Một Đội Cha-Con Giải Quyết Vấn Đề Hình Học Với Số Lần Gập Vô Hạn

Nhà khoa học máy tính Erik Demaine và người cha là nghệ sĩ cũng như nhà khoa học máy tính Martin Demaine đã đẩy ranh giới của nghệ thuật gập giấy suốt nhiều năm. Những tác phẩm origami tinh xảo của họ là một phần của bộ sưu tập cố định tại Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại, và cách đây một thập kỷ họ đã là nghệ sĩ nổi tiếng trong một bộ phim tài liệu về nghệ thuật này được phát sóng trên PBS.

Bộ đôi bắt đầu hợp tác khi Erik mới 6 tuổi. “Chúng tôi có một công ty có tên là Công ty Puzzle Erik và Dad, chuyên sản xuất và bán các câu đố cho các cửa hàng đồ chơi trên khắp Canada,” Erik Demaine, giáo sư tại Viện Công nghệ Massachusetts, kể lại.

Erik Demaine học toán cơ bản và nghệ thuật hình họa từ cha mình, nhưng cuối cùng anh đã giảng dạy cho Martin toán cao cấp và khoa học máy tính. “Bây giờ chúng tôi đều là nghệ sĩ và cả là toán học/giáo sư máy tính,” Erik Demaine nói. “Chúng tôi hợp tác trong nhiều dự án, đặc biệt là những dự án trải rộng qua tất cả các lĩnh vực này.”

Công trình mới nhất của họ, một bằng chứng toán học, đưa hợp tác lên một tầm cao mới: một thế giới nơi các hình dạng sụp đổ sau khi được gập với vô số rãnh. Đó là một ý tưởng mà họ còn khó chấp nhận ở giai đoạn đầu.

“Chúng tôi tranh cãi một thời gian, như, ‘Có chắc là đúng không? Đây có phải là một điều thực sự không?’” nói Erik Demaine, đồng tác giả của công trình mới cùng với Martin Demaine và Zachary Abel của MIT, Jin-ichi Itoh của Đại học Sugiyama Jogakuen, Jason Ku của Đại học Quốc gia Singapore, Chie Nara của Đại học Meiji và Jayson Lynch của Đại học Waterloo.

Công trình mới, đăng tải trực tuyến vào tháng Năm và được xuất bản trên tạp chí Computational Geometry vào tháng Mười, trả lời một câu hỏi mà chính Demaines đặt ra năm 2001 cùng với hướng dẫn tiến sĩ của Erik, Anna Lubiw của Đại học Waterloo. Họ muốn biết liệu có thể đưa bất kỳ hình học đa diện (hoặc có các mặt phẳng) nào có hình dạng hữu hạn (như một khối lập phương, chứ không phải một hình cầu hoặc mặt phẳng vô tận) và gấp nó phẳng bằng các rãnh được không.

Việc cắt hoặc xé hình dạng là không được phép. Ngoài ra, các khoảng cách nội tại của hình dạng phải được bảo toàn. 'Đây chỉ là một cách tinh tế để nói, 'Bạn không được phép kéo giãn [hoặc co lại] vật liệu,'' Erik Demaine nói. Loại gấp này cũng phải tránh gặp nhau, có nghĩa là 'chúng ta không muốn tờ giấy đi qua chính nó' vì điều đó không xảy ra trong thế giới thực, ông lưu ý. Đáp ứng ràng buộc này là 'đặc biệt thách thức khi mọi thứ đang di chuyển liên tục trong không gian 3D,' ông thêm vào. Tóm lại, những ràng buộc này có nghĩa là chỉ việc nén hình dạng đơn giản là không hoạt động.

Chứng minh xác định rằng bạn có thể thực hiện việc gấp này, miễn là bạn sử dụng chiến lược gấp vô tận đó, nhưng nó bắt đầu bằng một kỹ thuật nói chung hơn mà bốn tác giả giới thiệu trong một bài báo năm 2015.

Ở đó, họ nghiên cứu vấn đề gấp cho một lớp hình dạng đơn giản hơn: các đa diện vuông góc mà các mặt gặp nhau vuông góc và vuông góc ít nhất một trong các trục tọa độ x, y và z. Đáp ứng những điều kiện này buộc các mặt của một hình dạng phải là hình chữ nhật, điều này làm cho quá trình gấp trở nên đơn giản hơn, giống như việc gấp hộp tủ lạnh.

'Đó là một trường hợp khá dễ giải, vì mỗi góc trông giống nhau. Chỉ là hai mặt gặp nhau vuông góc,' Erik Demaine nói.

Sau thành công năm 2015 của họ, các nhà nghiên cứu đã bắt tay vào sử dụng kỹ thuật làm phẳng của họ để giải quyết tất cả các đa diện hữu hạn. Thay đổi này làm cho vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Điều này bởi vì với các đa diện không vuông góc, các mặt có thể có hình dạng của tam giác hoặc hình thang—và chiến lược gấp giống như hộp tủ lạnh sẽ không hoạt động với hình chóp nón.

