập hợp Kakeya trong không gian 3D phải ít nhất là 2.5. Giới hạn dưới này lại khá khó tăng lên. Sau đó, vào năm 1999, các nhà toán học Nets Katz, Izabella Łaba và Terence Tao đã đạt được kết quả tốt hơn. Giới hạn mới của họ: 2.500000001. Mặc dù sự cải thiện nhỏ, nhưng nó vượt qua một chướng ngại lý thuyết lớn. Bài báo của họ đã được xuất bản trong Annals of Mathematics, tạp chí uy tín nhất trong lĩnh vực.

Katz và Tao sau đó hy vọng áp dụng một số ý tưởng từ công việc đó để tấn công Ước đoán Kakeya 3D một cách khác. Họ giả thiết rằng mọi ví dụ phản chứng phải có ba đặc tính cụ thể và sự tồn tại của những đặc tính đó phải dẫn đến một mâu thuẫn. Nếu họ có thể chứng minh điều này, điều đó có nghĩa là Ước đoán Kakeya đúng trong ba chiều.

Họ không thể đi hết đường, nhưng họ đã có tiến triển. Đặc biệt, họ (cùng với những nhà toán học khác) chỉ ra rằng mọi ví dụ phản chứng phải có hai trong ba đặc tính. Nó phải là “phẳng,” có nghĩa là khi các đoạn thẳng gặp nhau tại một điểm, những đoạn đó cũng nằm gần như trên cùng một mặt phẳng. Nó cũng phải là “hạt nhuyễn,” yêu cầu rằng các mặt phẳng của các điểm gặp nhau gần nhau cũng được xắp xếp tương tự.

Điều này để lại đặc tính thứ ba. Trong một tập hợp “dính,” các đoạn thẳng trỏ gần như cùng hướng cũng phải nằm gần nhau trong không gian. Katz và Tao không thể chứng minh rằng mọi ví dụ phản chứng phải là dính. Nhưng theo trực giác, một tập hợp dính dường như là cách tốt nhất để buộc một lượng lớn sự chồng chéo giữa các đoạn thẳng, từ đó làm cho tập hợp nhỏ nhất có thể—đúng như bạn cần để tạo ra một ví dụ phản chứng. Nếu ai đó có thể chỉ ra rằng một tập hợp Kakeya dính có chiều Minkowski nhỏ hơn 3, điều đó sẽ bác bỏ Ước đoán Kakeya 3D. “Nghe có vẻ như 'dính' sẽ là trường hợp đáng lo ngại nhất,” Larry Guth của Viện Công nghệ Massachusetts nói.

Không còn là nguy cơ nữa.

Điểm Dán Kéo

Năm 2014—hơn một thập kỷ sau khi Katz và Tao cố gắng chứng minh Ước đoán Kakeya—Tao đăng một tóm tắt phương pháp của họ trên blog cá nhân, mang lại cơ hội cho các nhà toán học khác thử nghiệm nó cho chính họ.

Năm 2021, Hong Wang, một nhà toán học tại Đại học New York, và Joshua Zahl của Đại học British Columbia quyết định tiếp tục từ nơi mà Tao và Katz đã dừng lại.

Họ bắt đầu với giả định về sự tồn tại của một ví dụ phản chứng dính với chiều Minkowski nhỏ hơn 3. Họ biết từ công việc trước đó rằng một ví dụ phản chứng như vậy phải là phẳng và hạt nhuyễn. “Vì vậy, chúng tôi đang ở trong thế giới mà Terry Tao và Nets Katz đang nghĩ về,” Zahl nói. Bây giờ họ cần chứng minh rằng các đặc tính phẳng, hạt nhuyễn và dính tương tác với nhau và dẫn đến một mâu thuẫn, điều đó có nghĩa là ví dụ phản chứng này thực sự không thể tồn tại.

Tuy nhiên, để có được mâu thuẫn đó, Wang và Zahl hướng sự chú ý của họ vào một hướng mà Katz và Tao không dự đoán—hướng về lý thuyết chiếu.

