Một nhà toán học người Việt đã có những khám phá đột phá, giúp một trường đại học tại Mỹ giữ vững vị trí dẫn đầu toàn cầu trong lĩnh vực đại số.

Giáo sư Phạm Hữu Tiệp chia sẻ rằng các phát hiện của ông thường nảy sinh vào những thời điểm bất ngờ nhất. "Đó có thể là khi tôi đi dạo cùng các con, làm vườn với vợ, hoặc đang bận rộn trong bếp", ông nói.

"Một giáo sư tại Đại học Rutgers-New Brunswick, người đã cống hiến cả sự nghiệp để giải quyết các bí ẩn của toán học, đã tìm ra hai vấn đề cơ bản riêng biệt mà các nhà toán học đã đau đầu trong nhiều thập kỷ", theo Phys.org, một trang tin khoa học của Anh, đưa tin ngày 9/10.

Giáo sư đó chính là Phạm Hữu Tiệp, nhà toán học Việt Nam sinh năm 1963, từng là học sinh của trường THPT Chu Văn An, Hà Nội.

Bình luận từ Phys.org được đưa ra sau khi giáo sư Phạm Hữu Tiệp công bố một bài báo khoa học mới trên tạp chí Annals of Mathematics số tháng 9. Bài báo này giải quyết một vấn đề toán học đã tồn tại gần 7 thập kỷ, do nhà toán học vĩ đại người Mỹ gốc Đức Richard Brauer đặt ra vào năm 1955.

"Giải pháp cho những vấn đề đã tồn tại quá lâu này có thể làm phong phú thêm hiểu biết của chúng ta về tính đối xứng của các cấu trúc và vật thể trong tự nhiên và khoa học, cũng như về hành vi lâu dài của nhiều quá trình ngẫu nhiên xuất hiện trong các lĩnh vực từ hóa học, vật lý kỹ thuật đến khoa học máy tính và kinh tế", Phys.org viết.

Giải quyết một bài toán đã tồn tại 70 năm trong lĩnh vực toán học

Bài toán của Brauer được biết đến với tên gọi "Giả thuyết cao độ 0", trong đó, Brauer dự đoán rằng đối với bất kỳ nhóm hữu hạn G và một số nguyên tố p nào, một số tính chất số học của các biểu diễn không thể phân nhỏ hơn của nhóm G trong một phần đặc biệt được gọi là khối p-block B, phải chịu ảnh hưởng từ các nhóm khuyết tật (D).

Nói một cách đơn giản, đây là một dự đoán của Brauer trong lĩnh vực được gọi là "lý thuyết nhóm" trong đại số, liên quan đến cách biểu diễn các đại lượng thông qua nhóm. 

Một nhóm là tập hợp các đối tượng mà chúng ta có thể kết hợp lại với nhau theo một quy tắc nhất định, ví dụ như khi bạn xoay một hình vuông 90 độ, 180 độ hoặc 270 độ. Những cách xoay này tạo thành một "nhóm" vì chúng có thể được kết hợp và tuân theo một số quy tắc nhất định.

Khi các nhà toán học nghiên cứu về nhóm, họ thường muốn biểu diễn các nhóm này theo cách dễ hiểu hơn. Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng ma trận (một bảng số) để đại diện cho nhóm. Việc biểu diễn nhóm có nghĩa là mô tả các phần tử của nhóm (chẳng hạn như các cách xoay hình vuông) thông qua các ma trận.

"Giả thuyết cao độ 0" của Brauer đề cập đến độ phức tạp của các "mảnh" trong biểu diễn của nhóm. Khi phân tích một nhóm thành những phần nhỏ hơn và đơn giản hơn (giống như việc chia một bức tranh ghép thành các mảnh ghép), mỗi mảnh sẽ có một cao độ, tức là một số không âm.

