Một Câu Hỏi Lớn Về Số Nguyên Tố Nhận Được Một Câu Trả Lời Một Phần

Vào ngày 7 tháng 9, hai nhà toán học đăng một bằng chứng của một phiên bản của một trong những vấn đề mở nổi tiếng nhất trong toán học. Kết quả mở ra một mặt trận mới trong việc nghiên cứu “giả thuyết số nguyên tố sinh đôi,” là vấn đề đã gây khó khăn cho các nhà toán học hơn một thế kỷ và có tác động đến một số đặc điểm sâu sắc nhất của số học.

“Chúng ta đã bị mắc kẹt và cạn ý tưởng về vấn đề này trong một thời gian dài, vì vậy nó tự nhiên làm hào hứng khi có ai đó đem lại cái nhìn mới,” James Maynard, một nhà toán học tại Đại học Oxford, nói.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi liên quan đến các cặp số nguyên tố có hiệu là 2. Các số 5 và 7 là số nguyên tố sinh đôi. Cũng như 17 và 19. Giả thuyết dự đoán rằng có vô số cặp số như vậy trong các số đếm, hoặc số nguyên. Các nhà toán học đã có một bước tiến lớn trong vấn đề này trong thập kỷ qua, nhưng họ vẫn còn rất xa để giải quyết nó.

Bằng chứng mới, của Will Sawin từ Đại học Columbia và Mark Shusterman từ Đại học Wisconsin, Madison, giải quyết giả thuyết số nguyên tố sinh đôi trong một thế giới toán học nhỏ hơn nhưng vẫn quan trọng. Họ chứng minh rằng giả thuyết đúng trong bối cảnh của các hệ thống số hữu hạn, trong đó bạn có thể chỉ có một số lượng nhỏ các số để làm việc.

Các hệ thống số này được gọi là “các trường hữu hạn.” Mặc dù kích thước nhỏ, chúng vẫn giữ lại nhiều tính chất toán học được tìm thấy trong dãy số nguyên vô hạn. Các nhà toán học cố gắng giải các câu hỏi toán học trên các trường hữu hạn, và sau đó hy vọng dịch kết quả sang các số nguyên.

“Giấc mơ cuối cùng, có lẽ hơi ngây thơ, là nếu bạn hiểu rõ về thế giới trường hữu hạn đủ tốt, điều này có thể làm sáng tỏ về thế giới số nguyên,” Maynard nói.

Ngoài việc chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, Sawin và Shusterman đã tìm ra một kết quả quan trọng hơn về hành vi của các số nguyên tố trong các hệ thống số nhỏ. Họ chứng minh chính xác tần suất mà các số nguyên tố sinh đôi xuất hiện trong các khoảng cách ngắn — một kết quả thiết lập sự kiểm soát cực kỳ chính xác về hiện tượng số nguyên tố sinh đôi. Các nhà toán học mơ ước về việc đạt được kết quả tương tự cho các số bình thường; họ sẽ tìm kiếm bằng chứng mới để áp dụng cho số nguyên tố trên đường số.

Một Loại Số Nguyên Tố Mới

Dự đoán nổi tiếng nhất của giả thuyết số nguyên tố sinh đôi là có vô số cặp số nguyên tố có hiệu là 2. Nhưng tuyên bố này chứa nhiều hơn thế. Nó dự đoán rằng có vô số cặp số nguyên tố có hiệu là 4 (như 3 và 7) hoặc 14 (293 và 307), hoặc với bất kỳ khoảng cách 2 hoặc lớn hơn mà bạn muốn.

Alphonse de Polignac đưa ra giả thuyết dưới dạng hiện tại vào năm 1849. Các nhà toán học không tiến triển nhiều trong suốt 160 năm tiếp theo. Nhưng vào năm 2013, Yitang Zhang chứng minh rằng có vô số cặp số nguyên tố có khoảng cách không quá 70 triệu. Trong năm tiếp theo, các nhà toán học khác, bao gồm cả Maynard và Terry Tao, đã rút ngắn khoảng cách giữa các số nguyên tố đáng kể. Trạng thái hiện tại của nghệ thuật là có bằng chứng cho rằng có vô số cặp số nguyên tố có hiệu không quá 246.

