Một Dự Án Phụ Học Viên Đại Học Chứng Minh Một Bảng Định Lý Số Nguyên Tố

Như những nguyên tử của toán học, số nguyên tố luôn chiếm một vị trí đặc biệt trên trục số. Bây giờ, Jared Duker Lichtman, một sinh viên nghiên cứu 26 tuổi tại Đại học Oxford, đã giải một giả định nổi tiếng, thiết lập một khía cạnh khác của điều làm cho số nguyên tố đặc biệt—và theo một cách nào đó, thậm chí là tối ưu. “Nó mang lại cho bạn một bối cảnh lớn hơn để nhìn thấy cách số nguyên tố là duy nhất, và cách chúng liên quan đến vũ trụ lớn của các tập hợp số”, anh nói.

Giả định này liên quan đến các tập hợp nguyên thủy—chuỗi trong đó không có số nào chia hết cho số khác. Vì mỗi số nguyên tố chỉ có thể được chia cho 1 và chính nó, tập hợp tất cả các số nguyên tố là một ví dụ của một tập hợp nguyên thủy. Cũng như tập hợp tất cả các số có đúng hai hoặc ba hoặc 100 thừa số nguyên tố.

Tập hợp nguyên thủy được giới thiệu bởi nhà toán học Paul Erdős vào những năm 1930. Lúc đó, chúng chỉ là một công cụ giúp anh ấy dễ dàng chứng minh điều gì đó về một loại số cụ thể (gọi là số hoàn hảo) có nguồn gốc từ Hy Lạp cổ. Nhưng chúng nhanh chóng trở thành đối tượng đáng chú ý mà Erdős liên tục quay lại trong suốt sự nghiệp của mình.

Điều đó bởi vì, mặc dù định nghĩa của chúng là đơn giản đủ, tập hợp nguyên thủy hóa ra là những sinh vật kỳ lạ thực sự. Sự kỳ lạ đó có thể được nắm bắt bằng cách đơn giản là hỏi tập hợp nguyên thủy có thể lớn đến đâu. Hãy xem xét tập hợp tất cả các số nguyên đến 1,000. Tất cả các số từ 501 đến 1,000—một nửa của tập hợp—tạo thành một tập hợp nguyên thủy, vì không có số nào có thể chia hết cho số khác. Như vậy, tập hợp nguyên thủy có thể bao gồm một phần lớn của trục số. Nhưng các tập hợp nguyên thủy khác, như dãy số nguyên tố, lại rất rải rác. “Nó cho bạn biết rằng tập hợp nguyên thủy thực sự là một lớp rất rộng mà khó có thể đối mặt trực tiếp”, Lichtman nói.

Để nắm bắt những đặc tính thú vị của các tập hợp, nhà toán học nghiên cứu các khái niệm kích thước khác nhau. Ví dụ, thay vì đếm có bao nhiêu số trong một tập hợp, họ có thể làm như sau: Đối với mỗi số n trong tập hợp, đặt nó vào biểu thức 1/(n log n), sau đó cộng tất cả các kết quả lại. Kích thước của tập hợp {2, 3, 55}, ví dụ, trở thành 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55).

Erdős phát hiện ra rằng đối với bất kỳ tập hợp nguyên thủy nào, kể cả những tập hợp vô hạn, tổng đó—“tổng Erdős”—luôn là hữu hạn. Bất kể tập hợp nguyên thủy có vẻ như thế nào, tổng Erdős của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số nào đó. Và vì vậy trong khi tổng đó “trông, ít nhất là trên bề mặt, hoàn toàn xa lạ và mơ hồ,” Lichtman nói, nó ở một số cách nào đó “kiểm soát một số sự hỗn loạn của tập hợp nguyên thủy,” làm cho nó là công cụ đo đạc phù hợp nhất để sử dụng.

Với cây gậy này trong tay, một câu hỏi tự nhiên tiếp theo là hỏi tổng Erdős tối đa có thể là bao nhiêu. Erdős đặt giả thuyết rằng nó sẽ là tổng cho các số nguyên tố, đạt khoảng 1.64. Qua góc nhìn này, số nguyên tố chiếm một loại cực điểm.

