Một Chứng Minh Máy Tính Mới 'Nổ tung' Phương Trình Chất Lỏng Cổ Điển

Suốt nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã nỗ lực để hiểu và mô hình hóa chuyển động của chất lỏng. Các phương trình mô tả cách sóng nhấn mặt nước mặt hồ cũng giúp các nghiên cứu dự đoán thời tiết, thiết kế máy bay tốt hơn và đặc trưng cách máu chảy qua hệ tuần hoàn máu. Những phương trình này trông rất đơn giản khi được viết bằng ngôn ngữ toán học phù hợp. Tuy nhiên, các giải pháp của chúng lại phức tạp đến nỗi hiểu rõ ngay cả với những câu hỏi cơ bản về chúng có thể trở nên khó khăn đến mức không thể chấp nhận được.

Có lẽ là phương trình cổ điển và nổi bật nhất trong số chúng, do Leonhard Euler sáng tạo hơn 250 năm trước, mô tả dòng chảy của một chất lỏng lý tưởng, không nén: một chất lỏng không có độ nhớt hoặc ma sát nội, và không thể bị ép vào một thể tích nhỏ hơn. “Hầu hết tất cả các phương trình chất lỏng phi tuyến tính đều có thể xuất phát từ phương trình Euler,” Tarek Elgindi, một nhà toán học tại Đại học Duke, nói. “Bạn có thể nói chúng là những phương trình đầu tiên.”

Tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều điều chưa biết về phương trình Euler—bao gồm cả việc liệu chúng luôn luôn là một mô hình chính xác của dòng chảy chất lỏng lý tưởng. Một trong những vấn đề trung tâm trong động lực học chất lỏng là tìm ra liệu có bao giờ phương trình bị sai lệch, xuất ra các giá trị vô lý làm cho chúng không thể dự đoán được trạng thái tương lai của một chất lỏng.

Các nhà toán học đã lâu đã nghi ngờ rằng tồn tại điều kiện ban đầu làm cho phương trình bị hỏng. Nhưng họ chưa thể chứng minh được điều này.

Trong một bản in trước đây đăng trực tuyến vào tháng 10, một cặp nhà toán học đã chỉ ra rằng một phiên bản cụ thể của phương trình Euler đôi khi thất bại. Chứng minh này đánh dấu một bước tiến lớn—và mặc dù nó không hoàn toàn giải quyết vấn đề cho phiên bản tổng quát hơn của phương trình, nó mở ra hy vọng rằng một giải pháp như vậy cuối cùng đã đến gần. “Đó là một kết quả tuyệt vời,” Tristan Buckmaster, một nhà toán học tại Đại học Maryland không tham gia vào công việc nghiên cứu, nói. “Không có kết quả nào giống như nó trong văn bản chuyên ngành.”

Khi đạt đến điểm đặc biệt đó, các phương trình sẽ không còn có khả năng tính toán dòng chất lỏng. Nhưng "cách đây vài năm, những gì mà mọi người có thể làm vẫn còn rất, rất xa [chứng minh sự nổ]," nói Charlie Fefferman, một nhà toán học tại Đại học Princeton.

Nếu bạn cố gắng mô phỏng một chất lỏng có độ nhớt (như hầu hết các chất lỏng trong thế giới thực đều có), mọi thứ sẽ trở nên phức tạp hơn. Một giải thưởng triệu đô từ Viện Toán học Clay đợi chờ bất kỳ ai có thể chứng minh xem liệu sự cố xảy ra tương tự trong phương trình Navier-Stokes, một sự tổng quát hóa của phương trình Euler tính cả độ nhớt.

Năm 2013, Thomas Hou, một nhà toán học tại Viện Công nghệ California, và Guo Luo, hiện là giáo sư tại Đại học Hang Seng, Hong Kong, đề xuất một kịch bản trong đó phương trình Euler sẽ dẫn đến một điểm đặc biệt. Họ phát triển một mô phỏng máy tính của một chất lỏng trong một hình trụ mà phần trên xoay theo chiều kim đồng hồ trong khi phần dưới xoay ngược lại. Khi họ chạy mô phỏng, dòng chảy phức tạp hơn bắt đầu di chuyển lên và xuống. Điều đó, lần lượt, dẫn đến hành vi lạ lùng dọc theo biên của hình trụ nơi các dòng chảy đối lập gặp nhau. Vorticity của chất lỏng—một đơn vị đo quay—tăng lên nhanh đến mức nó dường như sẽ nổ.

