Một thợ in ở tuổi nghỉ hưu phát hiện ra hình dáng 'einstein', giải quyết thành công bài toán nổi tiếng

Ban đầu, nỗ lực giải bài toán einstein chỉ đơn giản là tìm cách trả lời câu hỏi: liệu có một tập hợp hình nào có thể được ghép lại để phủ lên một mặt phẳng mà không tạo ra chu kỳ? Nhưng các nhà khoa học tối giản đáp án theo thời gian.

Tháng Mười một vừa qua, David Smith đạt được thành công sau một thập kỷ nỗ lực. Tự xưng là một cá nhân đam mê hình học, người đàn ông Anh Quốc cho rằng mình đã tìm ra lời giải cho bài toán ghép hình trong Toán học: ông khẳng định mình đã có được một 'einstein' và đứng tên xuất bản nghiên cứu để chứng minh điều đó.

Thuật ngữ einstein chỉ một mảnh ghép đơn phi chu kỳ - là một hình hài có thể ghép khớp được với nhau trên một mặt phẳng, đồng thời ghép vào thành một mẫu hình vô tận không lặp lại. Danh từ “einstein” ghép từ hai từ tiếng Đức, “ein” nghĩa là “một” và “stein” nghĩa là “đá”; có thể hiểu nôm na “einstein” tức là “một phiến đá”.

Những mẫu hình bạn thường thấy - như sàn gạch hoặc giấy dán tường - có thể tạo thành một hình ghép vô hạn và lặp lại theo chu kỳ. Một einstein không tuân theo quy luật đó, và đã từ lâu các nhà toán học đi tìm một hình hài duy nhất có thể phủ kín một mặt phẳng theo một cách phi chu kỳ như thế. Vấn đề khó khăn này được đặt tên là “bài toán einstein”, và có vinh dự “cùng họ” với nhà vật lý học lỗi lạc Albert Einstein.

 “Tôi luôn thích khám phá và thử nghiệm với hình dáng”, ông Smith, thợ in ở tuổi nghỉ hưu nay đã 64 tuổi, tiết lộ trên trang WordPress cá nhân. Ông hứng thú với toán học từ thời còn học trường mà không thực sự xuất sắc trong môn học cổ điển. Nhưng đã từ lâu, ông Smith đam mê tìm lời giải cho bài toán einstein.

Kết luận trong báo cáo khoa học mới được đăng tải bởi chính ông Smith và ba chuyên gia toán học và máy tính khác xác nhận bài toán đã được giải quyết. Các nhà nghiên cứu gọi einstein do ông David Smith phát hiện ra là “cái mũ”, bởi vì nó có hình dáng giống như một chiếc mũ phớt. Trong khi được nhắc đến trên tạp chí The New York Times, báo cáo khoa học của nhóm chuyên gia chưa được hội đồng có chuyên môn thẩm định.

 “Đây có vẻ như là một khám phá đáng chú ý!”, Joshua Socolar, nhà vật lý học tại Đại học Duke phản hồi trong một email, tỏ ra phấn khích khi đọc một phiên bản chưa hoàn chỉnh của báo cáo nói trên. “Điểm đáng chú ý nhất đối với tôi là [những hình ghép] không giống với bất kỳ cấu trúc nào mà chúng ta biết”.

“Kết quả của bài toán đặt ra những câu hỏi thú vị về vật lý”, ông Socolar bổ sung. Một chuyên gia cho rằng có thể tìm thấy cấu trúc này trong tự nhiên, hoặc thiết kế một cấu trúc tương tự để phục vụ mục đích nhất định.

Ban đầu, việc giải bài toán einstein chỉ đơn giản là cố gắng trả lời câu hỏi: liệu có thể có một tập hợp hình nào có thể được ghép lại để phủ lên một mặt phẳng mà không tạo ra chu kỳ?

Năm 1961, nhà toán học Hao Wang công bố báo cáo khẳng định một tập hợp như vậy là không thể. Nhưng không lâu sau đó, học trò của ông Wang, Robert Berger đã bác bỏ sớm ước đoán của giáo sư. Giáo sư Berger phát hiện ra một tập hợp hình học phi chu kỳ ghép lại từ 20.426 mảnh đơn, và không lâu sau đó ông Berger tiếp tục phát hiện ra một tập hợp khác ghép từ 104 hình.