Qua các thập kỷ, các nhà toán học đã có tiến triển một phần đối với bằng chứng. Họ đã chỉ ra, ví dụ, rằng giả thuyết đó đúng cho các loại tập hợp nguyên thủy cụ thể.

Tuy nhiên, “cảm giác như chúng ta chưa thực sự gần đến nó cho đến khi Jared bắt đầu nghiên cứu,” Greg Martin, một nhà toán học tại Đại học British Columbia, người đã làm việc trên các vấn đề liên quan, nói. András Sárközy, một nhà toán học tại Đại học Eötvös Loránd ở Hungary và một đồng nghiệp thường xuyên của Erdős, đồng tình. “Nó chắc chắn dường như là nằm ngoài tầm tay,” ông nói.

Lichtman bắt đầu nghiên cứu về giả thuyết tập hợp nguyên thủy vào năm 2018, trong năm cuối cùng của mình là sinh viên đại học tại Dartmouth College. “Tôi ngay lập tức mê mẩn với câu hỏi này. Nó thật bí ẩn về cách điều gì đó như vậy có thể là đúng,” anh nói. “Nó đã là bạn đồng hành không rời của tôi trong bốn năm qua.”

Năm 2019, anh và Carl Pomerance, người hướng dẫn của mình tại Dartmouth—người theo Lola Thompson, một nhà toán học tại Đại học Utrecht và là một sinh viên cũ của Pomerance, về cơ bản “tái xuất ngũ để làm việc với anh ấy”—đã phát hiện ra rằng tổng Erdős của một tập hợp nguyên thủy không thể lớn hơn khoảng 1.78. “Không quá xa,” Martin nói. “Chỉ khoảng 10% lớn hơn so với giả thuyết cho các số nguyên tố.”

Lichtman và Pomerance thu được hằng số này bằng cách liên kết một dãy số bội số mới với mỗi số trong một tập hợp nguyên thủy cho trước. Hãy xem xét lại tập hợp nguyên thủy {2, 3, 55}. Liên kết với số 2 sẽ là dãy số tất cả các số chẵn. Liên kết với số 3 sẽ là tất cả các bội số của 3 mà không phải là bội số của 2. Và liên kết với số 55 (5 × 11) sẽ là tất cả các bội số của 55 sao cho thừa số nguyên tố nhỏ nhất của bội số—số nhân 55—là 11 (do đó loại trừ tất cả các bội số chia hết cho 2, 3, 5 và 7). Lichtman mô tả nó giống như cách từ được chỉ mục trong từ điển—chỉ có thay vì chữ cái, ta sử dụng số nguyên tố để tổ chức mỗi dãy số.

Sau đó, anh và Pomerance nghĩ về cách các dãy số bội số này “dày đặc”—tức là, chúng chiếm bao nhiêu trên trục số. (Ví dụ, dãy số tất cả các số chẵn có mật độ là 1/2, vì số chẵn chiếm một nửa số tất cả các số.) Họ quan sát rằng nếu tập hợp gốc là nguyên thủy, thì các dãy số bội số liên kết với nó sẽ không chồng lấp nhau, và do đó tổng mật độ kết hợp của chúng tối đa là 1—mật độ của tất cả các số nguyên.

Quan sát này có liên quan vì một định lý của nhà toán học Franz Mertens thế kỷ 19 về cơ bản cho phép Lichtman và Pomerance giải thích lại tổng Erdős của một tập hợp nguyên thủy dưới dạng những mật độ này. Theo định lý của Mertens, một hằng số đặc biệt (gần bằng 1.78), khi nhân với một thuật ngữ tương đương với tổng mật độ kết hợp của những bội số này, đưa ra giá trị tối đa cho tổng Erdős của một tập hợp nguyên thủy có thể là. Và vì mật độ kết hợp tối đa là 1, Lichtman và Pomerance chứng minh rằng tổng Erdős của một tập hợp nguyên thủy tối đa là khoảng 1.78.

“Đó là một biến thể của ý tưởng gốc của Erdős, nhưng đó là một cách rất thông minh, gọn gàng ... để đạt được một giới hạn trên không chặt chẽ nhưng không quá tồi,” nói James Maynard, một nhà toán học tại Oxford.