Giả thuyết này khẳng định rằng đối với một số nhóm nhất định, tất cả các mảnh nhỏ đó đều có độ cao bằng 0, có nghĩa là chúng ở trạng thái đơn giản nhất, nhưng chỉ khi nhóm đó đáp ứng một số điều kiện cụ thể.

Đến gần đây, giả thuyết của Brauer vẫn chỉ là một phỏng đoán. Điều này có nghĩa là Brauer tin rằng nó đúng, và các nhà toán học đã kiểm nghiệm rất nhiều trường hợp và thấy rằng nó đúng. Tuy nhiên, việc chứng minh giả thuyết này là một thách thức lớn.

"Các nhà toán học tài năng hiếm hoi như Brauer dường như đến từ một hành tinh khác hoặc một thế giới khác. Họ có khả năng nhìn thấy những điều ẩn giấu mà người khác không thể nhận ra", giáo sư Phạm Hữu Tiệp nói về cách Brauer đưa ra giả thuyết của mình từ năm 1955.

"Giả thuyết là một ý tưởng mà bạn tin rằng nó đúng ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, mọi giả thuyết đều cần phải được chứng minh", ông chia sẻ thêm.

Trong nghiên cứu mới của mình, đăng trên tạp chí Annals of Mathematics, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cùng với các đồng nghiệp như Gunter Malle từ Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern ở Đức, Gabriel Navarro từ Đại học València ở Tây Ban Nha, và Amanda Schaeffer Fry, cựu sinh viên của ông hiện đang làm việc tại Đại học Denver, đã hoàn toàn chứng minh giả thuyết cao độ 0 của Brauer.

Thành tựu này được coi là đã giải quyết một nút thắt rất quan trọng trong lý thuyết nhóm, đã tồn tại trong suốt 70 năm qua.

Giúp trường đại học Mỹ giữ vững vị trí hàng đầu toàn cầu trong lĩnh vực đại số

Tuy nhiên, đây không phải là thành tựu nổi bật duy nhất của giáo sư Phạm Hữu Tiệp. Cách đây hai tháng, ông cũng đã công bố một nghiên cứu khác trên tạp chí Annals of Mathematics số tháng 7, trong đó ông đã thành công giải quyết một bài toán khó mang tên lý thuyết Deligne-Lusztig.

Đây cũng là một bài toán thuộc lĩnh vực lý thuyết biểu diễn nhóm. Bước tiến này liên quan đến khái niệm vết (trace) của ma trận, là tổng các phần tử trên đường chéo của ma trận và là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính.

Với việc làm sáng tỏ lý thuyết Deligne-Lusztig, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết giải pháp của ông có thể cung cấp những hiểu biết quý giá, giúp các nhà toán học khác giải quyết nhiều vấn đề lớn trong toán học, bao gồm các giả thuyết do nhà toán học John Thompson tại Đại học Florida và nhà toán học người Israel Alexander Lubotzky đề xuất.

Đánh giá về hai nghiên cứu mới của giáo sư Phạm Hữu Tiệp, Stephen Miller, giáo sư danh dự và Trưởng khoa Toán tại Đại học Rutgers-New Brunswick, cho biết: "Công trình chất lượng cao và chuyên môn của giáo sư Tiệp trong lĩnh vực nhóm hữu hạn đã giúp Đại học Rutgers giữ vững vị thế là trung tâm hàng đầu thế giới trong lĩnh vực này.

Một trong những thành tựu vĩ đại của toán học trong thế kỷ 20 là phân loại các nhóm hữu hạn 'đơn giản', chúng được gọi như vậy nhưng thực chất có thể đã được đặt sai tên [bởi vì chúng thực sự rất phức tạp]. Những phát hiện thú vị và tiên phong nhất trong lĩnh vực này đã được dẫn dắt bởi Đại học Rutgers. Qua sự nghiệp đồ sộ đáng kinh ngạc của mình, giáo sư Tiệp đã giúp khoa Toán của chúng tôi khẳng định được vị thế trên trường quốc tế".