Và cách giải bài toán einstein đã thay đổi: vẫn cố gắng phủ một mặt phẳng, nhưng bây giờ các nhà toán học cố gắng tạo ra einstein với ít số hình nhỏ nhất có thể. Trong những năm 70, Roger Penrose - nhà vật lý toán học tại Đại học Oxford, người được biết đến với tam giác Penrose nổi tiếng, và người đoạt giải Nobel vật lý 2020 nhờ đóng góp vào nghiên cứu về lỗ đen  - giảm số lượng hình ghép của einstein xuống còn 2.

Sau Penrose, đã có những chuyên gia khác tìm được cặp hình của riêng họ. “Tôi cũng có một cặp hình như vậy”, Chaim Goodman-Strauss, nhà toán học tại Bảo tàng Toán học Quốc gia ở New York, và cũng là tác giả của báo cáo khoa học mới được đăng tải, nhận xét.

Ông nói thêm, ngoài mô hình bàn cờ vua phổ biến, những hình vuông với hai màu đen và trắng cũng có thể ghép lại để tạo ra các mô hình phi chu kỳ. “Việc tạo ra các mô hình lạ và thú vị có thể được xem là bình thường”, giáo sư Goodman-Strauss nói. Điều này làm cho hai mảnh ghép hình Penrose - chỉ có thể tạo ra các mô hình phi chu kỳ khi ghép lại - trở nên đặc biệt đến vậy.

Với ước mơ đơn giản hóa vấn đề toán học phức tạp, suốt một thời gian dài các nhà nghiên cứu đã tìm kiếm một mảnh ghép duy nhất có khả năng tạo thành một mẫu hình không giới hạn trên một mặt phẳng, đồng thời không tạo ra chu kỳ nhất định. Ngài Roger Penrose tạm thời dừng lại việc tìm kiếm mảnh ghép độc đáo đã vài năm, nhưng đam mê khám phá vẫn rõ ràng ở trong ông.

“Tôi đã giảm số lượng mảnh ghép xuống còn hai, và giờ chúng tôi chỉ còn một mảnh duy nhất!”, Ngài Penrose phấn khích khi phát hiện ra cái mũ của ông Smith. “Tôi không có lý do gì để không tin vào nó”, nhà toán học người Anh nói thêm.

Báo cáo khoa học của ông Smith bao gồm hai phương pháp chứng minh, cả hai đều được thực hiện bởi đồng tác giả, nhà phát triển phần mềm Joseph Myers. Một bằng chứng dựa trên lập luận truyền thống kết hợp với một đoạn mã được viết bởi lập trình viên người Anh; bằng chứng còn lại được giáo sư Myers soạn thảo mà không cần sự hỗ trợ từ máy tính.

Ngài Roger nói rằng số lượng bằng chứng được mô tả trong báo cáo “rất phức tạp”, khiến ông “rất tò mò”. Ngài cũng nhận xét rằng, hình được ông Smith phát hiện ra đơn giản một cách đáng ngạc nhiên.

Sự đơn giản đến từ sự chân thành. Ông Smith cố gắng giải bài toán einstein bằng tay: ban đầu, ông “thí nghiệm” với phần mềm giải đố PolyForm do lập trình viên Jaap Scherphuis viết. Khi hình dạng trên màn hình có tiềm năng trở thành lời giải cho bài toán einstein, ông Smith sẽ sử dụng máy cắt để tạo ra các miếng ghép thực tế, cố gắng ghép chúng với nhau như một câu đố xếp hình kỳ lạ.

“Cảm giác [cầm mảnh ghép trên tay] luôn lôi cuốn”, ông Smith mô tả việc ghép hình, xoay chúng theo bất kỳ cách nào mà ông muốn. “Điều này cũng giúp tôi rơi vào dòng suy nghĩ. Và nó giúp tôi hiểu rõ hơn về cách một hình dạng lát sao cho hợp lý trên một mặt phẳng”.

Tháng Mười một, khi Smith phát hiện ra một hình hài có thể phủ kín một mặt phẳng mà không tạo ra mẫu hình lặp lại, ông ngay lập tức gửi email cho Craig Kaplan, một nhà khoa học máy tính tại Đại học Waterloo.

“Có phải hình này là câu trả lời cho ‘bài toán einstein’ không?”, ông Smith hỏi trong email. Tiến sĩ Kaplan sử dụng thuật toán của mình - dựa trên nghiên cứu tương tự - để tạo ra một mặt phẳng lớn từ những mảnh ghép. “Mặt phẳng [ghép từ những mảnh] dường như không có giới hạn”, ông Kaplan nói.