Và trong vài năm, đó dường như là điều tốt nhất mà các nhà toán học có thể làm. Không rõ làm thế nào để giảm giới hạn tối đa đó xuống 1.64. Trong thời gian đó, Lichtman tốt nghiệp và chuyển đến Oxford để làm luận án tiến sĩ với Maynard, nơi anh chủ yếu đã làm việc vào các vấn đề khác liên quan đến số nguyên tố.

“Tôi biết anh ấy đã nghĩ nhiều về vấn đề này một cách bí mật,” Maynard nói, “nhưng đó là một cú sốc hoàn toàn khi anh ấy bất ngờ, dường như hoàn toàn bất ngờ, đưa ra một bằng chứng hoàn chỉnh.”

Lichtman đầu tiên nhận ra rằng đối với các số có thừa số nguyên tố tương đối nhỏ, lý lẽ trước đó của anh với Pomerance vẫn có thể hoạt động: Tương đối dễ dàng để chứng minh rằng trong trường hợp này, hằng số 1.78 có thể được giảm xuống dưới 1.64.

Nhưng những số có thừa số nguyên tố tương đối lớn—những số có ý nghĩa gì đó “gần” với số nguyên tố—là một câu chuyện khác. Để giải quyết vấn đề này, Lichtman tìm ra cách liên kết không chỉ một dãy số bội số với mỗi số, mà là nhiều dãy số. Như trước, tổng mật độ của tất cả các dãy số đó tối đa là 1. Nhưng lần này, “những bội số khác này sẽ mọc lên như cỏ dại và chiếm lấy một số không gian,” Lichtman nói.

Lấy ví dụ với số 618 (2 × 3 × 103). Thông thường, bạn có thể liên kết với nó tất cả bội số của 618 sao cho thừa số nguyên tố nhỏ nhất của bội số là 103. Nhưng các dãy số có thể thay thế được xây dựng bằng cách sử dụng một số thừa số nguyên tố nhỏ hơn đã bị bỏ qua. Ví dụ, một dãy số có thể bao gồm tất cả các bội số gốc, đồng thời cũng cho phép các bội số của 618 nơi bội số có thể chia hết cho 5. (Một số ràng buộc quy định rằng thừa số nguyên tố nhỏ hơn nào có thể được sử dụng.)

Sự xuất hiện của những bội số bổ sung này có nghĩa là tổng mật độ của các bội số gốc—lượng được sử dụng trong định lý của Mertens—thực sự nhỏ hơn 1. Lichtman tìm ra cách đặt giới hạn chính xác hơn về mật độ đó có thể là bao nhiêu.

Sau đó, anh ta cẩn thận xác định tình huống xấu nhất có thể xảy ra với một tập hợp nguyên thủy: sự cân bằng nó sẽ làm thế nào giữa các số có thừa số nguyên tố lớn và các số có thừa số nguyên tố nhỏ. Bằng cách ghép lại hai phần của bằng chứng của mình, anh ta đã chứng minh rằng tổng Erdős cho một tình huống như vậy đạt giá trị nhỏ hơn 1.64.

“Có khoảnh khắc số học của sự thật,” Maynard nói. “Tôi không biết nó có phải là may mắn hay không, rằng điều này chỉ đủ về mặt số học.”

Lichtman đăng bằng chứng của mình trực tuyến vào tháng 2. Những nhà toán học lưu ý rằng công việc này đặc biệt ấn tượng vì nó hoàn toàn dựa trên các lập luận cơ bản. “Nó không phải là anh ấy đang chờ đợi mọi bộ máy điên rồ phát triển,” Thompson nói. “Anh ấy chỉ có một số ý tưởng rất tinh tế.”

Những ý tưởng đó hiện đã củng cố vị thế đặc biệt của số nguyên tố giữa các tập hợp nguyên thủy: Tổng Erdős của chúng trị vị. “Chúng ta tất cả nghĩ về số nguyên tố như là đặc biệt,” Pomerance nói. “Và điều này chỉ làm tăng thêm vẻ rạng rỡ của chúng.”

Chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập biên tập của Sở học thảo Simons, có sứ mệnh là nâng cao sự hiểu biết của công chúng về khoa học thông qua việc báo cáo về các tiến bộ nghiên cứu và xu hướng trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và đời sống.