Một Thiếu niên Giải Một Bài toán Khó Chịu Giống Số Nguyên Tố

Khi Daniel Larsen còn ở trung học cơ sở, anh bắt đầu thiết kế các ô chữ. Anh phải kết hợp sở thích này với những thứ khác: cờ vua, lập trình, đàn piano, đàn violin. Anh hai lần đạt điểm tới cuộc thi chính quốc Scripps National Spelling Bee gần Washington, DC, sau khi giành chiến thắng ở khu vực. “Anh ấy tập trung vào điều gì đó, và đó chỉ là tiếng nổ, tiếng nổ, tiếng nổ, cho đến khi anh ấy thành công,” mẹ của Larsen, Ayelet Lindenstrauss, nói. Những ô chữ đầu tiên của anh bị từ chối bởi các tờ báo lớn, nhưng anh tiếp tục và cuối cùng đã đánh bại. Đến nay, anh giữ kỷ lục là người trẻ tuổi nhất đăng một ô chữ trên The New York Times, khi mới 13 tuổi. “Anh ấy rất kiên trì,” Lindenstrauss nói.

Tuy nhiên, ước mơ gần đây nhất của Larsen cảm thấy khác biệt, “dài hơn và mãnh liệt hơn hầu hết các dự án khác của anh ấy,” cô nói. Hơn một năm rưỡi, Larsen không thể ngừng nghĩ về một vấn đề toán học cụ thể.

Nó có nguồn gốc từ một câu hỏi phổ biến hơn, một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong toán học mà nhà toán học Carl Friedrich Gauss xem xét: làm thế nào để phân biệt một số nguyên tố (một số chỉ chia hết cho 1 và chính nó) khỏi một số hợp số. Trong hàng trăm năm, những nhà toán học đã tìm cách hiệu quả để làm điều đó. Vấn đề này cũng trở nên quan trọng trong ngữ cảnh của mật mã học hiện đại, vì một số hệ mật mã học phổ biến ngày nay liên quan đến việc thực hiện phép toán với số nguyên tố khổng lồ.

Hơn một thế kỷ trước, trong hành trình đó để tìm kiếm một thử nghiệm số nguyên tố nhanh chóng, mạnh mẽ, những nhà toán học vấp phải một nhóm những kẻ gây rối - những số làm cho các thử nghiệm nghĩ rằng chúng là số nguyên tố, mặc dù chúng không phải. Những số giả mạo này, được biết đến là số Carmichael, đã rất khó hiểu. Ví dụ, chỉ vào giữa những năm 1990, nhà toán học mới chứng minh rằng có vô số nhiều số như vậy. Việc nói thêm về cách chúng phân bố dọc theo dãy số là một thách thức lớn hơn.

Rồi đến Larsen với một bằng chứng mới về điều đó, một bằng chứng được truyền cảm hứng từ công việc đột phá gần đây trong một lĩnh vực khác của lý thuyết số. Lúc đó, anh chỉ mới 17 tuổi.

Ngọn Lửa

Lớn lên ở Bloomington, Indiana, Larsen luôn được hấp dẫn bởi toán học. Bố mẹ anh, cả hai đều là nhà toán học, giới thiệu cho anh và chị gái lớn của anh về môn học khi họ còn nhỏ. (Chị gái của anh hiện đang theo đuổi bằng tiến sĩ toán học.) Khi Larsen mới 3 tuổi, Lindenstrauss nhớ lại, anh bắt đầu đặt câu hỏi triết học về bản chất của vô cực. “Tôi nghĩ, đứa trẻ này có một tâm trí toán học,” Lindenstrauss, một giáo sư tại Đại học Indiana, nói.

