Nhóm số học

Trong toán học, một nhóm (group) là một tập hợp các phần tử với một phép toán nhị phân, trong đó kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp tạo ra một phần tử thứ ba, và phải đáp ứng bốn điều kiện gọi là tiên đề nhóm: tính đóng, tính kết hợp, sự tồn tại của phần tử đơn vị và tính khả nghịch. Ví dụ điển hình là tập hợp các số nguyên với phép cộng; khi cộng hai số nguyên bất kỳ, kết quả luôn là một số nguyên khác. Hình thức trình bày nhóm dựa trên tiên đề nhóm, tách biệt khỏi bản chất cụ thể của bất kỳ nhóm nào, và phép toán trên nhóm, cho phép nhóm áp dụng cho nhiều thực thể toán học khác nhau trong đại số trừu tượng và rộng hơn, và có thể giải quyết một cách linh hoạt, giữ lại cấu trúc căn bản của các thực thể đó. Nhóm hiện diện rộng rãi trong nhiều lĩnh vực cả trong và ngoài toán học, làm cho nó trở thành nguyên lý tổ chức chính trong toán học hiện đại.

Nhóm có mối liên hệ cơ bản với khái niệm đối xứng. Ví dụ, nhóm đối xứng chứa các phép biến đổi không thay đổi hình dạng của một đối tượng hình học: nhóm bao gồm tập hợp các phép biến đổi và các phép toán kết hợp hai phép biến đổi này bằng cách thực hiện từng bước một. Nhóm Lie là những nhóm đối xứng dùng trong Mô hình Chuẩn của vật lý hạt; nhóm đối xứng tâm nghiên cứu các hiện tượng đối xứng trong hóa học phân tử; và nhóm Poincaré mô tả các tính chất đối xứng trong thuyết tương đối hẹp.

Khái niệm nhóm bắt nguồn từ nghiên cứu phương trình đa thức, được Évariste Galois phát triển vào thập niên 1830. Sau những đóng góp từ lý thuyết số và hình học, khái niệm nhóm đã được tổng quát hóa và trở thành một lĩnh vực nghiên cứu chính thức vào khoảng thập niên 1870. Lý thuyết nhóm hiện đại—một nhánh toán học năng động—nghiên cứu các nhóm bằng chính công cụ của chúng. Để khám phá nhóm, các nhà toán học nêu ra nhiều khái niệm khác nhau để chia nhóm thành những phần nhỏ hơn, dễ hiểu hơn như các nhóm con, nhóm thương và nhóm đơn. Bên cạnh các tính chất trừu tượng, các nhà lý thuyết nhóm cũng nghiên cứu các cách biểu diễn cụ thể của một nhóm (lý thuyết biểu diễn nhóm), từ góc độ lý thuyết đến tính toán thực hành (lý thuyết nhóm tính toán). Lý thuyết nhóm hữu hạn với phân loại nhóm đơn hữu hạn được công bố vào năm 1983. Từ giữa thập niên 1980, lý thuyết nhóm hình học, nghiên cứu các nhóm sinh hữu hạn như các đối tượng hình học, đã trở thành một lĩnh vực đặc biệt sôi nổi trong lý thuyết nhóm.

Định nghĩa và minh họa

Ví dụ đầu tiên: số nguyên

Một trong những nhóm cơ bản là tập hợp các số nguyên $Z$, bao gồm các số $...,-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->3,-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->1,0,1,2,3,4,...$ với phép cộng.

Các đặc điểm sau đây của phép cộng số nguyên được coi là ví dụ điển hình cho các tiên đề nhóm trừu tượng như định nghĩa dưới đây.

1. Đối với bất kỳ hai số nguyên $a$ và $b$, tổng a + b luôn là một số nguyên. Do đó, phép cộng số nguyên không bao giờ cho kết quả là một loại số khác, như phân số. Tính chất này được gọi là tiên đề đóng đối với phép cộng.
2. Với mọi số nguyên a, b, và c, (a + b) + c = a + (b + c). Nói cách khác, việc cộng a với b trước, rồi cộng kết quả với c, cho kết quả giống như cộng a với tổng của b và c. Tính chất này được gọi là tính kết hợp hoặc tiên đề kết hợp.
3. Đối với bất kỳ số nguyên a, 0 + a = a + 0 = a. Số 0 là phần tử đơn vị của phép cộng vì cộng 0 với một số nguyên bất kỳ vẫn thu được số nguyên đó.
4. Với mỗi số nguyên a, tồn tại một số nguyên b sao cho a + b = b + a = 0. Số nguyên b là phần tử nghịch đảo của số nguyên a và ký hiệu là −a.

Tập hợp các số nguyên kết hợp với phép cộng tạo thành một cấu trúc toán học thuộc về một nhóm lớn hơn với các thuộc tính toán học tương tự. Để hiểu rõ hơn về các cấu trúc này như một tập hợp, chúng ta sử dụng định nghĩa trừu tượng dưới đây.

Định nghĩa

Một nhóm là tập hợp G kết hợp với phép toán nhị phân • (hay còn gọi là luật nhóm của G) để kết hợp hai phần tử a và b thành một phần tử khác, ký hiệu là a • b hoặc ab. Để tập hợp và phép toán (G, •) trở thành một nhóm, chúng phải thỏa mãn bốn điều kiện gọi là tiên đề nhóm:

Tiên đề đóng

Với mọi a và b thuộc G, kết quả của phép toán a • b cũng phải thuộc G.

Tính kết hợp

Với mọi a, b và c thuộc G, (a • b) • c = a • (b • c).

Phần tử đơn vị

Tồn tại một phần tử e trong G, sao cho với mỗi phần tử a thuộc G, phương trình

e • a = a • e = a được thỏa mãn. Phần tử này là duy nhất (xem thêm chi tiết) trong nhóm G.

Phần tử nghịch đảo

Với mỗi a trong G, tồn tại một phần tử b trong G sao cho a • b = b • a = e, trong đó e là phần tử đơn vị.

Kết quả của phép toán có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Nghĩa là, việc kết hợp phần tử a với phần tử b không nhất thiết cho kết quả giống như khi kết hợp phần tử b với phần tử a; phương trình

a • b = b • a không phải lúc nào cũng đúng. Trong nhóm các số nguyên với phép cộng, phương trình a + b = b + a luôn đúng (tính giao hoán của phép cộng). Những nhóm mà tính chất giao hoán a • b = b • a luôn đúng được gọi là nhóm Abel, đặt theo tên nhà toán học Na Uy Niels Abel. Nhóm đối xứng, được mô tả sau đây, là một ví dụ của nhóm không giao hoán.

Phần tử đơn vị trong nhóm G thường được ký hiệu là 1 hoặc 1_G, tương tự như số 1 đơn vị. Nếu phép toán nhóm được ký hiệu là +, phần tử đơn vị có thể được ký hiệu là 0, và nhóm được gọi là nhóm cộng tính. Phần tử đơn vị cũng có thể được ký hiệu là id.

Tập hợp G được gọi là tập cơ sở của nhóm (G, •). Khi nhắc đến tập cơ sở G, người ta thường sử dụng cách gọi ngắn gọn cho nhóm (G, •). Do đó, khi nói 'tập con của nhóm G' hay 'phần tử của G', người ta thường ngụ ý rằng đây là 'tập con của tập cơ sở G của nhóm (G, •)' hoặc 'phần tử của tập cơ sở G của nhóm (G, •)'. Trong nhiều ngữ cảnh, ký hiệu G thường chỉ nhóm hoặc tập cơ sở.

