Nguyên tử hydro

Một nguyên tử hydro là đơn vị cơ bản của nguyên tố hóa học hydro. Nguyên tử này có điện tích trung hòa, bao gồm một proton mang điện dương và một electron mang điện âm, được giữ lại gần hạt nhân nhờ lực Coulomb. Nguyên tử hydro chiếm khoảng 75% khối lượng baryon của vũ trụ.

Trên hành tinh chúng ta, nguyên tử hydro tự do rất hiếm. Thay vào đó, hydro thường kết hợp với các nguyên tử khác trong các hợp chất hoặc kết hợp với chính nó để tạo thành khí hydro, H₂.

Việc phát triển lý thuyết để hiểu rõ về nguyên tử hydro là rất quan trọng trong lịch sử của cơ học lượng tử.

Đồng vị

Đồng vị phổ biến nhất, hydro-1 hay còn gọi là proti hoặc hydro nhẹ, không có neutron mà chỉ bao gồm một proton và một electron. Proti là đồng vị ổn định, chiếm 99.9885% số nguyên tử hydro trong tự nhiên.

Deuteri, với hạt nhân chứa một neutron và một proton, là đồng vị ổn định chiếm 0.0115% số nguyên tử hydro tự nhiên. Nó được sử dụng trong công nghiệp, đặc biệt là trong các lò phản ứng hạt nhân và cộng hưởng từ hạt nhân.

Triti có hai neutron và một proton, là đồng vị không ổn định với chu kỳ bán rã khoảng 12,32 năm. Do tính chất phân rã của nó, triti không có mặt trong tự nhiên, chỉ tồn tại dưới dạng vết nhỏ.

Các đồng vị hydro nặng hơn chỉ được tạo ra nhân tạo qua các máy gia tốc hạt và lò phản ứng, và chúng có thời gian bán rã chỉ khoảng 10 giây.

Các công thức dưới đây áp dụng cho tất cả ba đồng vị của hydro, tuy nhiên, cần sử dụng các giá trị khác nhau của hằng số Rydberg (như đã chỉnh sửa trong các công thức bên dưới) cho từng loại đồng vị.

Ion hydro

Trong điều kiện bình thường (nhiệt độ và áp suất phòng), hydro luôn đi kèm với electron của nó vì ion hydro dễ bị phản ứng. Khi nói đến ion hydro như 'H' trong các axit như axit clohydric, nó không phải là nguyên tử hydro đơn lẻ bị ion hóa. Thực tế, axit truyền proton vào H₂O để tạo thành H₃O.

Ion hydro không có electron, hay còn gọi là proton tự do, phổ biến trong môi trường liên sao và trong gió mặt trời.

Phân tích giả định

Nguyên tử hydro đóng vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử và lý thuyết trường lượng tử, vì nó là một hệ vật lý đơn giản với hai thành phần, giúp phát triển nhiều phương pháp giải quyết và biểu thức dạng đóng.

Mô phỏng cổ điển không thành công

Thí nghiệm của Ernest Rutherford năm 1909 đã chỉ ra rằng cấu trúc của nguyên tử bao gồm một hạt nhân điện dương và một electron nhẹ quay xung quanh. Điều này ngay lập tức đặt ra vấn đề về sự ổn định của hệ thống, vì theo điện từ học cổ điển, một electron gia tốc sẽ phát ra năng lượng liên tục và có thể nhanh chóng rơi vào hạt nhân với thời gian rơi khoảng:

Thời gian rơi xấp xỉ: t_{fall} approx rac{a_{0}^{3}}{4r_{0}^{2}c} approx 1.6 cdot 10^{-11} ext{s}

a_{0} là bán kính Bohr và r_{0} là bán kính điện từ cổ điển. Nếu giả thuyết này đúng, tất cả các nguyên tử sẽ ngay lập tức sụp đổ, nhưng thực tế, chúng lại ổn định. Hơn nữa, sự rơi xoắn ốc sẽ phát ra một tần số điện từ khi quỹ đạo nhỏ hơn, trong khi các nguyên tử quan sát chỉ phát ra tần số bức xạ rời rạc. Giải pháp nằm ở việc phát triển cơ học lượng tử.

