Một Bằng chứng Quan trọng Cho thấy Cách Ước lượng Số Như Pi

Những kẽ hở sâu thẳm trên dải số không đáng sợ như có vẻ. Đó là một hậu quả của một bằng chứng lớn về cách các số phức tạp chịu sự gần đúng của những xấp xỉ đơn giản.

Bằng chứng giải quyết một vấn đề gần 80 năm tuổi được biết đến là Giả thuyết Duffin-Schaeffer. Trong quá trình làm điều đó, nó cung cấp một câu trả lời cuối cùng cho một câu hỏi đã làm cho những nhà toán học bận tâm từ thời cổ đại: Dưới những hoàn cảnh nào, có thể biểu diễn các số vô tỷ vô tận—như pi—bằng phân số đơn giản, như 22/7? Bằng chứng xác định rằng câu trả lời cho câu hỏi rất chung này phụ thuộc vào kết quả của một phép tính duy nhất.

“Có một tiêu chí đơn giản để xác định liệu bạn có thể gần đúng gần như mọi số hay gần như không có số nào,” nói James Maynard của Đại học Oxford, cộng tác viên của bằng chứng cùng với Dimitris Koukoulopoulos của Đại học Montreal.

Những nhà toán học đã nghi ngờ suốt hàng thập kỷ rằng tiêu chí đơn giản này là chìa khóa để hiểu khi nào có sẵn những xấp xỉ tốt, nhưng họ chưa bao giờ có thể chứng minh được điều đó. Koukoulopoulos và Maynard chỉ có thể làm điều đó sau khi họ tưởng tượng lại vấn đề về số thành các kết nối giữa các điểm và đường trong một đồ thị—một sự chuyển đổi quan trọng trong quan điểm.

“Họ có điều mà tôi muốn nói là một sự tự tin lớn, mà rõ ràng là đúng, để đi theo con đường họ đi,” Jeffrey Vaaler của Đại học Texas, Austin, người đã đóng góp các kết quả quan trọng trước đó về Giả thuyết Duffin-Schaeffer, nói. “Đó là một tác phẩm tuyệt vời.”

Bầu Không Gian của Số Học

Số hữu tỉ là những số dễ dàng. Chúng bao gồm các số đếm và tất cả các số khác có thể được viết dưới dạng phân số.

Khả năng có thể viết được làm cho số hữu tỉ trở thành những số chúng ta biết rõ nhất. Nhưng thực tế, số hữu tỉ lại là hiếm hoi giữa tất cả các số. Đa số là số vô tỷ, dãy thập phân không bao giờ kết thúc mà không thể được viết dưới dạng phân số. Một vài số được xem trọng đủ để có được biểu diễn biểu tượng, như pi, e và căn bậc hai. Phần còn lại thậm chí không thể được đặt tên. Chúng ở khắp mọi nơi nhưng không thể chạm vào, là không gian không khí của toán học.

Vậy có lẽ là điều tự nhiên khi tự hỏi—nếu chúng ta không thể biểu diễn chính xác số vô tỷ, chúng ta có thể đạt được gần đúng như thế nào? Điều này thuộc về lĩnh vực xấp xỉ hữu tỉ. Những nhà toán học cổ đại, ví dụ, nhận ra rằng tỉ lệ khó nắm bắt của chu vi đường tròn so với đường kính có thể được xấp xỉ tốt bằng phân số 22/7. Sau đó, những nhà toán học sau này đã tìm ra một xấp xỉ tốt hơn và gần như ngắn gọn như vậy cho pi: 355/113.

“Việc viết xuống số pi là khó khăn,” nói Ben Green của Oxford. “Những gì mọi người đã cố gắng là tìm ra xấp xỉ rõ ràng cho pi, và một cách phổ biến để làm điều đó là với các số hữu tỉ.”

Năm 1837, nhà toán học Gustav Lejeune Dirichlet đã tìm ra một quy tắc về cách số vô tỷ có thể được xấp xỉ bằng các số hữu tỉ. Dễ dàng tìm thấy xấp xỉ miễn là bạn không quá kỹ tính về sai số. Nhưng Dirichlet đã chứng minh một mối quan hệ trực tiếp giữa các phân số, số vô tỷ và sai số ngăn cách chúng.