Công việc của Hou và Luo chỉ mang tính chất gợi ý, nhưng không phải là một bằng chứng thực sự. Điều này là vì không thể có máy tính tính toán giá trị vô hạn. Nó có thể rất gần để nhìn thấy một điểm đặc biệt, nhưng nó không thể đạt được nó thực sự—nghĩa là giải pháp có thể rất chính xác, nhưng vẫn là một xấp xỉ. Mà không có sự hỗ trợ từ một bằng chứng toán học, giá trị của vorticity có thể chỉ dường như tăng lên vô cùng do một số tác nhân của mô phỏng. Thay vào đó, giải pháp có thể tăng lên đến các số lớn trước khi lại giảm đi.

Những đảo chiều như vậy đã xảy ra trước đây: Một mô phỏng có thể cho thấy một giá trị trong các phương trình tăng vọt, chỉ để phương pháp tính toán phức tạp hơn lại cho thấy ngược lại. "Những vấn đề này rất tinh tế đến nỗi con đường đầy rẫy những tàn tích của các mô phỏng trước đó," Fefferman nói. Trên thực tế, đó là cách Hou bắt đầu trong lĩnh vực này: Một số kết quả trước đó của anh đã chứng minh việc phủ nhận sự hình thành của các điểm đặc biệt giả tưởng.

Tuy nhiên, khi anh và Luo công bố giải pháp của họ, hầu hết các nhà toán học cho rằng đó rất có thể là một điểm đặc biệt thực sự. "Nó rất tỉ mỉ, rất chính xác," nói Vladimir Sverak, một nhà toán học tại Đại học Minnesota. "Họ đã thực sự nỗ lực rất nhiều để chứng minh rằng đây là một tình huống thực sự." Công việc tiếp theo của Elgindi, Sverak, và những người khác chỉ càng làm mạnh thêm niềm tin đó.

Nhưng bằng chứng là không thể chứng minh được. "Bạn đã nhìn thấy con quái vật," Fefferman nói. "Sau đó, bạn cố gắng bắt giữ nó." Điều đó có nghĩa là chỉ ra rằng giải pháp xấp xỉ mà Hou và Luo mô phỏng một cách cẩn thận đó, theo một ý nghĩa toán học cụ thể, rất, rất gần với một giải pháp chính xác của các phương trình.

Bây giờ, chín năm sau lần nhìn thấy đầu tiên đó, Hou và học trò cũ Jiajie Chen của anh đã thành công trong việc chứng minh sự tồn tại của điểm đặc biệt gần đó.

Hou, sau đó có sự tham gia của Chen, tận dụng việc, sau khi phân tích cận cảnh, giải pháp xấp xỉ từ năm 2013 dường như có một cấu trúc đặc biệt. Khi các phương trình phát triển theo thời gian, giải pháp hiển thị điều được gọi là một mẫu tự tương đồng: Hình dạng của nó sau đó trông giống rất nhiều như hình dạng trước đó, chỉ được co chếch lại theo một cách cụ thể.

Do đó, những nhà toán học không cần phải cố gắng nhìn vào điểm đặc biệt chính nó. Thay vào đó, họ có thể nghiên cứu nó gián tiếp bằng cách tập trung vào một thời điểm trước đó. Bằng cách phóng to vào phần giải pháp đó với tốc độ đúng—được xác định dựa trên cấu trúc tự tương đồng của giải pháp—they có thể mô phỏng điều gì sẽ xảy ra sau này, kể cả tại điểm đặc biệt chính nó.

Mất vài năm cho họ để tìm ra một biểu thức tự tương đồng tương đương với kịch bản nổ từ năm 2013. (Trong năm nay, một đội ngũ khác gồm các nhà toán học, trong đó có Buckmaster, sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm ra một giải pháp xấp xỉ tương tự. Họ hiện đang sử dụng giải pháp đó để phát triển một bằng chứng độc lập về sự hình thành của điểm đặc biệt.)

Với một giải pháp tự tương đồng xấp xỉ trong tay, Hou và Chen cần phải chứng minh rằng một giải pháp chính xác tồn tại gần đó. Toán học, điều này tương đương với việc chứng minh rằng giải pháp tự tương đồng xấp xỉ của họ là ổn định—nghĩa là ngay cả khi bạn có chút độ nghiêng nó và sau đó phát triển các phương trình bắt đầu từ những giá trị đó bị nghiêng, không có cách nào để thoát ra khỏi một khu vực nhỏ xung quanh giải pháp xấp xỉ. "Nó giống như một lỗ đen," Hou nói. "Nếu bạn bắt đầu với một hình dạng gần, bạn sẽ bị hút vào."

Nhưng việc có một chiến lược chung chỉ là một bước tiến đến giải pháp. "Những chi tiết tinh tế quan trọng," Fefferman nói. Khi Hou và Chen dành nhiều năm tiếp theo để làm rõ những chi tiết đó, họ phát hiện ra rằng họ phải phụ thuộc vào máy tính một lần nữa—nhưng lần này theo một cách hoàn toàn mới.

