Nguyên lý Bernoulli

Trong lĩnh vực động lực học, nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng đối với dòng chất lưu không dẫn nhiệt và không nhớt, việc tăng tốc độ của chất lưu đồng thời với sự giảm áp suất hoặc thế năng của nó. Nguyên lý này được đặt theo tên của Daniel Bernoulli, ông đã công bố trong quyển sách Hydrodynamica vào năm 1738.

Nguyên lý Bernoulli có thể áp dụng cho nhiều loại chất lưu, thể hiện qua các phương trình Bernoulli khác nhau. Phương trình Bernoulli đơn giản thỏa mãn cho cả dòng chảy không nén được (ví dụ dòng chất lỏng) và dòng chảy nén được (ví dụ khí) với vận tốc thấp hơn vận tốc âm thanh (số Mach thấp hơn 0.3). Các trường hợp phức tạp hơn có thể áp dụng cho dòng chảy nén được với vận tốc cao hơn số Mach (xem cách suy luận phương trình Bernoulli).

Nguyên lý Bernoulli là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng. Nó cho biết rằng trong một dòng chảy ổn định, tổng năng lượng dọc theo dòng là không đổi tại mọi điểm trên đường dòng đó. Điều này ngụ ý rằng khi vận tốc của chất lưu tăng lên, áp suất động cũng như năng lượng động sẽ tăng lên, và ngược lại áp suất tĩnh, thế năng và nội năng sẽ giảm tổng thể. Nếu chất lưu chảy từ một nguồn, tổng năng lượng dọc theo mọi đường dòng sẽ là không đổi do năng lượng trong một đơn vị thể tích (bao gồm áp suất và thế năng hấp dẫn ρ g h) là không đổi tại mọi nơi.

Nguyên lý Bernoulli cũng có thể suy ra trực tiếp từ định luật thứ hai của Newton. Nếu một khối nhỏ của chất lưu di chuyển ngang từ vùng có áp suất cao đến vùng có áp suất thấp, áp suất phía sau nó sẽ lớn hơn áp suất phía trước. Điều này dẫn đến lực tổng hợp trên mỗi đơn vị thể tích, thúc đẩy nó di chuyển theo dòng chảy.

Các hạt chất lỏng chỉ chịu áp suất và trọng lượng của chúng. Nếu một hạt chất lỏng di chuyển ngang và dọc theo dòng chảy, vận tốc tăng chỉ có thể bởi chất lỏng chuyển từ vùng áp suất cao hơn sang vùng áp suất thấp hơn; và nếu vận tốc giảm, chỉ có thể bởi chất lỏng di chuyển từ vùng áp suất thấp hơn sang vùng áp suất cao hơn. Kết quả là, vận tốc lớn nhất của chất lỏng xuất hiện khi áp suất nhỏ nhất, và vận tốc nhỏ nhất xuất hiện khi áp suất cao nhất.

Phương trình dòng không nén được

Trong hầu hết các chất lỏng và khi có vận tốc nhỏ hơn số Mach, mật độ của chất lỏng có thể coi là không đổi, bất kể áp suất có biến đổi. Do đó, chất lỏng có thể coi là không nén được và được gọi là dòng không nén được. Bernoulli đã thực hiện thí nghiệm của mình trên chất lỏng, vì vậy phương trình ban đầu của ông chỉ đúng cho dòng không nén được. Phương trình Bernoulli thông thường, đúng tại một điểm bất kỳ dọc theo dòng chảy, là:

$\frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\text{constant}$

(A)

với:

vận tốc của chất lỏng tại một điểm trên dòng chảy,

Đối với nguyên lý bảo toàn lực, phương trình Bernoulli có thể tổng quát như sau:

với

với Ψ là lực thế tại điểm trên dòng chảy. Ví dụ trong trường hợp của lực hấp dẫn Trái Đất Ψ = gz.

Hai điều kiện sau cần được đáp ứng để áp dụng nguyên lý Bernoulli:

Dòng chảy phải là không nén được – ngay cả khi áp suất thay đổi, mật độ vẫn phải không đổi dọc theo đường dòng;

Nhân với mật độ của chất lỏng ρ, phương trình (A) có thể viết lại như sau:

hay:

hoặc:

với

với:

Áp lực động q được xác định bởi công thức: q = (1/2)ρv²

Độ cao thủy lực h được tính bằng công thức: h = z + (p / (ρg)), là tổng của độ cao z và áp lực thủy tĩnh p

Áp lực tổng p₀ được tính bằng công thức: p₀ = p + q, là tổng của áp lực tĩnh p và áp lực động q

Có thể chuẩn hóa hằng số trong phương trình Bernoulli. Cách tiếp cận chung là viết nó theo cột nước toàn phần hay năng lượng tổng H:

Phương trình trên chỉ ra rằng áp lực động H của dòng chất lỏng tồn tại với vận tốc 0 và có thể âm ở các vận tốc cao hơn. Đa số các chất lỏng và khí không thể có áp suất âm tuyệt đối hoặc thậm chí bằng 0, vì vậy phương trình Bernoulli vẫn có hiệu lực trước khi chất lỏng đạt áp suất 0. Trong chất lỏng, áp suất quá thấp có thể gây ra hiện tượng xuất hiện bọt khí (cavitation). Phương trình này sử dụng mối liên hệ tuyến tính giữa bình phương vận tốc dòng chảy và áp lực. Đối với khí với vận tốc lớn hoặc sóng âm trong chất lỏng, sự thay đổi về mật độ có thể trở nên đáng kể, do đó giả sử mật độ là hằng số không còn áp dụng được nữa.

Phương trình trên cho thấy áp lực động H của dòng chất lỏng, với vận tốc 0 và có thể âm ở vận tốc lớn hơn. Đa số khí và chất lỏng không có áp lực âm tuyệt đối hay thậm chí là 0, vì vậy rõ ràng phương trình Bernoulli vẫn có giá trị trước khi chất lưu đạt tới áp lực 0. Trong chất lỏng, khi áp suất quá thấp, có thể xảy ra hiện tượng bong bóng khí (cavitation). Phương trình trên dựa trên mối liên hệ tuyến tính giữa bình phương vận tốc chảy và áp lực. Đối với khí có vận tốc chuyển động lớn hoặc sóng âm trong chất lỏng, sự thay đổi về mật độ khối lượng có thể đáng kể, do đó giả sử về mật độ hằng số không còn áp dụng được nữa.