Ví dụ tiếp theo: nhóm đối xứng

Hai hình trong mặt phẳng được gọi là đồng dạng nếu có thể biến hình này thành hình kia bằng cách sử dụng các phép quay, đối xứng trục, và dịch chuyển. Mỗi hình đều đồng dạng với chính nó. Tuy nhiên, một số hình có thể đồng dạng với chính mình theo nhiều cách khác nhau, và những cách đồng dạng này gọi là đối xứng. Một hình vuông có tám phép đối xứng, bao gồm:

• phép đồng nhất không làm thay đổi hình dạng, ký hiệu là id;
• quay hình vuông xung quanh trung tâm 90°, 180°, và 270°, ký hiệu là r₁, r₂ và r₃;
• đối xứng trục (phản xạ) qua các đường trung bình theo phương đứng và ngang (f_h và f_v), hoặc qua các đường chéo (f_d và f_c).

Các phép đối xứng này có thể được biểu diễn bằng các hàm số. Mỗi hàm này ánh xạ một điểm trong hình vuông tới điểm tương ứng qua phép đối xứng. Ví dụ, r₁ quay một điểm 90° quanh trung tâm hình vuông, còn f_h thực hiện đối xứng qua trục dọc. Kết hợp hai hàm đối xứng sẽ tạo ra một hàm đối xứng mới. Các hàm đối xứng này tạo thành một nhóm gọi là nhóm nhị diện bậc 4, ký hiệu D₄. Tập cơ sở của nhóm là các hàm đối xứng này và phép toán nhóm là phép hợp hàm. Kết quả của việc áp dụng phép đối xứng đầu tiên rồi đến phép đối xứng thứ hai được viết theo thứ tự từ phải sang trái.

b • a ('thực hiện đối xứng b sau khi đối xứng a'). Quy tắc từ phải sang trái tương tự như quy tắc hợp hàm số.

Bảng nhóm bên dưới thể hiện kết quả của tất cả các phép hợp hàm có thể. Chẳng hạn, việc quay hình vuông 270° về bên phải (r₃) rồi đối xứng qua trục ngang (f_h) sẽ cho kết quả giống như đối xứng qua trục dọc theo đường chéo thứ nhất (f_d). Ô trong bảng nhóm có màu xanh cho biết kết quả này.

f_h • r₃ = f_d.

Với tập hợp các phép đối xứng này và phép toán như đã mô tả, các tiên đề nhóm có thể được hiểu như sau:

Khác với nhóm số nguyên, nơi thứ tự phép toán không quan trọng đối với phép cộng, trong nhóm D₄ thứ tự thực hiện phép toán lại rất quan trọng: f_h • r₁ = f_c trong khi r₁ • f_h = f_d. Điều này cho thấy D₄ là nhóm phi giao hoán (không phải Abel), làm cho cấu trúc của nó phức tạp hơn so với nhóm số nguyên.

Lịch sử

Khái niệm về nhóm trừu tượng hiện đại đã phát triển qua nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Lý thuyết nhóm ban đầu được hình thành với mục tiêu giải phương trình đa thức bậc cao hơn 4. Nhà toán học Pháp thế kỷ 19, Évariste Galois, đã mở rộng nghiên cứu của Paolo Ruffini và Joseph-Louis Lagrange để đưa ra tiêu chuẩn giải quyết một số phương trình đa thức thông qua nhóm đối xứng của nghiệm. Các phần tử trong nhóm Galois tương ứng với các hoán vị của nghiệm. Ý tưởng của Galois đã gặp phải sự phản đối từ các đồng nghiệp của ông và chỉ được công nhận sau khi ông qua đời. Nghiên cứu về các nhóm hoán vị tổng quát hơn đã được tiếp tục, đặc biệt là bởi Augustin Louis Cauchy. Luận án của Arthur Cayley với tiêu đề On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ = 1 (1854) đã đưa ra định nghĩa trừu tượng đầu tiên về nhóm hữu hạn.

Lĩnh vực thứ hai ứng dụng lý thuyết nhóm một cách hệ thống là hình học, đặc biệt là qua các nhóm đối xứng trong chương trình Erlangen của Felix Klein năm 1872. Với sự xuất hiện của hình học hyperbolic và hình học xạ ảnh, Klein đã sử dụng lý thuyết nhóm để tổ chức các hình học này một cách hệ thống hơn. Các nghiên cứu về nhóm Lie do Sophus Lie thực hiện vào năm 1884 đã mở rộng ý tưởng này.

Lĩnh vực thứ ba góp phần vào lý thuyết nhóm là lý thuyết số. Các cấu trúc của một số nhóm Abel đã được ngầm sử dụng trong công trình lý thuyết số Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss (1798) và được phát triển rõ ràng hơn trong các công trình của Leopold Kronecker. Năm 1847, Ernst Kummer bắt đầu cố gắng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat bằng cách phát triển nhóm miêu tả phân tích (nhóm lớp) liên quan đến số nguyên tố.

Sự kết hợp của các lĩnh vực này đã dẫn đến sự hình thành lý thuyết nhóm thống nhất, bắt đầu với công trình của Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) đã đưa ra định nghĩa hiện đại đầu tiên về nhóm trừu tượng. Vào thế kỷ 20, lý thuyết nhóm đã thu hút sự quan tâm lớn với các công trình tiên phong về lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn của Ferdinand Georg Frobenius và William Burnside, lý thuyết biểu diễn modular của Richard Brauer, cũng như các bài báo của Issai Schur. Lý thuyết nhóm Lie, cùng với nhóm compact địa phương, được nghiên cứu bởi Hermann Weyl, Élie Cartan và nhiều nhà toán học khác. Mảng đại số liên quan, lý thuyết nhóm đại số, lần đầu tiên được Claude Chevalley nghiên cứu (cuối thập niên 1930) và tiếp tục bởi các công trình của Armand Borel và Jacques Tits.

Năm 1960-61, Đại học Chicago tổ chức một hội thảo về lý thuyết nhóm, thu hút các nhà lý thuyết nhóm nổi tiếng như Daniel Gorenstein, John G. Thompson và Walter Feit. Sự kiện này đã đặt nền tảng cho quá trình hợp tác trong việc phân loại nhóm đơn hữu hạn, hoàn tất vào năm 1982. Dự án này đã vượt qua các dự án trước đó về khối lượng công việc và số lượng nhà nghiên cứu. Nghiên cứu hiện vẫn tiếp tục để đơn giản hóa các chứng minh. Ngày nay, lý thuyết nhóm vẫn là một lĩnh vực toán học rất năng động, ảnh hưởng đến nhiều ngành khác.

Những hệ quả cơ bản của tiên đề nhóm

Những kết quả cơ bản từ các tiên đề nhóm thường được tổng hợp trong lý thuyết nhóm cơ bản. Chẳng hạn, việc lặp lại của tiên đề kết hợp cho thấy rằng

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

đúng với nhiều phần tử hơn ba. Điều này cho phép dấu ngoặc đơn được đặt ở bất kỳ vị trí nào trong dãy các phần tử, vì vậy dấu ngoặc đơn thường không cần thiết phải ghi rõ.