Trong những thách thức đầu tiên của họ là tìm ra câu trả lời chính xác mà họ phải chứng minh. Họ muốn chỉ ra rằng nếu họ lấy bất kỳ tập hợp giá trị nào gần giải pháp xấp xỉ của họ và đưa nó vào các phương trình, kết quả sẽ không thể đi xa. Nhưng điều gì có nghĩa là một đầu vào là "gần" với giải pháp xấp xỉ? Họ phải chỉ định điều này trong một tuyên bố toán học—nhưng có nhiều cách để định nghĩa khái niệm khoảng cách trong ngữ cảnh này. Đối với bằng chứng của họ hoạt động, họ cần phải chọn đúng cách định nghĩa.

"Nó phải đo lường các hiệu ứng vật lý khác nhau," nói Rafael de la Llave, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Georgia. "Vì vậy, nó cần được lựa chọn dựa trên sự hiểu biết sâu sắc về vấn đề."

Một khi họ đã có cách đúng để mô tả "gần," Hou và Chen phải chứng minh tuyên bố, điều này rơi vào một bất đẳng thức phức tạp liên quan đến các thuật ngữ từ cả hai phương trình được co chếch lại và giải pháp xấp xỉ. Những nhà toán học phải đảm bảo rằng giá trị của tất cả những thuật ngữ đó cân bằng thành một cái gì đó rất nhỏ: Nếu một giá trị kết thúc là lớn, giá trị khác phải là âm hoặc được kiểm soát.

"Nếu bạn làm cho một cái gì đó lớn hơn một chút hoặc nhỏ hơn một chút, mọi thứ sẽ bị phá hủy," nói Javier Gómez-Serrano, một nhà toán học tại Đại học Brown. "Vì vậy, đây là công việc rất, rất cẩn thận và tinh tế."

"Đó là một cuộc chiến thực sự gay gắt," Elgindi thêm vào.

Để có các ranh giới chặt chẽ mà họ cần trên tất cả những thuật ngữ khác nhau này, Hou và Chen phân chia bất đẳng thức thành hai phần chính. Họ có thể giải quyết phần đầu tiên bằng tay, với các kỹ thuật bao gồm một kỹ thuật có từ thế kỷ 18, khi nhà toán học người Pháp Gaspard Monge tìm cách tối ưu hóa cách tốt nhất để vận chuyển đất để xây dựng pháo đài cho quân đội của Napoleon. "Công việc như thế này đã được thực hiện trước đây, nhưng tôi thấy nó nổi bật khi [Hou và Chen] sử dụng nó cho điều này," Fefferman nói.

Điều đó để lại phần thứ hai của bất đẳng thức. Việc giải quyết nó sẽ đòi hỏi sự hỗ trợ của máy tính. Đầu tiên, có quá nhiều tính toán cần phải thực hiện và yêu cầu sự chính xác đến mức "lượng công việc bạn phải làm với bút và giấy sẽ là đáng kể," de la Llave nói. Để các thuật ngữ khác nhau cân bằng, nhà toán học phải thực hiện một loạt các vấn đề tối ưu hóa mà đối với máy tính khá dễ dàng nhưng vô cùng tốn thời gian đối với con người. Một số giá trị cũng phụ thuộc vào lượng từ giải pháp xấp xỉ; vì điều đó được tính toán bằng máy tính, việc sử dụng máy tính để thực hiện những tính toán bổ sung này cũng dễ dàng hơn.

"Nếu bạn cố gắng thủ công đánh giá một số ước lượng này, bạn có thể sẽ đánh giá quá mức ở một số điểm, và sau đó bạn sẽ thất bại," nói Gómez-Serrano. "Các con số rất nhỏ và chặt chẽ... và biên độ cực kỳ mảnh."

Nhưng vì máy tính không thể điều chỉnh một số vô hạn chữ số, lỗi rất nhỏ không thể tránh khỏi. Hou và Chen phải theo dõi những lỗi đó cẩn thận, để đảm bảo chúng không can thiệp vào phần còn lại của sự cân bằng.

Cuối cùng, họ đã có thể tìm ra ranh giới cho tất cả các thuật ngữ, hoàn thành bằng chứng: Các phương trình thực sự đã tạo ra một điểm đặc biệt.

Vẫn còn mở có thể có các phương trình phức tạp hơn—phương trình Euler mà không có sự xuất hiện của ranh giới trụ và phương trình Navier-Stokes—có thể phát triển ra một điểm đặc biệt. "Nhưng [công việc này] ít nhất cũng mang lại hy vọng cho tôi," Hou nói. "Tôi nhìn thấy một con đường phía trước, một cách có thể thậm chí là giải quyết vấn đề toàn bộ của Thiên Niên Kỷ."

Trong khi đó, Buckmaster và Gómez-Serrano đang làm việc trên một bằng chứng hỗ trợ máy tính của riêng họ—một cái mà họ hy vọng sẽ rộng rãi hơn, và do đó có khả năng giải quyết không chỉ vấn đề mà Hou và Chen giải quyết, mà còn nhiều vấn đề khác.