Dựa trên dữ liệu thô, ông Smith và Tiến sĩ Kaplan sử dụng … mắt thường để nghiên cứu cấu trúc ghép từ những cái mũ. Áp dụng chứng minh phi chu kỳ truyền thống - một chứng minh toán học “rút ra từ ngăn kéo mỗi khi bạn có một bộ mẫu hình ghép phi chu kỳ”, hai nhà nghiên cứu phát hiện ra hình ghép từ cái mũ thỏa mãn chứng minh đó.

Theo Tiến sĩ Kaplan, trước hết cần xác định một mảnh ghép meta - một hình đơn giản có thể đại diện cho một nhóm gồm một, hai hoặc bốn chiếc mũ. Khi ghép lại, các mảnh meta này tạo thành một hình lớn hơn nhưng vẫn có những đặc tính tương tự. Bằng cách ghép những mảnh meta này từ nhỏ đến lớn, từ lớn đến siêu lớn và siêu siêu lớn, cho đến vô tận, ta sẽ có “một ‘sàn’ toán học lớn phủ đầy những bản thể của cái mũ”, Tiến sĩ Kaplan giải thích.

Đường link này có thể dẫn bạn tới một trang web giúp bạn tự ghép cho mình một einstein từ những cái mũ.

Tiến sĩ Kaplan làm rõ, rằng hình chiếc mũ không phải là một khái niệm mới trong hình học. Thực tế, đó là một hình đa giác được ghép từ các hình “kite” - hình “diều”, là một tứ giác với hai cặp cạnh liền kề bằng nhau, đối xứng qua một đường chéo.

“Có thể có những người khác đã từng nghĩ ra hình hài chiếc mũ, nhưng họ không chủ động tìm kiếm khả năng lát mặt phẳng của nó”, Tiến sĩ Kaplan nhấn mạnh. “Tôi thích sự tưởng tượng rằng hình này lẩn trốn chúng ta trong bức tranh tự nhiên”.

Nhận định của nhà toán học tại Đại học Moravian, Doris Schattschneider có thể làm sáng tỏ ý của Tiến sĩ Kaplan. “Điều làm tôi bất ngờ nhất là những hình ghép phi chu kỳ này chính xác vào lưới lục giác, một hình dạng đã quá quen thuộc”, nhà toán học Schattschneider nhận định.

Nhà toán học Marjorie Senechal cũng đồng ý. “Nó nằm ở giữa những hình lục giác”, bà nói. “Có bao nhiêu người trên thế giới sẽ cảm thấy tiếc nuối và tự hỏi, tại sao mình không nhận ra hình này nhỉ?”.

Bất ngờ tiếp nối bất ngờ, ông Smith tiếp tục phát hiện ra một hình einstein mới. Được gọi là “con rùa”, hình này được ghép từ không phải 8 mà 10 hình “kite”. Lập trình viên Myers đưa hình con rùa vào mô hình tính toán và khám phá ra một mối liên hệ sâu sắc giữa cái mũ và con rùa. Ông nhận định rằng có một “dòng dõi” các einstein xuất phát từ cái mũ - số lượng lớn đến không thể đếm được của các hình dáng ghép với nhau theo vô vàn cách khác nhau.

 Ông Smith không mấy hứng thú với gia phả khổng lồ xuất phát từ chiếc mũ mà ông tìm ra. “Chúng trông giống như hàng giả, hoặc một loại hình đột biến nào đó”, ông nói.

Dù vậy, dòng dõi einstein này đã giúp các nhà toán học có thêm một phương tiện khác để chứng minh tính phi chu kỳ. Các phép toán “trở nên quá hợp lý để không thành sự thật”, Tiến sĩ Myers nói. Ông không  mong đợi tìm ra một phương tiện mới để chứng minh tính phi chu kỳ, “nhưng mọi thứ dường như kết hợp lại khi tôi đi sâu vào chi tiết”.

Tính đến thời điểm này, Toán học chưa có nhiều phương tiện để chứng minh tính phi chu kỳ. Khi báo cáo khoa học mới được phê duyệt, những người yêu toán học sẽ có một công cụ mới để khám phá những hình dáng và con số liên quan.

Tuy nhiên, người tìm ra cái mũ, ông Smith, không quan tâm nhiều đến bài báo cáo. “Thực sự thì, tôi không đóng góp gì cả”, ông nói. Ông cũng vui vì báo cáo khoa học vẫn có hình minh họa: “Tôi thích xem hình hơn”.

Tham khảo The New York Times, Wired, Science News