Sau đó vài năm trở lại đây - vào khoảng thời gian anh đắm chìm trong các dự án đánh vần và ô chữ của mình - anh tình cờ xem một bộ phim tài liệu về Yitang Zhang, một nhà toán học không nổi tiếng nổi lên từ quên lãng vào năm 2013 sau khi chứng minh một kết quả quan trọng đặt một giới hạn trên khoảng cách giữa các số nguyên tố liên tiếp. Một điều nào đó đã kích thích trong Larsen. Anh không thể ngừng nghĩ về lý thuyết số và về vấn đề liên quan mà Zhang và các nhà toán học khác vẫn hy vọng giải quyết: giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, nói rằng có vô số cặp số nguyên tố khác nhau chỉ 2.

Sau công việc của Zhang, chỉ ra rằng có vô số cặp số nguyên tố khác nhau ít hơn 70 triệu, những người khác nhảy vào để giảm giới hạn này thậm chí còn thấp hơn. Trong vài tháng, các nhà toán học James Maynard và Terence Tao đã chứng minh độc lập một tuyên bố mạnh mẽ hơn về khoảng cách giữa các số nguyên tố. Khoảng cách đó đã giảm xuống còn 246.

Larsen muốn hiểu một số toán học nằm sau công việc của Maynard và Tao, “nhưng nó khá là không thể đối với tôi,” anh nói. Các bài báo của họ quá phức tạp. Larsen cố đọc các công việc liên quan, chỉ để thấy nó không thể xâm nhập được. Anh tiếp tục nhảy từ kết quả này sang kết quả khác, cho đến khi cuối cùng, vào tháng 2 năm 2021, anh tìm thấy một bài báo mà anh thấy vừa đẹp vừa dễ hiểu. Chủ đề của nó: số Carmichael, những số hợp số kỳ lạ có thể đôi khi tự giới thiệu là số nguyên tố.

Tất cả trừ Số Nguyên Tố

Ở giữa thế kỷ 17, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat viết một lá thư cho bạn và người thân Frénicle de Bessy, trong đó ông nêu ra những gì sau này được biết đến là “định lý nhỏ của ông.” Nếu N là số nguyên tố, thì b^N – b luôn là một bội số của N, bất kể b là gì. Ví dụ, 7 là một số nguyên tố, và do đó, 2⁷ – 2 (bằng 126) là một bội số của 7. Tương tự, 3⁷ – 3 là một bội số của 7, và cứ như vậy.

Các nhà toán học nhận thức được tiềm năng của một bài kiểm tra hoàn hảo về việc một số nào đó có phải là số nguyên tố hay hợp số không. Họ biết rằng nếu N là số nguyên tố, thì b^N – b luôn là một bội số của N. Liệu ngược lại có đúng không? Nghĩa là, nếu b^N – b là một bội số của N với mọi giá trị của b, liệu N có phải là số nguyên tố không?

Thật không may, hóa ra rằng trong trường hợp rất hiếm, N có thể đáp ứng điều kiện này mà vẫn là số hợp. Số nhỏ nhất như vậy là 561: Đối với mọi số nguyên b, b⁵⁶¹ – b luôn là một bội số của 561, mặc dù 561 không phải là số nguyên tố. Những số như thế này được đặt tên theo nhà toán học Robert Carmichael, người thường được ghi nhận đã xuất bản ví dụ đầu tiên vào năm 1910 (mặc dù nhà toán học người Séc Václav Šimerka cũng phát hiện ra các ví dụ một cách độc lập vào năm 1885).

Những con số này giống như những đối tượng cơ bản nhất trong lý thuyết số, số nguyên tố, và các nhà toán học muốn hiểu rõ hơn về chúng. Hóa ra vào năm 1899—một thập kỷ trước kết quả của Carmichael—nhà toán học khác, Alwin Korselt, đã đưa ra một định nghĩa tương đương. Ông chỉ không biết có bất kỳ số nào phù hợp với điều kiện của ông.