Nhưng tiến triển về giả thuyết số nguyên tố sinh đôi đã bị đình trệ. Các nhà toán học hiểu rằng họ sẽ cần một ý tưởng hoàn toàn mới để giải quyết vấn đề một cách hoàn chỉnh. Hệ thống số hữu hạn là nơi tốt để tìm kiếm một ý tưởng mới.

Để xây dựng một trường hữu hạn, bắt đầu bằng việc rút trích một tập hợp hữu hạn số từ các số đếm. Bạn có thể lấy năm số đầu tiên, ví dụ (hoặc bất kỳ số nguyên tố nào). Thay vì mô phỏng các số trên một đường số như chúng ta thường làm, hãy mô phỏng hệ thống số mới này xung quanh mặt đồng hồ.

Sau đó, phép toán tiếp tục, như bạn có thể đoán được, bằng cách quay quanh mặt đồng hồ. Tính 4 + 3 trong hệ thống số hữu hạn với năm phần tử như thế nào? Bắt đầu từ 4, đếm ba vị trí xung quanh mặt đồng hồ và bạn sẽ đến 2. Phép trừ, nhân và chia cũng hoạt động tương tự.

Chỉ có một vấn đề. Khái niệm thông thường về số nguyên tố không áp dụng trong trường hợp của các trường hữu hạn. Trong một trường hữu hạn, mọi chơi xổ sốu chia hết cho mọi số khác. Ví dụ, 7 thông thường không chia hết cho 3. Nhưng trong một trường hữu hạn với năm phần tử, nó có thể chia hết. Đó là bởi vì trong trường hữu hạn này, 7 giống như 12—cả hai đều đến 2 trên mặt đồng hồ. Vì vậy, 7 chia cho 3 cũng giống như 12 chia cho 3, và 12 chia cho 3 là 4.

Do đó, giả thuyết số nguyên tố sinh đôi cho các trường hữu hạn liên quan đến đa thức số nguyên tố—biểu thức toán học như x² + 1.

Ví dụ, giả sử trường hữu hạn của bạn chứa các số 1, 2 và 3. Một đa thức trong trường hữu hạn này sẽ có các số đó làm hệ số, và một đa thức 'số nguyên tố' sẽ là một đa thức không thể phân tích thành các đa thức nhỏ hơn. Vì vậy, x² + x + 2 là số nguyên tố vì nó không thể phân tích, nhưng x² − 1 không phải là số nguyên tố: Nó là tích của (x + 1) và (x − 1).

Một khi bạn đã có khái niệm về đa thức số nguyên tố, việc hỏi về đa thức số nguyên tố sinh đôi là điều tự nhiên—một cặp đa thức là cả hai đều số nguyên tố và chênh lệch nhau với một khoảng cố định. Ví dụ, đa thức x² + x + 2 là số nguyên tố, cũng như x² + 2x + 2. Hai đa thức này khác nhau bởi đa thức x (cộng x vào đầu tiên để có được thứ hai).

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi cho các trường hữu hạn dự đoán rằng có vô số cặp đa thức số nguyên tố sinh đôi không chỉ chênh lệch bởi x, mà bất kỳ khoảng cách nào bạn muốn.

Cắt gọn gàng

Trường hữu hạn và đa thức số nguyên tố có vẻ như là được sắp đặt, không có ích gì trong việc học về số học nói chung. Nhưng chúng tương tự như một bộ mô phỏng cơn bão—một vũ trụ tự chứa mang lại những hiểu biết về hiện tượng trong thế giới rộng lớn.