Đặc biệt, đối với các đa diện không vuông góc, bất kỳ số lượng gấp nào cũng tạo ra một số gấp gáp nhau tại cùng một đỉnh.

'Điều đó làm hỏng [các] công cụ gấp của chúng tôi,'' Erik Demaine nói.

Họ xem xét các cách khác nhau để vượt qua vấn đề này. Sự khám phá của họ dẫn họ đến một kỹ thuật được minh họa khi bạn cố gắng làm phẳng một đối tượng đặc biệt không lồi: lưới hình lập phương, là một loại lưới vô hạn trong ba chiều. Tại mỗi đỉnh trong lưới hình lập phương, nhiều mặt gặp nhau và chia sẻ một cạnh, làm cho nó trở thành một nhiệm vụ đáng kể để đạt được làm phẳng tại bất kỳ một trong những điểm này.

'Bạn không nhất thiết nghĩ rằng bạn có thể, thực sự,'' Ku nói.

Nhưng khi xem xét cách làm phẳng sự giao cắt khó chịu này đã dẫn dắt các nhà nghiên cứu đến kỹ thuật cuối cùng làm nền cho bằng chứng. Đầu tiên, họ tìm kiếm một điểm 'bất kỳ xa khỏi đỉnh' có thể được làm phẳng, Ku nói. Sau đó, họ tìm thấy một điểm khác có thể làm phẳng và tiếp tục lặp lại quá trình, di chuyển gần các đỉnh gây vấn đề và làm phẳng thêm nhiều phần của hình dạng khi họ di chuyển theo đuôi.

Nếu họ dừng lại ở bất kỳ điểm nào, họ sẽ phải làm nhiều công việc hơn, nhưng họ có thể chứng minh rằng nếu thủ tục diễn ra mãi mãi, họ có thể thoát khỏi vấn đề này.

'Trong giới hạn của việc lấy các lát mỏng hơn và mỏng hơn khi bạn đến gần một trong những đỉnh gây vấn đề này, tôi sẽ có thể làm phẳng mỗi cái,' Ku nói. Trong ngữ cảnh này, các lát không phải là những cắt thực sự mà là những lát khái niệm được sử dụng để tưởng tượng việc phân chia hình dạng thành các phần nhỏ và làm phẳng từng phần, Erik Demaine nói. 'Sau đó, chúng ta 'dính' những giải pháp này lại với nhau để đạt được một giải pháp cho bề mặt ban đầu.'

Các nhà nghiên cứu áp dụng cùng cách tiếp cận này cho tất cả các đa diện không vuông góc. Bằng cách chuyển từ các lát mỏng 'khái niệm' hữu hạn sang vô hạn, họ tạo ra một quy trình, khi đưa đến đỉnh toán học cực đại của nó, tạo ra đối tượng phẳng mà họ đang tìm kiếm. Kết quả giải quyết vấn đề một cách bất ngờ đối với các nhà nghiên cứu khác đã tham gia vào vấn đề này.

'Điều đó thậm chí chưa bao giờ xuất hiện trong ý định của tôi về việc sử dụng một số lượng vô hạn gấp,' nói Joseph O’Rourke, một nhà khoa học máy tính và nhà toán học tại Đại học Smith đã làm việc trên vấn đề này. 'Họ đã thay đổi tiêu chí về cái gì là một giải pháp một cách rất khéo léo.'

Đối với các nhà toán học, bằng chứng mới đặt ra nhiều câu hỏi như câu trả lời. Một trong số đó, họ vẫn muốn biết liệu có thể làm phẳng đa diện với chỉ một số lượng hữu hạn gấp hay không. Erik Demaine nghĩ là có, nhưng sự lạc quan của anh ta dựa trên một linh cảm.

'Tôi luôn cảm thấy như nó nên là khả năng,'' ông nói.

Kết quả là một sự tò mò thú vị, nhưng nó có thể có tác động rộng lớn đối với các vấn đề hình học khác. Ví dụ, Erik Demaine quan tâm đến việc thử áp dụng phương pháp gấp vô hạn của đội của mình cho các hình dạng trừu tượng hơn. O’Rourke gần đây đã đề xuất đội nghiên cứu xem họ có thể sử dụng nó để làm phẳng các đối tượng bốn chiều xuống ba chiều. Đó là một ý tưởng có lẽ có vẻ khó tin ngay cả vài năm trước, nhưng gấp vô hạn đã tạo ra một kết quả bất ngờ. Có lẽ nó có thể tạo ra một kết quả khác.

'Cùng loại phương pháp có thể hoạt động,'' nói Erik Demaine. 'Điều đó chắc chắn là một hướng để khám phá.'

Câu chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập về biên tập xuất bản của Quanta Magazine được Quanta Magazine chấp nhận để tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách báo cáo về các phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.