Anh ấy chứng minh rằng đối với mọi số vô tỷ, luôn tồn tại vô số phân số xấp xỉ số đó gần nhau hơn từng ngày. Cụ thể, sai số của mỗi phân số không quá 1 chia cho bình phương của mẫu số. Vì vậy, phân số 22/7, ví dụ, xấp xỉ pi với sai số không quá 1/7², hoặc 1/49. Phân số 355/113 xấp xỉ với sai số không quá 1/113², hoặc 1/12,769. Dirichlet chứng minh rằng có vô số phân số ngày càng gần pi khi mẫu số của phân số tăng lên.

“Đó là một điều tương đối đẹp và đáng kinh ngạc rằng bạn luôn có thể xấp xỉ một số thực bằng một phân số và sai số không quá 1 chia cho [bình phương của mẫu số],” nói Andrew Granville của Đại học Montreal.

Khám phá của Dirichlet, ở một ý nghĩa nào đó, là một tuyên bố hẹp về xấp xỉ hữu tỉ. Nói rằng bạn có thể tìm ra vô số phân số xấp xỉ cho mỗi số vô tỷ nếu mẫu số có thể là bất kỳ số nguyên nào và nếu bạn sẵn lòng chấp nhận một sai số là 1 chia cho bình phương của mẫu số. Nhưng nếu bạn muốn mẫu số của bạn được chọn từ một tập hợp con (vẫn là vô hạn) của các số nguyên, như tất cả các số nguyên tố, hoặc tất cả các bình phương hoàn hảo? Và nếu bạn muốn sai số xấp xỉ của bạn là 0.00001, hoặc bất kỳ giá trị khác bạn có thể chọn? Liệu bạn có thành công trong việc tạo ra vô số phân số xấp xỉ dưới những điều kiện cụ thể như vậy?

Giả thuyết Duffin-Schaeffer là một cố gắng cung cấp khung chung nhất có thể để suy nghĩ về xấp xỉ hữu tỉ. Năm 1941, các nhà toán học R.J. Duffin và A.C. Schaeffer tưởng tượng về kịch bản sau. Trước hết, chọn một danh sách vô tận các mẫu số. Điều này có thể là bất cứ điều gì bạn muốn: tất cả các số lẻ, tất cả các số là bội số của 10, hoặc danh sách vô tận của các số nguyên tố.

Thứ hai, đối với mỗi số trong danh sách của bạn, chọn mức độ xấp xỉ một số vô tỷ. Trực giác nói cho bạn biết rằng nếu bạn cho phép mình sai số rất lớn, bạn có khả năng cao có thể thực hiện được xấp xỉ. Nếu bạn giữ lại ít sự linh hoạt hơn, điều đó sẽ khó khăn hơn. “Bất kỳ dãy số nào cũng có thể hoạt động miễn là bạn để lại đủ chỗ,” Koukoulopoulos nói.

Bây giờ, với các tham số bạn đã thiết lập—các số trong dãy số của bạn và các điều kiện sai số đã được xác định—bạn muốn biết: Liệu có thể tìm ra vô số phân số xấp xỉ cho tất cả các số vô tỷ không?

Giả thuyết cung cấp một hàm toán học để đánh giá câu hỏi này. Tham số của bạn được nhập vào như đầu vào. Kết quả của nó có thể đi theo một trong hai hướng. Duffin và Schaeffer đặt giả thiết rằng hai kết quả này tương đương chính xác với việc liệu dãy số của bạn có thể xấp xỉ gần như tất cả các số vô tỷ với độ chính xác được yêu cầu, hoặc gần như không có. (Là “gần như” tất cả hoặc không có bởi vì đối với bất kỳ bộ mẫu số nào, luôn có một số vô tỷ ngoại lệ nhỏ có thể hoặc không thể được xấp xỉ tốt.)

“Bạn sẽ nhận được gần như mọi thứ hoặc bạn sẽ nhận được gần như không có gì cả. Không có giữa chừng nào cả,” Maynard nói.

Đó là một tuyên bố rất chung cố gắng mô tả đặc điểm của xấp xỉ hữu tỉ. Tiêu chí mà Duffin và Schaeffer đề xuất đã được các nhà toán học cảm nhận là chính xác. Nhưng việc chứng minh rằng kết quả nhị phân của hàm này là tất cả những gì bạn cần biết để biết xấp xỉ của bạn có hiệu quả hay không—điều đó khó khăn hơn nhiều.