Những nỗ lực này đánh dấu một xu hướng ngày càng phát triển trong lĩnh vực động lực học chất lỏng: sử dụng máy tính để giải quyết các vấn đề quan trọng.

"Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, điều này đang diễn ra ngày càng thường xuyên hơn," nói Susan Friedlander, một nhà toán học tại Đại học Nam California.

Nhưng trong cơ học chất lỏng, chứng minh hỗ trợ máy tính vẫn là một kỹ thuật tương đối mới. Trên thực tế, khi nói về các tuyên bố về sự hình thành của điểm đặc biệt, bằng chứng của Hou và Chen là loại đầu tiên trong số chúng: Các chứng minh hỗ trợ máy tính trước đây chỉ có thể giải quyết các vấn đề giả định trong lĩnh vực.

Những chứng minh như vậy không phải là gì đó gây tranh cãi nhiều như "vấn đề cá nhân," theo Peter Constantin của Đại học Princeton. Những nhà toán học nói chung đều đồng tình rằng một bằng chứng phải thuyết phục những nhà toán học khác rằng một dòng lý luận nào đó là đúng. Nhưng nhiều người cho rằng nó cũng nên cải thiện sự hiểu biết của họ về tại sao một tuyên bố cụ thể lại đúng, thay vì đơn giản là cung cấp xác nhận rằng nó đúng. "Chúng ta có học được điều gì mới về cơ bản, hay chúng ta chỉ biết câu trả lời cho câu hỏi?" Elgindi nói. "Nếu bạn coi toán học như một nghệ thuật, thì điều này không đẹp mắt lắm."

"Một máy tính có thể hỗ trợ. Nó tuyệt vời. Nó mang lại cái nhìn cho tôi. Nhưng nó không mang lại cho tôi một sự hiểu biết đầy đủ," Constantin thêm vào. "Hiểu biết đến từ chúng ta."

Đối với phần của anh, Elgindi vẫn hy vọng tìm ra một bằng chứng phương trình nổ hoàn toàn bằng tay. "Tôi vẫn tỏ ra hạnh phúc với điều này," anh ấy nói về công việc của Hou và Chen. "Nhưng tôi coi nó như một động viên để cố gắng làm điều đó mà không phụ thuộc nhiều vào máy tính."

Những nhà toán học khác coi máy tính như một công cụ mới quan trọng có thể giúp giải quyết những vấn đề trước đây khó giải. "Bây giờ công việc không chỉ là giấy và bút," Chen nói. "Bạn có sự lựa chọn sử dụng một cái gì đó mạnh mẽ hơn."

Theo ông và những người khác (bao gồm cả Elgindi, mặc dù anh ta ưa thích cá nhân việc viết chứng minh bằng tay), có khả năng lớn nhất để giải quyết những vấn đề lớn trong động lực học chất lỏng—that is, vấn đề liên quan đến các phương trình ngày càng phức tạp—có thể là phải phụ thuộc nhiều vào sự hỗ trợ của máy tính. "Nó dường như đối với tôi như là cố gắng làm điều này mà không sử dụng nhiều chứng minh hỗ trợ máy tính như là việc buộc một hoặc có thể là hai bàn tay sau lưng," Fefferman nói.

Nếu đó thực sự là trường hợp và "bạn không có lựa chọn nào," Elgindi nói, "thì những người như tôi, người sẽ nói rằng điều này không phải là tối ưu, nên im lặng." Điều đó cũng có nghĩa là nhiều nhà toán học sẽ cần bắt đầu học những kỹ năng cần thiết để viết các chứng minh hỗ trợ máy tính—điều mà công việc của Hou và Chen hy vọng sẽ tạo động lực. "Tôi nghĩ có rất nhiều người chỉ đơn giản là đang chờ đợi ai đó giải quyết vấn đề như vậy trước khi đầu tư bất kỳ thời gian nào của họ vào cách tiếp cận này," Buckmaster nói.

Nói về các cuộc tranh cãi về mức độ mà các nhà toán học nên phụ thuộc vào máy tính, "không phải là bạn cần phải chọn một phe," Gómez-Serrano nói. "Chứng minh của [Hou và Chen] sẽ không hoạt động nếu thiếu phân tích, và bằng chứng sẽ không hoạt động nếu thiếu sự hỗ trợ của máy tính. ... Tôi nghĩ giá trị ở đây là mọi người có thể nói được cả hai ngôn ngữ."

Với điều đó, de la Llave nói, "có một trò chơi mới ở thị trấn."

Bài viết gốc được tái in với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập về biên tập xuất bản của Simons Foundation, những người có sứ mệnh làm tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa tin về các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.