“Có một sự tương đồng cổ điển giữa số nguyên và đa thức, cho phép bạn chuyển đổi các vấn đề về số nguyên, có thể rất khó khăn, thành các vấn đề về đa thức, cũng có thể khó khăn, nhưng có thể dễ giải quyết hơn,” Shusterman nói.

Trường hữu hạn nổi lên vào những năm 1940, khi André Weil phát minh một cách chính xác để dịch từ toán học trong các hệ thống số nhỏ sang toán học trong các số nguyên. Weil sử dụng kết nối này một cách ấn tượng. Ông chứng minh được có lẽ vấn đề quan trọng nhất trong toán học—giả thuyết Riemann—như được diễn giải trong bối cảnh của đường cong trên trường hữu hạn (một vấn đề được biết đến là giả thuyết Riemann hình học). Bằng chứng này, cùng với một loạt các giả thuyết bổ sung mà Weil đề xuất—các giả thuyết Weil—đã củng cố trường hữu hạn như một vùng đất giàu có cho sự khám phá toán học.

Bài giải chi tiết của Weil là ở việc trong bối cảnh của các trường hữu hạn, các kỹ thuật từ hình học có thể được sử dụng mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề về số. “Điều này là một phần trong những điều đặc biệt của trường hữu hạn. Nhiều vấn đề bạn muốn giải quyết, bạn có thể biểu diễn lại chúng dưới dạng hình học,” Shusterman nói.

Để thấy hình học nảy sinh trong một bối cảnh như vậy, hãy tưởng tượng mỗi đa thức như một điểm trong không gian. Các hệ số của đa thức phục vụ như các tọa độ xác định vị trí của đa thức. Quay lại trường hữu hạn của chúng ta với 1, 2 và 3, đa thức 2x + 3 sẽ được đặt tại điểm (2, 3) trong không gian hai chiều.

Nhưng ngay cả trường hữu hạn đơn giản nhất cũng có vô số đa thức. Bạn có thể xây dựng các đa thức phức tạp hơn bằng cách tăng kích thước của số mũ lớn nhất, hoặc bậc của biểu thức. Trong trường hợp của chúng ta, đa thức x² − 3x − 1 sẽ được biểu diễn bởi một điểm trong không gian ba chiều. Đa thức 3x⁷ + 2x⁶ + 2x⁵ − 2x⁴ − 3x³ + x² − 2x + 3 sẽ được biểu diễn bởi một điểm trong không gian tám chiều.

Trong công việc mới này, không gian hình học này đại diện cho tất cả các đa thức cùng một bậc cho một trường hữu hạn cụ thể. Câu hỏi đặt ra là: Liệu có cách nào để cô lập tất cả các điểm đại diện cho các đa thức số nguyên tố không?

Chiến lược của Sawin và Shusterman là chia không gian thành hai phần. Một trong những phần sẽ chứa tất cả các điểm tương ứng với đa thức có số lượng yếu tố chẵn. Phần còn lại sẽ chứa tất cả các điểm tương ứng với đa thức có số lượng yếu tố lẻ.

Điều này đã khiến vấn đề trở nên đơn giản hơn. Bài toán về đa thức số nguyên tố đôi cho trường hợp trường hữu hạn liên quan đến đa thức chỉ có một yếu tố (giống như số nguyên tố chỉ có một yếu tố duy nhất - chính nó). Và vì 1 là số lẻ, bạn có thể loại bỏ hoàn toàn phần không gian với các yếu tố chẵn.

Mẹo nằm ở việc chia. Trong trường hợp của một đối tượng hai chiều, chẳng hạn như bề mặt của một quả cầu, cái cắt nó thành hai là một đường cong một chiều, giống như xích đạo cắt bề mặt của Trái Đất làm hai. Một không gian có chiều thấp hơn luôn có thể được chia bởi một đối tượng ít chiều hơn.