Đếm Gấp Đôi

Chứng minh giả thuyết Duffin-Schaeffer thực sự là về việc hiểu rõ xem bạn đang thu được bao nhiêu lợi ích từ mỗi mẫu số có sẵn của bạn. Để thấy điều này, việc nghĩ về một phiên bản nhỏ hóa của vấn đề là hữu ích.

Hãy tưởng tượng rằng bạn muốn xấp xỉ tất cả các số vô tỷ giữa 0 và 1. Và hãy tưởng tượng rằng các mẫu số có sẵn của bạn là các số đếm từ 1 đến 10. Danh sách các phân số có thể có là khá dài: Đầu tiên là 1/1, sau đó là 1/2 và 2/2, sau đó là 1/3, 2/3, 3/3 và tiếp tục lên đến 9/10 và 10/10. Tuy nhiên, không phải tất cả những phân số này đều hữu ích.

Phân số 2/10 giống như 1/5, ví dụ, và 5/10 tương đương với 1/2, 2/4, 3/6 và 4/8. Trước giả thuyết Duffin-Schaeffer, một nhà toán học tên là Aleksandr Khinchin đã đặt ra một tuyên bố tương tự về xấp xỉ hữu tỉ. Nhưng định lý của ông không tính đến việc phân số tương đương chỉ nên được đếm một lần.

“Thường thì điều gì đó thuộc toán lớp một không nên tạo ra sự khác biệt đối với giải pháp,” Granville nói. “Nhưng trong trường hợp này, bất ngờ nó đã tạo ra sự khác biệt.”

Vì vậy, giả thuyết Duffin-Schaeffer bao gồm một thuật ngữ tính số lượng phân số duy nhất (còn được gọi là phân số rút gọn) bạn nhận được từ mỗi mẫu số. Thuật ngữ này được gọi là hàm Euler phi theo tên người phát minh nó, nhà toán học thế kỷ 18 Leonhard Euler. Hàm Euler phi của 10 là 4, vì chỉ có bốn phân số rút gọn giữa 0 và 1 với mẫu số là 10: 1/10, 3/10, 7/10, và 9/10.

Bước tiếp theo là xác định xem bạn có thể xấp xỉ bao nhiêu số vô tỷ với mỗi phân số rút gọn. Điều này phụ thuộc vào mức độ sai số bạn sẵn lòng chấp nhận. Giả thuyết Duffin-Schaeffer cho phép bạn chọn một sai số cho mỗi mẫu số của bạn. Vì vậy, với mẫu số là 7, bạn có thể đặt sai số cho phép là 0.02. Với mẫu số là 10, bạn có thể mong đợi nhiều hơn và đặt nó là 0.01.

“Cuối cùng của một ngày, không phụ thuộc vào việc bạn đã quyết định mức độ xấp xỉ cho [mỗi mẫu số], liệu bạn đã thành công hay không hoàn toàn phụ thuộc vào việc dãy vô hạn liên quan có phân kỳ hay không,” Vaaler nói.

Vẽ Lược Đồ Giải Pháp

Bạn có thể đang tự hỏi: Nếu các số được xấp xỉ bởi một phân số chồng lấn với các số được xấp xỉ bởi một phân số khác thì sao? Trong trường hợp đó, liệu khi bạn cộng tổng các đo lường, bạn có đang đếm một cách kép hay không?

Đối với một số dãy xấp xỉ, vấn đề đếm kép không đáng kể. Nhà toán học đã chứng minh nhiều thập kỷ trước, ví dụ như, ước lượng đúng đối với các dãy xấp xỉ bao gồm tất cả các số nguyên tố. Nhưng đối với nhiều dãy xấp xỉ khác, thách thức đếm kép là rất lớn. Đó là lý do tại sao nhà toán học không thể giải quyết ước lượng trong 80 năm.

Mức độ mà các mẫu số khác nhau bắt gặp các tập hợp số vô tỉ chồng chéo được phản ánh trong số lượng yếu tố nguyên tố chung của chúng. Hãy xem xét các số 12 và 35. Các yếu tố nguyên tố của 12 là 2 và 3. Các yếu tố nguyên tố của 35 là 5 và 7. Nói cách khác, 12 và 35 không có yếu tố nguyên tố chung nào — và do đó, không có nhiều sự chồng chéo trong các số vô tỉ có thể được xấp xỉ tốt bởi phân số với mẫu số là 12 và 35.