Mô hình Bohr-Sommerfeld

Năm 1913, Niels Bohr đã đo các mức năng lượng và tần số quang phổ của nguyên tử hydro sau khi đưa ra một số giả định đơn giản để sửa chữa mô hình cổ điển thất bại. Những giả định này bao gồm:

1. Electron chỉ tồn tại ở những quỹ đạo tròn cụ thể, gọi là trạng thái tĩnh tại, với các bán kính và mức năng lượng riêng biệt.
2. Electron không phát ra bức xạ khi ở trong những trạng thái này.
3. Electron có thể thay đổi năng lượng bằng cách nhảy từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác.

Bohr đề xuất rằng mô men động lượng của electron được lượng tử hóa và có các giá trị:

Mô men động lượng LLL được lượng tử hóa với công thức: L = nhbar với n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, ldotsn=1,2,3,…

với ℏhbarℏ là hằng số Planck chia cho 2π2pi2π. Bohr cũng cho rằng, lực hướng tâm giữ electron trong quỹ đạo của nó được cung cấp bởi lực Coulomb, và năng lượng đó được bảo toàn. Bohr đã tính được năng lượng của mỗi quỹ đạo trong nguyên tử hydro như sau:

Năng lượng của mỗi quỹ đạo trong nguyên tử hydro được tính bằng công thức: En=−mee42(4πϵ0)2ℏ2⋅1n2E_{n} = -rac{m_{e}e^{4}}{2(4pi epsilon_{0})^{2}hbar^{2}} cdot rac{1}{n^{2}}En​=−2(4πϵ0​)2ℏ2me​e4​⋅n21​

với mem_{e}me​ là khối lượng nghỉ của electron, eee là điện tích cơ bản, ϵ0epsilon_{0}ϵ0​ là hằng số điện từ trong chân không, và nnn là số lượng tử chính. Dự đoán của Bohr khớp với các thí nghiệm đo chuỗi quang phổ của hydro trước đó, củng cố lý thuyết lượng tử.

Khi n=1n = 1n=1, giá trị

mee42(4πϵ0)2ℏ2=mee48h2ϵ02=1Ry=13.60569253(30) eVrac{m_{e}e^{4}}{2(4pi epsilon_{0})^{2}hbar^{2}} = rac{m_{e}e^{4}}{8h^{2}epsilon_{0}^{2}} = 1 ext{Ry} = 13.60569253(30) ext{ eV}2(4πϵ0​)2ℏ2me​e4​=8h2ϵ02​me​e4​=1Ry=13.60569253(30) eV

được gọi là đơn vị năng lượng Rydberg, liên quan đến hằng số Rydberg R∞R_{infty}R∞​, với 1 Ry≡hcR∞1 ext{ Ry} equiv hcR_{infty}1 Ry≡hcR∞​.

Giá trị chính xác của hằng số Rydberg dựa trên giả định rằng hạt nhân là vô cùng lớn so với electron. Đối với hydro-1, deuteri, và triti, hằng số được điều chỉnh một chút bằng cách sử dụng khối lượng rút gọn của hệ thống thay vì chỉ khối lượng electron. Tuy nhiên, vì hạt nhân nặng hơn nhiều so với electron, các giá trị gần như không thay đổi. Hằng số Rydberg RMR_MRM​ của nguyên tử hydro (với một electron) được cho là

RM=R∞1+meMR_{M} = rac{R_{infty}}{1 + rac{m_e}{M}}RM​=1+Mme​​R∞​​

với MMM là khối lượng của hạt nhân nguyên tử. Đối với hydro-1, tỷ lệ meMrac{m_e}{M}Mme​​ xấp xỉ 1/1836 (tức là tỷ lệ khối lượng electron-proton). Đối với deuteri và triti, tỷ lệ này lần lượt là khoảng 1/3670 và 1/5497. Những con số này, khi cộng thêm 1 vào mẫu số, chỉ điều chỉnh rất nhỏ giá trị của RRR và do đó chỉ sửa chữa một chút cho tất cả mức năng lượng trong các đồng vị hydro tương ứng.

Mô hình của Bohr vẫn gặp phải một số vấn đề:

1. Phương pháp này không thể dự đoán chính xác các chi tiết quang phổ như cấu trúc tinh tế và cấu trúc siêu tinh tế.
2. Nó chỉ có khả năng dự đoán chính xác mức năng lượng cho các nguyên tử một electron, như nguyên tử hydro.
3. Những giá trị dự đoán chỉ chính xác với ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ là hằng số cấu trúc tinh tế.

