Nhân ma trận

Trong toán học, nhân ma trận là một phép toán nhị phân nhằm tạo ra ma trận mới từ hai ma trận. Để thực hiện phép nhân này, số cột của ma trận đầu tiên cần phải bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ma trận kết quả, hay còn gọi là tích ma trận, sẽ có số hàng tương ứng với ma trận đầu tiên và số cột tương ứng với ma trận thứ hai.

Phép nhân ma trận được nhà toán học Pháp Jacques Philippe Marie Binet lần đầu tiên mô tả vào năm 1812, nhằm thể hiện hàm hợp của các bản đồ tuyến tính biểu thị qua ma trận. Do đó, phép nhân ma trận trở thành công cụ quan trọng trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng trong toán học, thống kê, vật lý, kinh tế và kỹ thuật. Việc tính toán các tích ma trận là hoạt động cơ bản trong tất cả các ứng dụng của đại số tuyến tính.

Biểu thị

Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu chuẩn sau: ma trận được biểu thị bằng chữ cái in hoa, chẳng hạn như A, vectơ được viết bằng chữ thường đậm, ví dụ như a, và các thành phần của ma trận và vectơ được viết nghiêng (do chúng là các số thuộc trường số), ví dụ: A và a. Ký hiệu chỉ mục thường được dùng để thể hiện các định nghĩa một cách rõ ràng và là tiêu chuẩn trong tài liệu. Ví dụ, phần tử A của ma trận được ký hiệu là (A)_ij, trong khi nhãn số trên một tập hợp ma trận được viết dưới dạng chữ nhỏ, ví dụ: A₁, A₂.

Khái niệm

Nếu A là ma trận có kích thước m × n và B là ma trận có kích thước n × p,

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& a_{2n}\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& a_{mn}\end{array}\right),B=(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& b_{1p}\\ {}_{}\end{array}$

b 21 b 22 ⋯ b 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n p ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}

Tích ma trận C = AB (không có dấu nhân hoặc dấu chấm giữa các ma trận) được xác định là ma trận có kích thước m × p, với phần tử c_ij bằng tổng của các tích phần tử tương ứng trong hàng thứ i của ma trận A với phần tử tương ứng trong cột thứ j của ma trận B.

trong đó

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{in}{b}_{nj}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj},$

với i = 1,..., m và j = 1,..., p.