Có thể làm yếu đi tiên đề nhóm bằng cách giả định sự tồn tại của phần tử đơn vị bên trái và phần tử nghịch đảo bên trái. Ta có thể chứng minh rằng các phần tử này thực sự là phần tử đơn vị hai phía và phần tử nghịch đảo hai phía (trái và phải), từ đó định nghĩa này tương đương với định nghĩa đã nêu trước đó.

Tính duy nhất của phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo

Hai kết quả quan trọng từ các tiên đề nhóm là tính duy nhất của phần tử đơn vị và tính duy nhất của phần tử nghịch đảo. Trong một nhóm, chỉ tồn tại một phần tử đơn vị và mỗi phần tử đều có duy nhất một phần tử nghịch đảo.

Để chứng minh phần tử nghịch đảo của phần tử a là duy nhất, hãy giả định rằng a có hai phần tử nghịch đảo, ký hiệu là b và c trong nhóm (G, •). Khi đó

b	=	b • e		với e là phần tử đơn vị
	=	b • (a • c)		bởi vì c là phần tử nghịch đảo của a, nên e = a • c
	=	(b • a) • c		theo tiên đề kết hợp, nên có thể sắp xếp lại dấu ngoặc đơn
	=	e • c		do b là phần tử nghịch đảo của a, tức b • a = e
	=	c		do e là phần tử đơn vị

Hai phần tử b và c sẽ bằng nhau vì chúng liên hệ thông qua một chuỗi các đẳng thức. Nói cách khác, chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo cho a. Tương tự, để chứng minh rằng phần tử đơn vị của nhóm là duy nhất, giả sử G có hai phần tử đơn vị là e và f. Ta có e = e • f = f, vì vậy e và f phải là cùng một phần tử.

Phép chia

Trong một nhóm, phép chia có thể thực hiện được: với hai phần tử a và b của nhóm G, luôn tồn tại một nghiệm duy nhất x trong G sao cho x • a = b. Cụ thể, nhân vế phải của phương trình với phần tử nghịch đảo của a ta có nghiệm x = b • a^–1. Tương tự, cũng tồn tại một nghiệm duy nhất y thuộc G cho phương trình a • y = b, tức là y = a^–1 • b. Lưu ý rằng x và y không nhất thiết phải giống nhau.

Điều này dẫn đến kết quả rằng phép nhân với một phần tử g trong nhóm là một ánh xạ song ánh. Cụ thể, với một phần tử g thuộc G, ta có một ánh xạ song ánh từ G vào chính nó, gọi là tịnh tiến trái bởi g, tác động lên h ∈ G thành g • h. Tương tự, tịnh tiến phải bởi g là ánh xạ song ánh từ G vào chính nó, với tác động lên h thành h • g. Nếu G là nhóm Abel, thì ánh xạ tịnh tiến trái và tịnh tiến phải bởi một phần tử của nhóm sẽ giống nhau.

Khái niệm cơ bản

Để mở rộng hiểu biết về nhóm toán học ra ngoài các ký hiệu thao tác, các nhà toán học đã phát triển thêm nhiều khái niệm về cấu trúc nhóm. Một nguyên lý cơ bản dưới các ký hiệu này là để khai thác các đặc điểm cấu trúc của nhóm, các phép toán liên quan đến nhóm phải tương thích với phép toán nhóm. Sự tương thích này thể hiện qua nhiều khái niệm khác nhau. Ví dụ, các nhóm có thể liên hệ với nhau thông qua hàm gọi là đồng cấu nhóm. Theo nguyên lý này, các đồng cấu yêu cầu cấu trúc nhóm phải được mô tả chính xác. Cấu trúc của nhóm cũng có thể được phân tích bằng cách chia nó thành các phần nhỏ hơn, như nhóm con hoặc nhóm thương. Nguyên lý 'bảo toàn cấu trúc'—một chủ đề phổ biến trong toán học—được nghiên cứu trong ngành lý thuyết phạm trù, đặc biệt là phạm trù các nhóm.

Đồng cấu nhóm

Đồng cấu nhóm là các hàm bảo toàn cấu trúc của nhóm. Một hàm a: G → H giữa hai nhóm (G,•) và (H,∗) được gọi là đồng cấu nếu phương trình

a(g • k) = a(g) ∗ a(k)

được thỏa mãn với mọi phần tử g, k trong G. Nói cách khác, kết quả của phép toán nhóm không thay đổi khi thực hiện trước hay sau khi áp dụng hàm a. Điều này đảm bảo rằng a(1_G) = 1_H, và a(g) = a(g) cho mọi g thuộc G. Do đó, đồng cấu nhóm bảo toàn toàn bộ cấu trúc của G theo các tiên đề nhóm.

Hai nhóm G và H được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại hai phép đồng cấu nhóm a: G → H và b: H → G, sao cho khi thực hiện phép toán nhóm theo hai cách khác nhau, đều cho kết quả giống nhau. Cụ thể, nếu a(b(h)) = h và b(a(g)) = g với mọi g thuộc G và h thuộc H. Về mặt trừu tượng, các nhóm đẳng cấu mang thông tin tương đương nhau. Ví dụ, việc chứng minh g • g = 1_G cho phần tử g thuộc G tương đương với việc chứng minh a(g) ∗ a(g) = 1_H, vì hàm a và b bảo toàn cấu trúc nhóm khi áp dụng.

Nhóm con

Nhóm con H của một nhóm lớn hơn G là một nhóm mà H hoàn toàn nằm trong G. Điều kiện để H là nhóm con của G là phần tử đơn vị của G cũng phải nằm trong H, và với mọi h₁ và h₂ thuộc H, tích h₁ • h₂ cũng phải thuộc H. Khi các phép toán nhóm trên G được giới hạn trong H, chúng tạo thành một nhóm.

Trong ví dụ trước, các phần tử đơn vị và các phép quay tạo thành một nhóm con R = {id, r₁, r₂, r₃}, được tô màu đỏ trong bảng nhóm: bất kỳ sự kết hợp nào của hai phép quay đều dẫn đến một phép quay, và một phép quay có thể được rút lại bằng các phép quay bổ sung 270° cho 90°, 180° cho 180°, và 90° cho 270° (chú ý rằng không định nghĩa phép quay theo hướng ngược lại). Để kiểm tra nhóm con, điều kiện cần và đủ là tập con H của nhóm G trở thành nhóm con nếu với mọi phần tử g, h ∈ H nếu gh ∈ H thì H là một nhóm con. Việc xác định các nhóm con là rất quan trọng khi nghiên cứu một nhóm tổng thể.

Bất kỳ tập con S nào của nhóm G, nhóm con sinh ra từ S bao gồm tất cả các tích của phần tử trong S và các phần tử nghịch đảo của chúng. Đây là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S. Ví dụ, nhóm con tạo bởi r₂ và f_v bao gồm hai phần tử này, phần tử đơn vị id và f_h = f_v • r₂. Đây cũng là một nhóm con vì kết hợp bất kỳ hai phần tử trong bốn phần tử này hoặc các phần tử nghịch đảo của chúng (chẳng hạn như chính chúng) sẽ vẫn thuộc nhóm con này.