Theo tiêu chí của Korselt, một số N là một số Carmichael nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn ba điều kiện. Thứ nhất, nó phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố. Thứ hai, không có thừa số nguyên tố nào được lặp lại. Và thứ ba, đối với mỗi số nguyên tố p chia hết cho N, p – 1 cũng chia hết cho N – 1. Hãy xem xét lại số 561. Nó bằng 3 × 11 × 17, vì vậy nó rõ ràng thỏa mãn hai điều kiện đầu tiên trong danh sách của Korselt. Để chứng minh tính chất cuối cùng, trừ 1 từ mỗi thừa số nguyên tố để được 2, 10 và 16. Ngoài ra, trừ 1 từ 561. Tất cả ba số nhỏ hơn đều là ước của 560. Số 561 do đó là một số Carmichael.

Mặc dù nhà toán học nghi ngờ rằng có vô số số Carmichael, nhưng chúng khá ít so với số nguyên tố, điều làm cho chúng khó xác định. Sau đó vào năm 1994, Red Alford, Andrew Granville và Carl Pomerance đăng bài nghiên cứu đột phá trong đó họ cuối cùng đã chứng minh rằng có vô số những số giả nguyên tố như vậy.

Thật không may, những kỹ thuật họ phát triển không cho phép họ nói gì về hình dạng của những số Carmichael đó. Chúng xuất hiện thành cụm dọc theo đường số, với khoảng cách lớn ở giữa? Hay bạn có thể luôn tìm thấy một số Carmichael trong một khoảng ngắn? “Nếu bạn có thể chứng minh rằng có vô số số Carmichael,” Granville nói, “chắc chắn bạn cũng nên chứng minh rằng không có khoảng trống lớn giữa chúng, rằng chúng nên được sắp xếp khá đều nhau.”

Đặc biệt, anh và các tác giả khác hy vọng chứng minh một tuyên bố phản ánh ý tưởng này—rằng với một số lớn đủ X, luôn tồn tại một số Carmichael giữa X và 2X. “Đó là một cách khác để diễn đạt về sự phổ biến của chúng,” nói Jon Grantham, một nhà toán học tại Viện Nghiên cứu Quốc phòng đã thực hiện công việc liên quan.

Nhưng trong suốt nhiều thập kỷ, không ai có thể chứng minh điều đó. Các kỹ thuật được phát triển bởi Alford, Granville và Pomerance “cho phép chúng tôi chứng minh rằng sẽ có nhiều số Carmichael,” Pomerance nói, “nhưng thực sự không cho phép chúng tôi kiểm soát nhiều về nơi chúng sẽ xuất hiện.”

Sau đó, vào tháng 11 năm 2021, Granville mở một email từ Larsen, lúc đó 17 tuổi và đang ở năm cuối trung học. Có một bài báo đính kèm—và làm Granville ngạc nhiên, nó trông đúng. “Nó không phải là bài đọc dễ dàng nhất từng có,” ông nói. “Nhưng khi tôi đọc nó, rõ ràng là anh ấy không đùa. Anh ấy có những ý tưởng tuyệt vời.”

Pomerance, người đọc phiên bản sau của công trình, đồng tình. “Bằng chứng của anh ấy thực sự khá tiến bộ,” ông nói. “Đó sẽ là một bài báo mà bất kỳ nhà toán học nào cũng tự hào khi viết. Và đây là một học sinh trung học viết nó.”

Chìa khóa cho bằng chứng của Larsen là công việc đã khiến anh ấy quan tâm đến số Carmichael ban đầu: kết quả của Maynard và Tao về khoảng cách giữa các số nguyên tố.

Không Điển Hình—Nhưng Không Khả Năng

Khi Larsen lần đầu tiên bắt đầu chứng minh rằng bạn luôn có thể tìm thấy một số Carmichael trong một khoảng ngắn, “dường như nó rất hiển nhiên là đúng, làm thế nào có thể khó chứng minh?” anh ấy nói. Anh ấy nhanh chóng nhận ra rằng nó có thể rất khó khăn. “Đây là một vấn đề kiểm tra công nghệ của thời đại chúng ta,” anh ấy nói.