Họ bắt đầu bằng cách phân tích cấu trúc của ví dụ phản chứng dính của họ một cách chi tiết hơn. Nếu bạn xem xét phiên bản lý tưởng của tập hợp, nó có vô số đoạn thẳng trỏ ở mọi hướng. Nhưng trong vấn đề này, hãy nhớ rằng bạn đang xử lý các phiên bản làm đậm hơn của những đoạn thẳng đó—một đống kim. Mỗi kim đó có thể chứa nhiều đoạn thẳng lý tưởng, có nghĩa là bạn có thể mã hóa toàn bộ tập hợp vô hạn với một số kim hữu hạn. Tùy thuộc vào độ dày của kim, tập hợp làm đậm của bạn có thể trông rất khác nhau.

Nếu tập hợp là dính, nó sẽ trông giống nhau dù kim có độ dày như thế nào.

Wang và Zahl sử dụng đặc tính này để chỉ ra rằng khi kim trở nên mỏng hơn, tập hợp trở nên phẳng hơn và phẳng hơn. Qua quá trình này, họ có thể “rút ra một đối tượng đặc biệt hơn nữa,” Zahl nói—điều gì đó dường như có những đặc tính không thể tin được.

Đó là điều họ chỉ ra tiếp theo. Họ chứng minh rằng đối tượng đặc biệt này phải trông một trong hai cách, cả hai đều dẫn đến những mâu thuẫn. Hoặc bạn sẽ có thể chiếu nó xuống không gian 2D một cách khiến nó nhỏ hơn rất nhiều ở nhiều hướng—điều mà Wang và đồng nghiệp của cô vừa chỉ ra là không thể. Hoặc, trong trường hợp thứ hai, các kim trong tập hợp sẽ được tổ chức theo một loại hàm rất cụ thể, mà Zahl và đồng nghiệp của anh ta đã chứng minh gần đây là không thể tồn tại, vì nó sẽ dẫn đến các loại chiếu phản khác nhau không có ý nghĩa.

Wang và Zahl bây giờ đã có mâu thuẫn của họ—điều đó có nghĩa là không có ví dụ phản chứng dính cho Ước đoán Kakeya. (Họ chỉ ra điều này không chỉ cho chiều Minkowski mà còn cho một lượng liên quan gọi là chiều Hausdorff.) “Kết quả loại bỏ toàn bộ lớp ví dụ phản chứng này,” Zahl nói—đúng loại tập mà các nhà toán học coi là có khả năng nhất để bác bỏ Ước đoán.

Công việc mới “là sự hỗ trợ mạnh mẽ cho việc Ước đoán Kakeya là đúng,” nói Pablo Shmerkin của Đại học British Columbia. Mặc dù chỉ áp dụng cho trường hợp ba chiều, một số kỹ thuật của nó có thể hữu ích ở các chiều cao hơn. Sau nhiều năm tiến triển trong việc giải quyết Ước đoán trong các hệ thống số khác nhau, các nhà toán học rất phấn khích với sự trở lại này vào lĩnh vực ban đầu của vấn đề, tức là trong thực tế của các con số.

“Điều đáng kinh ngạc là họ đã giải quyết hoàn toàn trường hợp này,” Zhang nói. “Trong bối cảnh thực tế, điều này rất hiếm.” Và nếu ai đó có thể chứng minh rằng một ví dụ phản chứng phải là dính, kết quả mới sẽ ngụ ý rằng Ước đoán đầy đủ trong ba chiều. Các Ước đoán được xây dựng phía trên nó sẽ tiếp tục an toàn, nền móng của nó ổn định.

“Bằng cách nào đó, hai vấn đề khác nhau trong lý thuyết chiếu, vốn trên bề mặt không có nhiều liên quan với nhau, lại ghép lại khá hoàn hảo để cho đúng những gì cần thiết cho Kakeya,” Zahl nói.

Truyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập về biên tập của Quanta Magazine, một tổ chức có sứ mệnh là nâng cao sự hiểu biết của công chúng về khoa học thông qua việc báo cáo về các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.