Những thiếu sót này đã được khắc phục nhờ vào mô hình cải tiến từ Bohr của Arnold Sommerfeld. Ông đã bổ sung hai độ tự do, cho phép electron chuyển động trên quỹ đạo elip, với các yếu tố là độ lệch tâm và xích vĩ của nó so với trục đã chọn. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của hai số lượng tử mới, liên quan đến mô men động lượng quỹ đạo và hình chiếu của nó trên trục đã chọn. Điều chỉnh này giúp mô tả đúng sự đa dạng của các trạng thái, mặc dù còn thiếu yếu tố spin của electron. Khi áp dụng thuyết tương đối hẹp với quỹ đạo elip, Sommerfeld đã suy ra biểu thức chính xác cho cấu trúc tinh tế của quang phổ hydro, giống như trong lý thuyết Dirac phức tạp. Một số hiện tượng như hiệu ứng Zeeman bất thường vẫn chưa được giải thích đầy đủ. Những vấn đề này đã được giải quyết bằng cơ học lượng tử và phương trình Dirac. Mặc dù phương trình Schrödinger thường được coi là tốt hơn lý thuyết Bohr-Sommerfeld trong mô phỏng nguyên tử hydro, nhưng kết quả của cả hai vẫn rất giống nhau, với ngoại lệ là các vấn đề trong từ trường và điện từ trường không thể giải quyết bằng lý thuyết Bohr-Sommerfeld, và cả hai lý thuyết đều thiếu yếu tố spin electron. Lý thuyết Bohr-Sommerfeld hoàn toàn không thể giải thích các hệ thống nhiều electron như nguyên tử heli hoặc phân tử hydro, cho thấy sự không hoàn hảo trong mô tả hiện tượng lượng tử.

Phương trình Schrödinger

Phương trình Schrödinger mô tả sự tiến triển của hệ thống lượng tử theo thời gian và cung cấp các câu trả lời chính xác và đầy đủ cho nguyên tử hydro không tương đối.

Cơ học Hamilton của nguyên tử hydro bao gồm toán tử động năng và lực hút Coulomb giữa proton mang điện dương và electron mang điện âm. Sử dụng phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian, loại bỏ các tương tác spin cặp, và áp dụng khối lượng rút gọn $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$, phương trình được viết như sau:

Mở rộng toán tử Laplace vào hệ tọa độ cầu:

Đây là một giá trị riêng, phương trình vi phân phần riêng có thể giải bằng cách sử dụng các hàm đặc biệt. Nếu đặt Z=1 (cho proton), ta có hàm sóng chuẩn trong hệ tọa độ cầu như sau:

với:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{2r}{n{a}_0}$,

$a_0$ là bán kính Bohr,

$L_{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}-<!--\; -\; -->1}^{2\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+1}\left(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\right)$ là đa thức Laguerre tổng quát với bậc n − ℓ − 1, và

là hàm sóng cầu với số lượng tử ℓ và bậc m. Lưu ý rằng đa thức Laguerre tổng quát có thể được định nghĩa khác nhau bởi các tác giả khác nhau. Định nghĩa ở đây theo Messiah và Mathematica. Trong những định nghĩa khác, đa thức Laguerre có thể kèm theo yếu tố $(n+\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->})!$, hoặc đa thức Laguerre trong hàm sóng hydro lại là $L_{n+\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{2\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+1}\left(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\right)$.

Các số lượng tử có thể nhận các giá trị sau đây:

$n=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$

$\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$

$m=-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}.$

Ngoài ra, các hàm sóng được chuẩn hóa (tức là tích phân của bình phương mô đun của chúng bằng 1) và trực giao với nhau:

với $|n,\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->},m⟩<!--\; ⟩\; -->$ là trạng thái thể hiện bằng hàm sóng ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}m}$ trong ký hiệu Bra-ket, và $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$ là hàm delta Kronecker.

Các hàm sóng trong không gian mô men có thể chuyển đổi sang các hàm sóng trong không gian vị trí thông qua biến đổi Fourier.

Đối với các trạng thái bị ràng buộc, kết quả thu được là 

với $|n,\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->},m⟩<!--\; ⟩\; -->$ là đa thức Gegenbauer, và ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}m}$ thuộc về đơn vị $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$.

Giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro bao gồm việc tính toán tích phân, từ đó rút ra biểu thức đơn giản cho mức năng lượng của hydro và các tần số của các vạch quang phổ hydro. Điều này không chỉ khôi phục mô hình Bohr mà còn mở rộng nó. Phương pháp này cung cấp thêm hai số lượng tử và mô tả hình dạng của hàm sóng của electron ('orbital'), giải thích các đặc tính hướng của liên kết nguyên tử.

Phương trình Schrödinger cũng áp dụng cho các nguyên tử và phân tử phức tạp hơn. Khi có nhiều electron hoặc hạt nhân hơn, việc giải phương trình không còn đơn giản mà cần đến sự hỗ trợ của máy tính hoặc các giả định đơn giản hóa.

Vì phương trình Schrödinger chỉ áp dụng cho cơ học lượng tử không tương đối, giải pháp cho nguyên tử hydro không hoàn toàn chính xác. Phương trình Dirac trong lý thuyết lượng tử tương đối cung cấp sự cải thiện cho giải pháp này (xem thêm bên dưới).

Giải phương trình Schrödinger (phương trình sóng) cho nguyên tử hydro dựa vào tính chất lực tĩnh điện mà hạt nhân tạo ra, là đẳng hướng (tức là nó không thay đổi theo hướng và chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt nhân). Mặc dù các trạng thái dừng ('orbital') không nhất thiết phải đẳng hướng, nhưng sự phụ thuộc của chúng vào tọa độ cầu hoàn toàn phản ánh tính đẳng hướng của nguồn: các vector riêng của toán tử Hamilton (trạng thái năng lượng lượng tử) có thể được chọn là các vector riêng đồng thời của toán tử mô men động lượng. Điều này tương ứng với việc mô men động lượng được bảo tồn trong chuyển động orbital của electron quanh hạt nhân. Do đó, trạng thái năng lượng lượng tử được phân loại theo hai số lượng tử mô men động lượng, ℓ và m (cả hai đều là số nguyên). Số lượng tử mô men động lượng ℓ = 0, 1, 2,... xác định mức độ của mô men động lượng. Số lượng tử từ m = −ℓ,..., +ℓ xác định hình chiếu của mô men động lượng trên trục z.

Ngoài các biểu thức toán học liên quan đến mô men động lượng tổng hợp và mô men động lượng chiếu của hàm sóng, một biểu thức cho đặc tính hàm sóng phụ thuộc vào bán kính cũng cần được xác định. Đặc biệt, chỉ tại đây, các chi tiết của tiềm năng Coulomb 1/r xuất hiện, dẫn đến đa thức Laguerre trong r. Điều này sinh ra một số lượng tử thứ ba, số lượng tử chính n = 1, 2, 3,..., liên quan đến tổng năng lượng của nguyên tử hydro.

Cần lưu ý rằng giá trị cao nhất của mô men động lượng bị giới hạn bởi số lượng tử chính, chỉ có thể đạt đến n − 1, tức là ℓ = 0, 1,..., n − 1.

Do sự thay đổi mô men động lượng, các trạng thái có cùng ℓ nhưng khác m sẽ có cùng năng lượng, điều này ảnh hưởng đến tất cả các vấn đề liên quan đến đối xứng quay. Thêm vào đó, đối với nguyên tử hydro, các trạng thái cùng n nhưng khác ℓ cũng thoái hóa (tức là có cùng năng lượng). Tuy nhiên, đặc tính này chỉ đúng với hydro và không áp dụng cho các nguyên tử phức tạp hơn với tiềm năng khác từ dạng 1/r (do sự hiện diện của các hạt nhân tiềm năng).

Việc thêm spin của electron tạo ra một số lượng tử cuối cùng, là các giá trị của mô men động lượng electron dọc theo trục z, với hai giá trị có thể. Vì vậy, mỗi trạng thái lượng tử của electron trong nguyên tử hydro được mô tả bằng bốn số lượng tử. Theo quy tắc cơ học lượng tử, trạng thái thực tế của electron có thể là bất kỳ chồng chéo lượng tử nào của các trạng thái này. Điều này giải thích tại sao việc chọn trục z cho hướng lượng tử của mô men động lượng là không quan trọng: một orbital của ℓ và m' cho một trục z' khác luôn có thể được biểu thị như một chồng chéo lượng tử phù hợp các trạng thái của các m khác nhau (nhưng cùng l), đã được lấy cho trục z.