Các lớp kề (Coset)

Trong nhiều trường hợp, các nhà toán học muốn xem hai phần tử nhóm như nhau nếu chúng chỉ khác biệt bởi một phần tử của nhóm con. Ví dụ, trong nhóm D₄, khi thực hiện thao tác lật ngược, hình vuông sẽ không trở lại cấu hình r₂ chỉ bằng cách thực hiện các phép quay mà không cần lật, nghĩa là phép quay không quan tâm đến việc lật đã được thực hiện hay chưa. Do đó, các lớp kề (hay lớp ghép) được định nghĩa để phản ánh vấn đề này: nhóm con H xác định các lớp kề trái và lớp kề phải, có thể coi là sự tịnh tiến của H bởi một phần tử nhóm bất kỳ g. Theo ký hiệu, các lớp kề trái và phải của H chứa g lần lượt là

gH = {g • h:h ∈ H} và Hg = {h • g:h ∈ H}.

Các lớp kề của một nhóm con H tạo thành một phân hoạch của G; nghĩa là hợp của mọi lớp kề trái bằng G và hai lớp kề trái hoặc bằng nhau hoặc có giao là tập hợp rỗng. Trường hợp hai lớp kề trái g₁H và g₂H bằng nhau xảy ra nếu và chỉ nếu g₁ • g₂ ∈ H, tức là hai phần tử khác nhau chỉ bởi một phần tử thuộc H. Tương tự cho các lớp kề phải. Các lớp kề trái và lớp kề phải của H có thể bằng nhau hoặc không. Nếu chúng bằng nhau, chẳng hạn với mọi g thuộc G, gH = Hg, thì H được gọi là nhóm con chuẩn tắc.

Trong nhóm đối xứng D₄, các lớp kề trái gR của nhóm con R chứa các phép quay có thể bằng R nếu g là một phần tử của R, hoặc không thì bằng U = f_cR = {f_c, f_v, f_d, f_h} (được tô màu lam trong bảng nhóm). Nhóm con R cũng là chuẩn tắc, vì f_cR = U = Rf_c và điều này cũng đúng cho mọi phần tử khác ngoài f_c.

Nhóm thương

Trong một số trường hợp, tập hợp các lớp kề của một nhóm con có thể tạo thành một nhóm mới, gọi là nhóm thương hoặc nhóm nhân tử. Để điều này xảy ra, nhóm con cần phải chuẩn tắc. Đối với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc N, nhóm thương được định nghĩa như sau:

G / N = {gN: g ∈ G}, gọi là 'G chia cho N'.

Tập hợp này kế thừa phép toán nhóm (thỉnh thoảng được gọi là phép nhân lớp kề - coset multiplication, hoặc cộng lớp kề) từ nhóm gốc G: (gN) • (hN) = (gh)N với mọi g và h trong G. Định nghĩa này xuất phát từ ý tưởng (một ví dụ của sự xem xét cấu trúc tổng quát nêu trên) rằng ánh xạ G → G / N tương ứng mỗi phần tử g với lớp gN là đồng cấu nhóm, hoặc từ góc nhìn trừu tượng hơn gọi là tính chất phổ quát. Lớp eN = N trở thành đơn vị của nhóm này, và nghịch đảo của gN trong nhóm thương là (gN)^-1 = (g^-1)N.

Các phần tử của nhóm thương D₄ / R bao gồm R, với phần tử đơn vị là U = f_vR. Phép toán nhóm trên nhóm thương được mô tả bên phải. Ví dụ, U • U = f_vR • f_vR = (f_v • f_v)R = R. Cả nhóm con R = {id, r₁, r₂, r₃} và nhóm thương tương ứng là nhóm Abel, trong khi D₄ không phải là nhóm Abel. Việc xây dựng nhóm lớn hơn từ các nhóm nhỏ hơn, như D₄ từ nhóm con R và nhóm thương D₄ / R là một ví dụ về tích nửa trực tiếp.

Nhóm thương và nhóm con cùng kết hợp để mô tả mọi nhóm thông qua biểu diễn: bất kỳ nhóm nào đều có thể được xem là thương của một nhóm tự do trên tập sinh của nhóm đó. Ví dụ, nhóm đối xứng D₄ có thể được sinh ra từ hai phần tử r và f (trong đó r = r₁, là phép quay bên phải và f = f_v, là phép lật theo phương thẳng đứng). Điều này có nghĩa là mỗi đối xứng của hình vuông đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp hữu hạn của hai phép đối xứng này và nghịch đảo của chúng. Kết hợp với các liên hệ

r = f = (r • f) = 1,

cho phép mô tả đầy đủ nhóm này. Biểu diễn nhóm cũng được sử dụng để xây dựng đồ thị Cayley, công cụ minh họa các nhóm rời rạc.

Nhóm con và nhóm thương có mối liên hệ như sau: một tập con H của G có thể được coi như là một ánh xạ đơn H → G, nghĩa là mỗi phần tử của tập đích có ít nhất một phần tử tương ứng trong tập nguồn. Ngược lại với ánh xạ đơn là ánh xạ toàn (mỗi phần tử của tập đích có ít nhất một phần tử tương ứng trong tập nguồn), như ánh xạ chuẩn G → G / N. Giải thích nhóm con và nhóm thương qua ngôn ngữ của đồng cấu nhấn mạnh đến khái niệm cấu trúc kế thừa từ những định nghĩa này được nhắc đến trong phần giới thiệu. Nói chung, đồng cấu không phải là ánh xạ đơn hay toàn ánh. Sự liên quan giữa nhân và ảnh của đồng cấu nhóm cũng như định lý đẳng cấu đầu tiên sẽ đề cập đến các vấn đề này.

Ví dụ và ứng dụng

Có vô số ví dụ và ứng dụng của lý thuyết nhóm. Như đã đề cập trước đó, nhóm các số nguyên Z với phép toán nhóm là phép cộng. Thay thế phép cộng bằng phép nhân ta sẽ thu được nhóm phép nhân. Đây là những ví dụ cơ bản đầu tiên trong đại số trừu tượng.

Nhiều lĩnh vực toán học khác áp dụng lý thuyết nhóm. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra thông qua nhóm kết hợp và nghiên cứu đặc tính của nhóm đó. Ví dụ, Henri Poincaré đã sáng lập ngành tô pô đại số bằng cách giới thiệu nhóm cơ bản. Nhờ sự kết nối này, các tính chất tô pô như lân cận và liên tục trở thành các thuộc tính nhóm. Ví dụ, các phần tử của nhóm cơ bản được biểu diễn qua các vòng tròn. Ảnh bên phải chỉ ra một số vòng trên mặt phẳng với một điểm bị loại trừ. Vòng xanh được coi là không đồng luân (và do đó không quan trọng), vì nó có thể liên tục thu nhỏ thành một điểm. Sự tồn tại của một lỗ ngăn cản các vòng màu cam co lại thành một điểm. Nhóm cơ bản của mặt phẳng loại trừ một điểm trở thành tuần hoàn vô hạn, được sinh ra từ các vòng cam (hoặc bất kỳ vòng nào quay quanh lỗ). Theo cách này, nhóm cơ bản xác định sự hiện diện của lỗ.

Trong các ứng dụng hiện tại, lý thuyết nhóm cũng có ảnh hưởng ngược lại, thúc đẩy việc xây dựng hình học dựa trên nền tảng của lý thuyết nhóm. Lý thuyết nhóm hình học áp dụng các khái niệm hình học, chẳng hạn như nghiên cứu các nhóm hyperbolic. Những lĩnh vực mở rộng khác của lý thuyết nhóm bao gồm hình học đại số và lý thuyết số.