Trong bài báo năm 1994 của họ, Alford, Granville và Pomerance đã chỉ ra cách tạo ra vô số số Carmichael. Nhưng họ không thể kiểm soát kích thước của các số nguyên tố họ sử dụng để xây dựng chúng. Đó là điều mà Larsen sẽ cần phải làm để xây dựng số Carmichael có kích thước tương đối gần nhau. Sự khó khăn của vấn đề làm lo lắng cha anh, Michael Larsen. “Tôi không nghĩ rằng nó là không thể, nhưng tôi nghĩ rằng khả năng anh ấy sẽ thành công là không lớn,” ông nói. “Tôi thấy anh ấy dành quá nhiều thời gian cho nó… và tôi cảm thấy nếu anh ấy phải đầu tư nhiều như vậy và không đạt được kết quả, điều đó sẽ là một cú sốc cho anh ấy.”

Tuy nhiên, ông hiểu rõ hơn là không nên cố gắng thuyết phục con trai. “Khi Daniel cam kết với điều gì đó thực sự quan tâm, anh ấy kiên trì với nó từ đầu đến cuối,” ông nói.

Vì vậy, Larsen quay trở lại các bài báo của Maynard—đặc biệt là công việc chỉ ra rằng nếu bạn lấy các chuỗi nhất định của đủ số, một số con của những số đó phải là số nguyên tố. Larsen điều chỉnh các kỹ thuật của Maynard để kết hợp chúng với các phương pháp được sử dụng bởi Alford, Granville và Pomerance. Điều này cho phép anh ấy đảm bảo rằng các số nguyên tố anh ấy thu được sẽ thay đổi về kích thước—đủ để tạo ra số Carmichael rơi vào các khoảng anh ấy muốn.

“Anh ấy có quyền kiểm soát nhiều hơn những gì chúng tôi từng có,” Granville nói. Và anh ấy đạt được điều này thông qua việc sử dụng công việc của Maynard một cách thông minh. “Nó không dễ dàng … để sử dụng tiến triển này về khoảng cách ngắn giữa các số nguyên tố,” nói Kaisa Matomäki, một nhà toán học tại Đại học Turku ở Phần Lan. “Thật tuyệt vời khi anh ấy có thể kết hợp nó với câu hỏi về các số Carmichael.”

Trên thực tế, lập luận của Larsen không chỉ cho phép anh ấy chứng minh rằng một số Carmichael phải luôn xuất hiện giữa X và 2X. Bằng chứng của anh ấy còn hoạt động cho các khoảng cách nhỏ hơn nhiều. Bây giờ, những nhà toán học hy vọng rằng nó cũng sẽ giúp tiết lộ các khía cạnh khác của hành vi của những số kỳ lạ này. “Đó là một ý tưởng khác,” nói Thomas Wright, một nhà toán học tại Wofford College ở Nam Carolina làm việc về số giả mạo. “Nó thay đổi nhiều điều về cách chúng ta có thể chứng minh về các số Carmichael.”

Grantham đồng ý. “Bây giờ bạn có thể làm những điều bạn chưa bao giờ nghĩ đến,” ông nói.

Trong khi đó, Larsen chỉ mới bắt đầu năm đầu của mình tại Viện Công nghệ Massachusetts. Anh ấy không chắc chắn về vấn đề anh ấy có thể làm tiếp theo, nhưng anh ấy háo hức tìm hiểu những điều có sẵn. “Tôi chỉ đang học các khóa học … và cố gắng mở lòng,” anh ấy nói.

“Anh ấy đã làm tất cả điều này mà không cần giáo dục đại học,” Grantham nói. “Tôi chỉ có thể tưởng tượng anh ấy sẽ đưa ra những ý tưởng gì trong nghiên cứu sau đại học.”

Video do Emily Buder, Noah Hutton, Taylor Hess và Rui Braz thực hiện cho tạp chí Quanta

Bản tin gốc được in lại với sự cho phép từ Tạp chí Quanta, một tờ báo độc lập về biên tập của Quỹ Simons với sứ mệnh là nâng cao sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa ra các phát triển và xu hướng nghiên cứu trong toán học và các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.