Vào năm 1928, Paul Dirac đã phát hiện một phương trình hoàn toàn tương thích với thuyết tương đối hẹp, và từ đó hàm sóng trở thành một 'spinor Dirac' với 4 phần, bao gồm phần spin 'lên' và 'xuống', tương ứng với spin dương và âm (hay vật chất và phản vật chất). Giải phương trình này cho kết quả chính xác hơn so với phương pháp giải của Schrödinger.

Mức năng lượng của nguyên tử hydro, bao gồm cả cấu trúc tinh tế (ngoại trừ hiệu ứng Lamb và cấu trúc siêu tinh tế), được xác định bởi các biểu thức liên quan đến hằng số cấu trúc tinh tế:

với α là hằng số cấu trúc tinh vi và j là số lượng tử 'tổng mô men động lượng', có giá trị |ℓ ± 1/2| tùy theo hướng của các spin electron. Công thức này biểu thị một sự điều chỉnh nhỏ đối với năng lượng được tính toán từ lý thuyết Bohr và Schrödinger. Các yếu tố trong ngoặc vuông cuối cùng gần như là một; thuật ngữ này xuất phát từ các hiệu ứng tương đối (tham khảo chi tiết #Tính chất vượt ra ngoài phép giải Schrödinger). Biểu thức này lần đầu tiên được phát hiện bởi A. Sommerfeld vào năm 1916, dựa trên phiên bản tương đối của lý thuyết Bohr cổ điển. Tuy nhiên, ông đã sử dụng các ký hiệu khác cho các số lượng tử.

Hình ảnh mô phỏng các orbital electron của nguyên tử hydro

Hình bên phải minh họa các orbital nguyên tử hydro đầu tiên (vector năng lượng riêng). Đây là mặt cắt của biên độ xác suất được tô màu (đen biểu thị mật độ thấp và trắng biểu thị mật độ cao nhất). Số lượng tử mô men động lượng (orbital) ℓ được thể hiện trong mỗi cột, với mã quang phổ thông thường (s biểu thị ℓ = 0, p biểu thị ℓ = 1, d biểu thị ℓ = 2). Số lượng tử chính n (= 1, 2, 3,...) nằm ở phía bên phải mỗi hàng. Trong tất cả các hình ảnh, số lượng tử m đã được đặt bằng 0, và mặt cắt ngang là mặt phẳng xz (z là trục đứng). Biên độ xác suất trong không gian ba chiều được tạo ra bằng cách xoay quanh trục z.

'Trạng thái cơ bản', hay còn gọi là trạng thái năng lượng thấp nhất, trong đó electron thường được tìm thấy là trạng thái đầu tiên, trạng thái 1s (mức lượng tử chính n = 1, ℓ = 0).

Đường thẳng màu đen xuất hiện trong mỗi orbital, đặc biệt là trong orbital đầu tiên: đây là các giao điểm của hàm sóng, nơi biên độ xác suất bằng không. Nói chính xác hơn, các giao điểm này là các hàm điều hòa cầu, xuất hiện khi giải phương trình Schrödinger trong hệ tọa độ cực.

Các số lượng tử xác định cách bố trí của các giao điểm. Chúng bao gồm:

• $n-<!--\; -\; -->1$ tổng số giao điểm,
• $l$ các giao điểm góc:
  • $m$ xung quanh trục $$ (trên mặt phẳng xy). (Hình trên không hiển thị các giao điểm này vì chúng cắt qua mặt phẳng xz.)
  • $l-<!--\; -\; -->m$ (các giao điểm góc còn lại) xảy ra trên trục $$ (trục đứng).
• $n-<!--\; -\; -->l-<!--\; -\; -->1$ (các giao điểm không phải góc còn lại) là các giao điểm xuyên.