Ngoài những ứng dụng lý thuyết đã đề cập, lý thuyết nhóm còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học khác. Trong tinh thể học, lý thuyết nhóm trừu tượng kết hợp với các hiểu biết thuật toán từ lý thuyết nhóm tính toán, đặc biệt là khi áp dụng vào nhóm hữu hạn, đóng vai trò quan trọng. Các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, và khoa học máy tính cũng tận dụng lý thuyết này.

Các số

Nhiều hệ thống số, như số nguyên và số hữu tỉ, tự nhiên thể hiện cấu trúc nhóm. Đối với số hữu tỉ, cả phép cộng và phép nhân đều hình thành cấu trúc nhóm. Những hệ thống số này là nền tảng cho các cấu trúc đại số tổng quát hơn như vành và trường. Các khái niệm đại số trừu tượng hơn như mô đun, không gian vectơ, và đại số trên trường cũng tạo thành nhóm toán học.

Nhóm các số nguyên Z dưới phép cộng, ký hiệu (Z, +), đã được trình bày trước đây. Tuy nhiên, khi thay phép cộng bằng phép nhân, ký hiệu (Z, •) không tạo thành một nhóm. Điều này là vì chỉ có các tiên đề đóng, tính kết hợp và phần tử đơn vị được thỏa mãn, trong khi tiên đề phần tử nghịch đảo không được đáp ứng: ví dụ, a = 2 là một số nguyên, nhưng nghiệm duy nhất cho phương trình a • b = 1 là b = 1/2, số hữu tỉ không phải là số nguyên. Do đó, không phải tất cả các số nguyên Z đều có phần tử nghịch đảo theo phép nhân.

Nhu cầu về việc tồn tại phần tử nghịch đảo trong phép nhân dẫn đến việc xem xét nhóm các số hữu tỉ.

với a và b là các số nguyên và b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là Q. Tuy nhiên, có một vấn đề nhỏ với tập hợp số hữu tỉ (Q, •) trong phép nhân: số hữu tỉ 0 không có phần tử nghịch đảo (bởi vì không tồn tại x sao cho x • 0 = 1), vì vậy (Q, •) chưa phải là một nhóm.

Tuy nhiên, nếu loại bỏ số 0 khỏi tập hợp các số hữu tỉ, ta có tập hợp các số hữu tỉ khác 0 Q {0} = {q ∈ Q | q ≠ 0} tạo thành một nhóm Abel dưới phép nhân, ký hiệu là (Q {0}, •). Các tiên đề kết hợp và phần tử đơn vị được thỏa mãn giống như các số nguyên. Tiên đề đóng vẫn đúng khi loại bỏ số 0, vì tích của hai số hữu tỉ khác 0 không bao giờ bằng 0. Phần tử nghịch đảo của a/b là b/a, nên tiên đề nghịch đảo cũng được thỏa mãn.

Tập hợp số hữu tỉ (bao gồm cả số 0) tạo thành một nhóm dưới phép cộng. Khi kết hợp cả phép cộng và phép nhân, ta được một cấu trúc phức tạp hơn gọi là vành—và nếu phép chia cũng khả dụng, như trong Q—ta có được cấu trúc trường, trung tâm trong đại số trừu tượng. Vì vậy, các định lý trong lý thuyết nhóm liên quan đến các cấu trúc này.

Đồng dư

Trong phép đồng dư, ta cộng hai số nguyên với nhau và sau đó chia tổng cho một số nguyên, gọi là mô đun. Kết quả của phép cộng mô đun chính là phần dư của phép chia đó. Đối với mô đun n bất kỳ, tập hợp các số nguyên từ 0 đến n−1 tạo thành một nhóm dưới phép cộng mô đun: phần tử nghịch đảo của a là n−a, và 0 là phần tử đơn vị. Nhóm này tương tự như phép cộng các số giờ trên đồng hồ: nếu kim giờ chỉ vào số 9 và quay thêm 4 giờ, nó chỉ vào số 1 như hình minh họa. Tức là 9 + 4 bằng 1 'mô đun 12' hay viết thành công thức,

9 + 4 ≡ 1 mô đun 12.

Nhóm các số nguyên mô đun n được ký hiệu là Z_n hoặc Z/nZ.

Đối với bất kỳ số nguyên tố p, tồn tại một nhóm nhân các số nguyên mô đun p. Các phần tử của nhóm này là các số nguyên từ 1 đến p−1. Phép toán nhóm là phép nhân mô đun p, tức là lấy tích thông thường chia cho p và phần dư của phép chia này là kết quả. Ví dụ, với p = 5, nhóm bao gồm các phần tử 1, 2, 3, 4. Trong nhóm này, 4 • 4 = 1, vì 16 chia cho 5 dư 1. 16 − 1 = 15, ký hiệu là

16 ≡ 1 (mod 5).

Tính chất nguyên tố của p đảm bảo rằng tích của hai số nguyên trong nhóm không bao giờ chia hết cho p, chứng minh rằng tập hợp này đóng dưới phép nhân mô đun. Phần tử đơn vị của nhóm là 1, tương tự như đối nhóm phép toán nhân thông thường, và tính kết hợp được thỏa mãn nhờ tính chất của phép nhân số nguyên. Cuối cùng, tiên đề nghịch đảo yêu cầu rằng đối với một số nguyên a không phải là ước của p, tồn tại một số nguyên b sao cho

a • b ≡ 1 (mod p), tức là hiệu a • b − 1 chia hết cho p.

Phần tử nghịch đảo b có thể được xác định qua đẳng thức Bézout khi ước số chung lớn nhất gcd(a, p) bằng 1. Ví dụ với p = 5, phần tử nghịch đảo của 4 là 4, của 3 là 2, vì 3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Như vậy, mọi tiên đề nhóm được đáp ứng. Ví dụ này tương tự như nhóm (Q{0}, •) trước đó: nó bao gồm chính xác các phần tử trong Z/pZ có phần tử nghịch đảo trong phép nhân. Những nhóm này được gọi là F_p. Chúng là những thành phần quan trọng trong lý thuyết mật mã hóa khóa công khai.

Nhóm xiclic

Nhóm xiclic là một nhóm trong đó mọi phần tử đều có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một phần tử đặc biệt a. Trong ký hiệu phép nhân, các phần tử của nhóm được thể hiện như sau:

..., a, a, a, a = e, a, a, a,...,

Với a, ta có thể viết a • a cho a, và a có thể thay cho a • a • a=(a • a • a) v.v. Phần tử a được gọi là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm. Trong ký hiệu phép cộng, điều kiện để một phần tử trở thành phần tử nguyên thủy là mỗi phần tử trong nhóm phải có thể được biểu diễn dưới dạng

..., −a−a, −a, 0, a, a+a,...

Trong nhóm Z/nZ đã nêu, phần tử 1 là nguyên thủy, do đó nhóm này là xiclic. Mỗi phần tử trong nhóm có thể được biểu diễn dưới dạng tổng với tất cả các số hạng là 1. Mọi nhóm xiclic có n phần tử đều đẳng cấu với nhóm này. Một ví dụ khác của nhóm xiclic là nhóm các căn phức bậc n của đơn vị, được xác định bởi số phức z thỏa mãn z = 1. Các số này được minh họa bởi các đỉnh của một đa giác đều có n đỉnh tô màu lam trong hình bên với n = 6. Phép toán nhóm là phép nhân các số phức. Trong hình, nhân với z tương đương với quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 60°. Trong lý thuyết trường, ta có thể chứng minh rằng nhóm F_p là xiclic: ví dụ, với p = 5, 3 là phần tử sinh vì 3 = 3, 3 = 9 ≡ 4, 3 ≡ 2, và 3 ≡ 1.