Nhưng còn với các mẫu số là 12 và 20? Các yếu tố nguyên tố của 20 là 2 và 5, trùng với các yếu tố nguyên tố của 12. Tương tự, các số vô tỉ có thể được xấp xỉ bằng phân số với mẫu số là 20 trùng với những số có thể được xấp xỉ bằng phân số với mẫu số là 12. Ước lượng Duffin-Schaeffer là khó nhất để chứng minh trong những tình huống như thế này — nơi các số trong dãy xấp xỉ có nhiều yếu tố nguyên tố nhỏ chung và có nhiều sự chồng chéo giữa các tập hợp số mà mỗi mẫu số xấp xỉ.

“Khi nhiều mẫu số bạn phải chọn có nhiều yếu tố nguyên tố nhỏ thì chúng bắt đầu cản trở lẫn nhau,” Sam Chow của Oxford nói.

Chìa khóa để giải quyết ước lượng đã là cách để đo lường chính xác sự chồng chéo trong các tập hợp số vô tỉ được xấp xỉ bởi các mẫu số có nhiều yếu tố nguyên tố nhỏ chung. Trong 80 năm, không ai có thể làm được điều này. Koukoulopoulos và Maynard đã đạt được điều đó bằng cách tìm ra một cách hoàn toàn khác để nhìn nhận vấn đề.

Trong bằng chứng mới của họ, họ tạo ra một biểu đồ từ các mẫu số của họ — vẽ chúng như các điểm và kết nối các điểm với nhau nếu chúng có nhiều yếu tố nguyên tố chung. Cấu trúc của biểu đồ này mã hóa sự chồng chéo giữa các số vô tỉ được xấp xỉ bởi mỗi mẫu số. Và trong khi sự chồng chéo đó khó đo lường trực tiếp, Koukoulopoulos và Maynard tìm ra một cách để phân tích cấu trúc của biểu đồ bằng cách sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết đồ thị — và thông tin mà họ quan tâm đã xuất hiện từ đó.

“Biểu đồ là một công cụ hỗ trợ tư duy, nó là một ngôn ngữ rất đẹp để suy nghĩ về vấn đề,” Koukoulopoulos nói.
Koukoulopoulos và Maynard đã chứng minh rằng ước lượng Duffin-Schaeffer thực sự đúng: Nếu bạn được đưa ra một danh sách các mẫu số với điều kiện sai lầm cho phép, bạn có thể xác định liệu bạn có thể xấp xỉ gần hết tất cả số vô tỉ hay gần như không bằng cách kiểm tra xem tổng tương ứng của các đo lường xung quanh mỗi phân số phân kỳ về vô cùng hay hội tụ về một giá trị hữu hạn.

Đó là một bài kiểm tra thanh lịch mà chuyển đổi một câu hỏi rộng lớn về bản chất của xấp xỉ hợp lý và rút nó xuống thành một giá trị có thể tính được. Bằng cách chứng minh rằng bài kiểm tra này có hiệu lực phổ quát, Koukoulopoulos và Maynard đã đạt được một trong những kết quả hiếm có nhất trong toán học: Họ đã đưa ra một câu trả lời cuối cùng cho một vấn đề cơ bản trong lĩnh vực của họ.

“Bằng chứng của họ là một kết quả cần thiết và đủ điều kiện,” Green nói. “Tôi nghĩ rằng điều này đánh dấu sự kết thúc của một chương.”

Chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Tạp chí Quanta, một tổ chức xuất bản độc lập thuộc Quỹ Simons với nhiệm vụ tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học thông qua việc đưa tin về các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.

Những Điều Tuyệt Vời Khác Từ Mytour

• Một biển số xe “NULL” đưa một hacker vào địa ngục vé phạt
• CUộc đua tuyệt vọng để chống lại một loại nấm siêu chết người
• Thăm nhà máy nơi Bentley chế tác những chiếc xe sang trọng của mình bằng tay
• Cách giảm bạo lực bằng súng: Hỏi một số nhà khoa học
• Nó Đến Từ Điều Gì Đó Khó Chịu đổ lỗi cho 4chan về Trump
• 👁 Nhận dạng khuôn mặt đột ngột xuất hiện ở mọi nơi. Bạn có nên lo lắng không? Ngoài ra, đọc tin tức mới nhất về trí tuệ nhân tạo
• ✨ Tối ưu hóa cuộc sống gia đình của bạn với những lựa chọn tốt nhất của đội ngũ Gear chúng tôi, từ robot hút bụi đến đệm giá rẻ đến loa thông minh.