Một số hiệu ứng quan trọng không được tính đến trong phương trình Schrödinger, dẫn đến sự khác biệt nhỏ giữa các vạch quang phổ thực tế và dự đoán lý thuyết:

• Dù tốc độ của electron trong nguyên tử hydro chỉ đạt khoảng 1/137 tốc độ ánh sáng, các thí nghiệm hiện đại với độ chính xác cao đòi hỏi một lý thuyết hoàn chỉnh để giải thích hiệu ứng tương đối. Xử lý tương đối cho thấy mô men của electron tăng thêm khoảng 1 phần trong 37,000. Vì bước sóng của electron phụ thuộc vào mô men của nó, những orbital chứa electron với tốc độ cao sẽ cho thấy sự co rút do bước sóng nhỏ hơn.
• Ngay cả khi không có từ trường bên ngoài, trong hệ quy chiếu của electron chuyển động, trường điện từ của hạt nhân cũng tạo ra một phần tử từ trường. Spin của electron liên quan đến mô men lưỡng cực từ, tương tác với từ trường này. Hiệu ứng này cũng được giải thích bởi thuyết tương đối hẹp, dẫn đến hiện tượng gọi là cặp spin-quỹ đạo, tức là sự tương tác giữa orbital chuyển động của electron quanh hạt nhân và spin của nó.

Cả hai đặc tính này (và nhiều hơn nữa) được tích hợp vào phương trình Dirac tương đối, làm dự đoán của lý thuyết gần hơn với thực nghiệm. Phương trình Dirac có thể được giải tích phân trong các trường hợp đặc biệt như nguyên tử hydro. Các trạng thái lượng tử giờ đây phải được phân loại theo số lượng tử mô men động lượng tổng j (do sự cặp giữa spin electron và toán tử mô men động lượng). Các trạng thái có cùng j và n vẫn thoái hóa. Do đó, giải tích phân trực tiếp phương trình Dirac dự đoán các mức năng lượng Hydro 2S(1/2) và 2(1/2) có cùng năng lượng, điều này không phù hợp với quan sát của thí nghiệm Lamb-Retherford.

• Luôn có dao động chân không của trường điện từ theo cơ học lượng tử. Sự thoái hóa của các dao động này giữa các trạng thái có cùng j nhưng khác l làm chúng có một chút năng lượng khác biệt. Hiện tượng này đã được chứng minh trong thí nghiệm Lamb-Rutherford nổi tiếng, đánh dấu sự bắt đầu của lý thuyết điện động lực học lượng tử (đối phó với dao động chân không và sử dụng sơ đồ Feynman để xấp xỉ bằng lý thuyết nhiễu loạn). Hiệu ứng này hiện nay được gọi là hiệu ứng Lamb.

Với những phát triển này, việc giải phương trình Dirac cho nguyên tử hydro đã đạt được độ chính xác cao. Do đó, bất kỳ sai lệch nào quan sát được đều phải được coi là một tín hiệu nghiêm túc về sự thất bại của lý thuyết.

Các lý thuyết khác về lý thuyết Schrödinger

Trong lý thuyết cơ học ma trận Heisenberg, Wolfgang Pauli đã giải quyết nguyên tử hydro đầu tiên bằng cách áp dụng một đối xứng quay trong không gian bốn chiều [đối xứng O(4)] do mô men động lượng và vector Laplace-Runge-Lenz tạo ra. Bằng cách mở rộng nhóm đối xứng O(4) thành nhóm động lực O(4,2), toàn bộ phổ và tất cả các pha chuyển được nhúng vào một đại diện nhóm không thể phân tách được.

Vào năm 1979, Richard Feynman đã giải quyết vấn đề nguyên tử hydro (trong khuôn khổ không tương đối) lần đầu tiên thông qua công thức tích phân của cơ học lượng tử. Thành tựu này đã mở rộng đáng kể khả năng áp dụng phương pháp của Feynman.

Sách

• David Jeffery Griffiths (2005). 'Introduction to Quantum Mechanics', Nhà xuất bản Pearson Prentice Hall, Chương 4.2 đặc biệt đề cập đến nguyên tử hydro, mặc dù toàn bộ chương 4 cũng liên quan. Có thể tìm thấy tại Google Books.
• Kleinert, H. (2009). 'Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics', bản thứ 4, Nhà xuất bản Khoa học Thế giới, Singapore. Có sẵn trực tuyến tại Wayback Machine, lưu trữ 2009-04-24.

Liên kết ngoài

• Thông tin về vật lý nguyên tử hydro tại Scienceworld (bằng tiếng Anh)
• Tiểu dụng cho phép xem các loại quỹ đạo hydro (bằng tiếng Anh)
• Cơ học lượng tử của nguyên tử hydro (bằng tiếng Anh) Lưu trữ tại Wayback Machine vào ngày 19-06-2010