Một số nhóm xiclic có số lượng phần tử vô hạn. Trong những nhóm này, đối với mỗi phần tử khác 0 a, mọi lũy thừa của a đều khác nhau; mặc dù tên gọi 'nhóm xiclic' (nhóm tuần hoàn), lũy thừa của các phần tử không lặp lại theo chu kỳ. Nhóm xiclic vô hạn đẳng cấu với nhóm (Z, +), nhóm các số nguyên với phép cộng như đã trình bày trước đó. Vì hai nhóm đã đề cập đều là các nhóm giao hoán (nhóm Abel), do đó các nhóm xiclic cũng là nhóm Abel.

Việc nghiên cứu các nhóm Abel sinh hữu hạn rất kỹ lưỡng, bao gồm 'định lý cơ bản về nhóm Abel sinh hữu hạn; và phản ánh trạng thái này với nhiều khái niệm nhóm liên quan như trung tâm và giao hoán tử, mô tả sự mở rộng cho các nhóm phi Abel.

Nhóm đối xứng

Nhóm đối xứng bao gồm các nhóm thể hiện tính đối xứng của các đối tượng toán học—dù là về mặt hình học như nhóm đối xứng của hình vuông đã đề cập trước đó, hay về mặt đại số như trong các phương trình đa thức và nghiệm của chúng. Lý thuyết nhóm có thể được xem như là lĩnh vực nghiên cứu tính đối xứng. Đối xứng trong toán học giúp đơn giản hóa việc phân tích các đối tượng hình học và giải tích. Một nhóm tác động lên một đối tượng toán học X nếu mỗi phần tử của nhóm thực hiện các phép toán trên X sao cho phù hợp với luật của nhóm. Ví dụ, trong bảng bên phải, một phần tử bậc 7 của nhóm tam giác (2,3,7) tác động lên phép lát gạch bằng cách hoán vị các tam giác cong màu nổi bật (cũng như các tam giác khác). Qua tác động nhóm, thành phần của nhóm được liên kết với cấu trúc của đối tượng mà nó tác động lên.

Trong hóa học, đặc biệt là tinh thể học, nhóm không gian và nhóm điểm mô tả tính đối xứng của phân tử và tinh thể. Những đối xứng này ảnh hưởng đến hành vi vật lý và hóa học của các tinh thể, và lý thuyết nhóm giúp đơn giản hóa phân tích cơ học lượng tử của các tính chất này. Ví dụ, lý thuyết nhóm chứng minh rằng sự chuyển dịch quang học giữa các mức năng lượng lượng tử nhất định không thể xảy ra đơn giản do sự đối xứng của các trạng thái năng lượng.

Không chỉ các nhóm hữu ích trong việc đánh giá đối xứng của phân tử, mà chúng cũng dự đoán rằng thỉnh thoảng các phân tử có thể thay đổi tính đối xứng. Hiệu ứng Jahn-Teller là sự biến dạng cấu trúc phân tử khỏi đối xứng cao khi nó chuyển sang trạng thái nền có đối xứng thấp hơn, với các trạng thái nền khả dĩ liên hệ với nhau bởi phép toán đối xứng của phân tử.

Tương tự, lý thuyết nhóm giúp dự đoán sự thay đổi của tính chất vật lý khi vật liệu trải qua các giai đoạn chuyển pha, chẳng hạn như từ tinh thể lập phương chuyển sang tinh thể tứ diện. Một ví dụ điển hình là trong vật liệu sắt điện, nơi sự chuyển từ trạng thái lưỡng cực điện sang trạng thái sắt điện xảy ra ở nhiệt độ Curie. Sự thay đổi này liên quan đến sự chuyển từ trạng thái lưỡng cực điện có đối xứng cao xuống trạng thái sắt điện có đối xứng thấp hơn, kèm theo đó là sự xuất hiện của mode phonon mềm, một kiểu dao động trở về tần số 0 trong quá trình chuyển pha.

Các hiệu ứng phá vỡ đối xứng tự phát đã được áp dụng trong vật lý hạt cơ bản, nơi chúng liên quan đến sự xuất hiện của các boson Goldstone.

Những nhóm đối xứng hữu hạn như nhóm Mathieu được ứng dụng trong lý thuyết mã hóa, từ đó ảnh hưởng đến lý thuyết hiệu chỉnh sai số trong truyền dữ liệu và cả trong các đầu đọc đĩa CD. Một ứng dụng khác là lý thuyết Galois vi phân, nơi hàm đặc trưng hóa có nguyên hàm của dạng cho trước, cung cấp tiêu chuẩn giới hạn cho lý thuyết nhóm khi nghiệm của các phương trình vi phân xác định. Các tính chất hình học vẫn duy trì sự ổn định dưới tác động của nhóm được nghiên cứu trong lý thuyết bất biến hình học.

Nhóm tuyến tính tổng quát và lý thuyết biểu diễn

Nhóm ma trận bao gồm các ma trận cùng với phép nhân ma trận. Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) bao gồm tất cả các ma trận khả nghịch kích thước n x n với các phần tử thực. Các nhóm con của nó được gọi là nhóm ma trận hoặc nhóm tuyến tính. Ví dụ về nhóm nhị diện nêu trên có thể được coi là nhóm ma trận với bậc rất nhỏ. Một nhóm ma trận quan trọng khác là nhóm trực giao đặc biệt SO(n), đại diện cho tất cả các phép quay có thể xảy ra trong không gian n chiều. Ma trận quay, thông qua góc Euler, được áp dụng trong lĩnh vực đồ họa vi tính.

Lý thuyết biểu diễn là một mặt ứng dụng của khái niệm nhóm, nhưng đồng thời cũng rất quan trọng để hiểu sâu về nhóm. Nó khám phá nhóm thông qua sự tác động của nó lên các không gian khác. Một loại biểu diễn nhóm rộng lớn là biểu diễn tuyến tính, ví dụ nhóm tác động lên một không gian vectơ như không gian Euclid 3 chiều R. Biểu diễn của G trên không gian vectơ thực n chiều là phép đồng cấu nhóm đơn

ρ: G → GL(n, R)

từ nhóm vào nhóm tuyến tính tổng quát. Bằng cách này, phép toán nhóm, vốn có thể được hiểu trừu tượng, được diễn dịch qua phép nhân ma trận và trở nên hữu ích cho các tính toán cụ thể.

Một phép toán nhóm cung cấp thêm ý nghĩa khi nghiên cứu đối tượng mà nó tác động lên. Đồng thời, nó cũng cung cấp thông tin về cấu trúc của nhóm. Biểu diễn nhóm là một nguyên lý tổ chức trong lý thuyết nhóm hữu hạn, nhóm Lie, nhóm đại số và nhóm tô pô, đặc biệt là nhóm compact (cục bộ).