Cả hai bước đột phá của giáo sư Phạm Hữu Tiệp đều là những tiến bộ quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn, một nhánh con của đại số. Lý thuyết biểu diễn là công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm lý thuyết số và hình học đại số, cũng như trong các lĩnh vực khoa học vật lý, như vật lý hạt.

Thông qua các đối tượng toán học gọi là nhóm, lý thuyết biểu diễn cũng đã được áp dụng để nghiên cứu tính đối xứng trong các phân tử, mã hóa thông điệp, và phát triển các mã sửa lỗi.

Theo các nguyên tắc của lý thuyết biểu diễn, các nhà toán học chuyển đổi các hình dạng trừu tượng tồn tại trong hình học Euclid—nhiều trong số đó có độ phức tạp cao—thành các ma trận số. Việc này được thực hiện bằng cách xác định các điểm cụ thể trong mỗi hình dạng ba chiều trở lên và chuyển chúng thành các số được tổ chức trong các hàng và cột của ma trận.

Giáo sư Phạm Hữu Tiệp nhấn mạnh rằng phép toán ngược lại cũng cần phải hiệu quả. Cần có khả năng tái tạo hình dạng từ dãy số. Để làm điều này, các lý thuyết biểu diễn nhóm cần phải được phát triển.

"Tôi hy vọng có thể thúc đẩy lĩnh vực này phát triển", giáo sư Phạm Hữu Tiệp chia sẻ.

Nghiên cứu toán học bằng bút và giấy

Giáo sư Phạm Hữu Tiệp, sinh năm 1963, là cựu học sinh trường Chu Văn An, Hà Nội. Ông đã tham gia kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (IMO) tổ chức tại Anh vào năm 1979 và giành được Huy chương Bạc.

Năm 1980, ông bắt đầu theo học tại khoa Toán - Cơ của Đại học Tổng hợp Lomonosov, Liên Xô cũ. Sau khi tốt nghiệp vào năm 1985, ông tiếp tục làm nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án phó tiến sĩ (hiện nay được gọi là tiến sĩ) vào năm 1989, rồi hoàn thành luận án tiến sĩ (giờ được gọi là tiến sĩ khoa học) vào năm 1991.

Đến năm 1996, ông chuyển sang Mỹ và làm việc tại nhiều trường đại học như Đại học Ohio, Đại học Florida, và Đại học Arizona. Năm 2013, ông được vinh danh là hội viên danh dự của Hội Toán học Hoa Kỳ. Từ năm 2018 đến nay, giáo sư Phạm Hữu Tiệp làm việc tại Đại học Rutgers và cộng tác với Viện Nghiên cứu Khoa học Toán học (MSRI) Berkeley cũng như Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton.

Trong suốt sự nghiệp toán học của mình, giáo sư Phạm Hữu Tiệp đã xuất bản 5 cuốn sách chuyên khảo và hơn 200 bài báo khoa học trên các tạp chí toán học hàng đầu thế giới.

Khác với nhiều đồng nghiệp thường dùng thiết bị phức tạp để làm việc, giáo sư Phạm Hữu Tiệp chia sẻ rằng ông chỉ cần bút và giấy cho nghiên cứu của mình. Ông thường xuyên ghi chép các công thức toán học hoặc các câu biểu thị chuỗi logic, sau đó tham gia vào các cuộc thảo luận với các đồng nghiệp, cả trực tiếp và trực tuyến qua Zoom.

Tuy nhiên, giáo sư Phạm Hữu Tiệp cho biết những khám phá của ông thường xảy ra vào những lúc mà ông ít ngờ tới nhất. "Đó có thể là khi tôi đang đi dạo cùng các con, làm vườn với vợ, hoặc lăng xăng trong bếp. Vợ tôi bảo cô ấy luôn biết khi nào tôi đang suy nghĩ về toán", ông chia sẻ.