Tuy nhiên, những hình dạng chiều thấp hơn chia không gian của các đa thức không đẹp như xích đạo. Chúng được vẽ ra bởi một công thức toán học gọi là hàm Möbius, nhận một đa thức làm đầu vào và đưa ra kết quả là 1 nếu đa thức có số nguyên tố chẵn, −1 nếu nó có số nguyên tố lẻ, và 0 nếu nó chỉ có một yếu tố lặp lại (như cách 16 có thể phân tích thành 2 × 2 × 2 × 2).

Những đường cong vẽ bởi hàm Möbius uốn khúc, xoắn và giao nhau nhiều lần. Những nơi chúng giao nhau—gọi là các điểm không đơn điệu—đặc biệt khó phân tích (và chúng tương ứng với các đa thức có yếu tố nguyên tố lặp lại).
Sáng tạo chính của Sawin và Shusterman là tìm cách chính xác để cắt các vòng có chiều thấp hơn thành các đoạn ngắn hơn. Các đoạn dễ nghiên cứu hơn so với việc nghiên cứu toàn bộ các vòng.

Sau khi liệt kê các đa thức có số nguyên tố lẻ - bước khó nhất - Sawin và Shusterman phải xác định đó là đa thức nào là số nguyên tố và đó là số nguyên tố đôi. Để làm điều này, họ áp dụng một số công thức mà các nhà toán học sử dụng để nghiên cứu các số nguyên tố trong các số bình thường.

Sawin và Shusterman sử dụng kỹ thuật của họ để chứng minh hai kết quả quan trọng về đa thức số nguyên tố trong các trường hữu hạn nhất định.
Đầu tiên, giả thuyết về số nguyên tố đôi cho các trường hữu hạn là đúng: Có vô số cặp đa thức số nguyên tố đôi, cách nhau bởi bất kỳ khoảng cách nào bạn chọn.

Thứ hai, và có ý nghĩa hơn, công việc cung cấp một số lượng chính xác về số lượng đa thức số nguyên tố đôi bạn có thể mong đợi tìm thấy trong số đa thức có cùng một bậc. Đây là một điểm tương tự như việc biết có bao nhiêu số nguyên tố đôi nằm trong bất kỳ đoạn đủ dài nào trên đường thẳng số học - một kết quả mơ ước đối với các nhà toán học.

“Đây là công trình đầu tiên cung cấp một phương pháp định lượng cho điều dự kiến ​​sẽ đúng trên các số nguyên, và điều đó thật sự nổi bật,” Zeev Rudnick của Đại học Tel Aviv nói. “Cho đến nay chưa có điều gì tương tự như vậy.”

Bằng chứng của Sawin và Shusterman cho thấy gần 80 năm sau khi André Weil chứng minh giả thuyết Riemann trong các đường cong trên các trường hữu hạn, các nhà toán học vẫn đang tiếp tục theo đuổi sức mạnh của ông. Các nhà toán học theo đuổi giả thuyết về số nguyên tố đôi sẽ bây giờ nghiên cứu công việc của Sawin và Shusterman và hy vọng rằng, nó cũng sẽ cung cấp nguồn cảm hứng sâu sắc.

Thông tin gốc được tái in với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập về biên tập của Tổ chức Simons với sứ mệnh tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học thông qua việc đưa tin về các phát triển và xu hướng nghiên cứu trong toán học và các khoa học tự nhiên và sinh học.

Các Bài viết Tuyệt vời Khác Của Mytour

• TikTok—yes, TikTok—is the latest window into China’s police state
• A brutal murder, a wearable witness, and an unlikely suspect
• Capitalism made this mess, and this mess will ruin capitalism
• Cleaner ships may mean more expensive holidays
• The symmetry and chaos of the world's megacities
• 👁 How do machines learn? Plus, read the latest news on artificial intelligence
• ✨ Optimize your home life with our Gear team’s best picks, from robot vacuums to affordable mattresses to smart speakers.