Nhóm Galois

Nhóm Galois xuất hiện khi nghiên cứu nghiệm của các phương trình đa thức dựa trên các thuộc tính đối xứng của chúng. Ví dụ, nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 được xác định bởi công thức

Khi hoán đổi dấu '+' và '−' trong công thức, hay tương đương là hoán đổi hai nghiệm của phương trình, có thể coi đó là một phép toán nhóm (dưới dạng rất đơn giản). Mặc dù có các công thức tương tự cho phương trình bậc ba và bậc bốn, nhưng không tồn tại công thức tổng quát cho phương trình bậc năm và các bậc cao hơn. Tính trừu tượng của nhóm Galois liên quan đến đa thức (đặc biệt là tính giải được) cung cấp một tiêu chuẩn cho các đa thức mà mọi nghiệm của chúng có thể biểu diễn bằng công thức bao gồm phép cộng, nhân và căn thức như công thức trên.

Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách chuyển sang lý thuyết trường và nghiên cứu trường tách của đa thức. Lý thuyết Galois hiện đại mở rộng các nhóm Galois này thành các mở rộng trường và thông qua định lý cơ bản của lý thuyết Galois, thiết lập mối liên hệ chính xác giữa nhóm và trường, một lần nữa nhấn mạnh tầm quan trọng của nhóm trong toán học.

Nhóm hữu hạn

Một nhóm được gọi là hữu hạn nếu nó chỉ có một số lượng hữu hạn các phần tử. Số lượng phần tử của nhóm được gọi là bậc của nhóm. Một lớp quan trọng là nhóm đối xứng S_N, tức là nhóm các phép hoán vị của N ký tự. Ví dụ, nhóm đối xứng trên 3 ký tự S₃ bao gồm tất cả các cách sắp xếp khả dĩ của ba ký tự ABC, từ ABC, ACB, đến CBA, tổng cộng có 6 phần tử (hoặc 3 giai thừa). Lớp này là cơ bản vì bất kỳ nhóm hữu hạn nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng nhóm con của nhóm đối xứng S_N cho các số nguyên N phù hợp (định lý Cayley). Bên cạnh nhóm đối xứng của hình vuông được đề cập trước đó, nhóm đối xứng S₃ cũng có thể được hiểu như nhóm đối xứng của tam giác đều.

Bậc của một phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho a = e, với a đại diện cho

$\underset{n\text{ nhân tử}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a\cdots <!--\; \cdots \; -->a}},$

có nghĩa là áp dụng phép toán nhóm • cho n bản sao của phần tử a. (nếu • biểu diễn phép nhân, thì a tương ứng với a lũy thừa n.) Trong nhóm hữu hạn, n có thể không tồn tại, và trong trường hợp đó, bậc của a được coi là vô hạn. Bậc của một phần tử cũng chính là bậc của nhóm con xiclic được sinh ra bởi phần tử đó.

Khi đếm các đối tượng phức tạp hơn, chẳng hạn như các lớp (cosets), ta có thể áp dụng một định lý chính xác hơn về nhóm hữu hạn: định lý Lagrange khẳng định rằng trong một nhóm hữu hạn G, bậc của bất kỳ nhóm con H nào cũng là ước của bậc của G. Định lý Sylow cung cấp một tuyên bố gần như ngược lại.

Nhóm nhị diện (như đã nêu trên) là một nhóm hữu hạn với bậc 8. Bậc của r₁ là 4, tức là bậc của nhóm con R mà nó sinh ra (như đã đề cập). Bậc của các phần tử phản xạ f_v v.v. là 2. Cả hai giá trị đều là ước của 8, đúng như dự đoán của định lý Lagrange. Nhóm F_p có bậc p − 1.

Phân loại các nhóm đơn hữu hạn

Các nhà toán học thường nỗ lực để có được một danh sách đầy đủ các khái niệm toán học. Trong trường hợp của các nhóm đơn hữu hạn, mục tiêu này thường dẫn đến sự phức tạp và sâu sắc trong toán học. Theo định lý Lagrange, nhóm hữu hạn bậc p, với p là số nguyên tố, cần phải là nhóm xilic (Abel) Z_p. Mặc dù có thể chứng minh nhóm bậc p là nhóm Abel, điều này không còn đúng khi mở rộng cho nhóm bậc p, vì nhóm phi Abel D₄ có bậc 8 = 2 như đã nêu. Các hệ thống máy tính đại số được sử dụng để liệt kê các nhóm nhỏ, nhưng không có phương pháp phân loại tất cả các nhóm hữu hạn. Một bước quan trọng là phân loại các nhóm đơn hữu hạn. Một nhóm không tầm thường được gọi là đơn giản chỉ khi các nhóm con chuẩn tắc của nó là nhóm tầm thường và chính nhóm đó cũng vậy. Định lý Jordan–Hölder chỉ ra rằng các nhóm đơn hữu hạn là những thành phần cơ bản của mọi nhóm hữu hạn. Công việc liệt kê toàn bộ các nhóm đơn hữu hạn là một thành tựu quan trọng trong lý thuyết nhóm hiện nay. Richard Borcherds được trao Huy chương Fields năm 1998 vì đã chứng minh thành công phỏng đoán quái vật giả tưởng (monstrous moonshine conjectures), một mối liên hệ sâu sắc và kỳ lạ giữa nhóm đơn giản bất định lớn nhất (the largest finite simple sporadic group)—'nhóm quỷ'—với các hàm môđula nhất định, một phần trong giải tích phức cổ điển, và lý thuyết dây, lý thuyết cố gắng thống nhất nhiều hiện tượng vật lý trong tự nhiên.

Nhóm được mở rộng với cấu trúc bổ sung

Nhiều nhóm không chỉ là nhóm mà còn là ví dụ về các cấu trúc toán học khác. Trong lý thuyết phạm trù, chúng được coi là các đối tượng nhóm trong một phạm trù, tức là chúng không chỉ là các đối tượng (ví dụ cho các cấu trúc toán học khác) mà còn đi kèm với các phép biến đổi (gọi là cấu xạ - morphism) mô phỏng các tiên đề của nhóm. Ví dụ, mọi nhóm (như đã định nghĩa ở trên) đều là tập hợp, vì vậy một nhóm là một đối tượng nhóm trong phạm trù các tập hợp.

Nhóm tô pô

Một số không gian tô pô có thể được trang bị luật nhóm. Để kết hợp luật nhóm với không gian tô pô, phép toán nhóm phải là hàm liên tục, tức là, g • h, và g phải không thay đổi quá lớn nếu g và h chỉ thay đổi một cách rất nhỏ. Những nhóm này được gọi là nhóm tô pô, và chúng là các đối tượng nhóm trong phạm trù các không gian tô pô. Ví dụ cơ bản nhất là nhóm các số thực R với phép cộng, (R \ {0}, •), và tương tự với bất kỳ trường tô pô nào như số phức hoặc số p-adic. Tất cả các nhóm này đều compact địa phương, do đó chúng có độ đo Haar và có thể được nghiên cứu thông qua giải tích điều hòa. Giải tích điều hòa cung cấp một hình thức luận trừu tượng cho các phép tích phân bất biến. Tính bất biến có nghĩa là, ví dụ trong trường hợp số thực:

$\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx=\int <!--\; \int \; -->f(x+c)dx$

với c là một hằng số tùy ý. Các nhóm ma trận trên các trường này nằm trong phạm vi đó, giống như các vành Adele và nhóm đại số Adele, chúng là nền tảng của lý thuyết số. Nhóm Galois của các mở rộng trường vô hạn, chẳng hạn như nhóm Galois tuyệt đối, cũng có thể được trang bị một tô pô, gọi là tô pô Krull, mà là một tổng quát của mối liên hệ giữa trường và nhóm của các mở rộng trường vô hạn. Một sự tổng quát hơn nữa của ý tưởng này, nhằm đáp ứng các yêu cầu của hình học đại số, là nhóm cơ bản Étale.

Nhóm Lie

Nhóm Lie (đặt theo tên của nhà toán học Thụy Điển Sophus Lie) là nhóm có cấu trúc đa tạp, tức là chúng là những không gian nhìn giống như không gian Euclid trên các phần nhỏ. Hơn nữa, cấu trúc thêm vào, ở đây là cấu trúc đa tạp, phải tương thích, nghĩa là các ánh xạ tương ứng với phép nhân và phép nghịch đảo phải đảm bảo tính trơn tru.

Một ví dụ điển hình là nhóm tuyến tính tổng quát đã được giới thiệu trước đó: nó là một tập con mở của không gian chứa tất cả các ma trận n x n, bởi vì nó thỏa mãn bất đẳng thức

det (A) ≠ 0,

với A đại diện cho ma trận có kích thước n x n.

Nhóm Lie đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại, khi định lý Noether kết nối các đối xứng liên tục với các đại lượng bảo toàn. Các phép quay và tịnh tiến trong không gian và thời gian là những đối xứng cơ bản cho các định luật cơ học. Chúng có thể được sử dụng để xây dựng các mô hình đơn giản—chẳng hạn như trong các nghiệm Schwarzschild (đối xứng cầu) và nghiệm Kerr (đối xứng trục, bảo toàn động lượng) của phương trình trường Einstein trong thuyết tương đối rộng. Ví dụ khác là phép biến đổi Lorentz, liên hệ phép đo thời gian với vận tốc của hai quan sát viên chuyển động đều tương đối với nhau. Các phép biến đổi này có thể được thể hiện như đối xứng quay trong không gian Minkowski, mô hình của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp. Nhóm đối xứng đầy đủ của không gian Minkowski, bao gồm cả phép tịnh tiến, được gọi là nhóm Poincaré, đóng vai trò quan trọng trong thuyết tương đối hẹp và lý thuyết trường lượng tử. Các đối xứng thay đổi theo vị trí là khái niệm trung tâm trong mô hình hiện đại về các tương tác vật lý qua lý thuyết trường chuẩn (gauge theory).

Tổng quát hóa

Trong đại số trừu tượng, các cấu trúc tổng quát hơn được xây dựng bằng cách nới lỏng một số tiên đề của nhóm.

Ví dụ, nếu bỏ yêu cầu về sự tồn tại của phần tử nghịch đảo, cấu trúc đại số thu được gọi là monoid. Tập hợp các số tự nhiên N (bao gồm 0) với phép cộng là một monoid, tương tự như các số nguyên khác 0 với phép nhân, $Z^{\ast <!--\; \ast \; -->}$, như đã nêu trước. Có một phương pháp tổng quát để thêm các phần tử nghịch đảo vào bất kỳ monoid nào (có tính chất giao hoán), tương tự như cách $Z$ được thu được từ $N$, và phương pháp này được gọi là nhóm Grothendieck.

Groupoid tương tự như nhóm nhưng với sự khác biệt là phép kết hợp a • b không cần phải được xác định cho mọi a và b. Chúng thường xuất hiện trong nghiên cứu các dạng phức tạp hơn của đối xứng, đặc biệt trong các cấu trúc tô pô và giải tích toán học, chẳng hạn như groupoid cơ bản hoặc chùm (stack).

Cuối cùng, có thể mở rộng khái niệm này bằng cách thay thế phép toán nhị phân bằng một phép toán nhiều tham số (n-ary) với n tham số. Khi kết hợp với sự tổng quát hóa của các tiên đề nhóm, ta sẽ có nhóm ''n''-ary (xem thêm đại số phổ dụng).

Bảng dưới đây liệt kê một số cấu trúc tổng quát của nhóm.

• Nhóm Abel
• Nhóm cơ bản
• Nhóm lũy linh
• Nhóm giải được

Chú thích

Trích dẫn

• Lê Thị Thanh Nhàn, Vũ Mạnh Xuân, 2007, Giáo trình Lý thuyết nhóm, NXB ĐHQGHN

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0130047632, Chương 2 cung cấp cái nhìn tổng quan về các khái niệm cơ bản về đại số dành cho sinh viên để hiểu những vấn đề trong bài viết này.
• Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9, Chương 5 giải thích một cách dễ hiểu về lý thuyết nhóm cho độc giả phổ thông.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6.
• Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593, cuốn sách này cung cấp cái nhìn tổng quan về lý thuyết nhóm.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (ấn bản 3), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (ấn bản 2), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 (ấn bản sửa đổi lần thứ ba), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (ấn bản 3), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/0-387-27475-8, ISBN 978-0-387-22025-3, Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 7 năm 2014.
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593.
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613.
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.
• Group tại PlanetMath, với giấy phép GFDL
• Weisstein, Eric W., 'Group' từ MathWorld.
• Group (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Kargapolov M.I. & Merzlyakov Yu.I. (2001), “Group”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• Artin, Emil (1998), Lý thuyết Galois, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9.
• Aschbacher, Michael (2004), “Tình trạng phân loại các nhóm đơn hữu hạn” (PDF), Thông báo của Hội Toán học Hoa Kỳ, 51 (7): 736–740.
• Becchi, C. (1997), Giới thiệu về các lý thuyết Gauge, tr. 5211, arXiv:hep-ph/9705211, Bibcode:1997hep.ph....5211B.
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), “Các nhóm có bậc không quá 2000”, Thông báo điện tử của Hội Toán học Hoa Kỳ, 7: 1–4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7, MR 1826989.
• Bishop, David H. L. (1993), Lý thuyết nhóm và hóa học, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Borel, Armand (1991), Nhóm đại số tuyến tính, Graduate Texts in Mathematics, 126 (ấn bản 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012.
• Carter, Roger W. (1989), Nhóm đơn loại Lie, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6.
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William trang (2001), “Về các nhóm không gian ba chiều”, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, arXiv:math.MG/9911185, MR 1865535.
• (tiếng Pháp) Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Hình học và lý thuyết nhóm, Lecture Notes in Mathematics, 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994.
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Đại số phổ quát và các ứng dụng trong khoa học máy tính lý thuyết, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1.
• Dudek, W.A. (2001), “Về một số vấn đề cũ trong các nhóm n-ary” (PDF), Quasigroups and Related Systems, 8: 15–36.

Tài liệu lịch sử

• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5
• Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (1996), The development of group theory
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5
• von Dyck, Walther (1882), “Gruppentheoretische Studien”, Mathematische Annalen, 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, Lưu trữ ngày 22/02/2014
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules (biên tập), Manuscrits de Évariste Galois, Paris: Gauthier-Villars
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris: Gauthier-Villars
• Kleiner, Israel (1986), “The evolution of group theory: a brief survey”, Mathematics Magazine, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1, New York: Johnson Reprint Corp.
• Mackey, George Whitelaw (1976), The theory of unitary group representations, University of Chicago Press
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7

Các liên kết bên ngoài

• Weisstein, Eric W., 'Group' từ MathWorld.
• group mathematics tại PlanetMath.org.
• Group (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Nhóm tại Từ điển Bách khoa Việt Nam