Những bài toán thiên niên kỷ

Những bài toán thiên niên kỷ (tiếng Anh: Millennium Prize Problems) là tập hợp bảy bài toán khó khăn và nổi tiếng được Viện Toán học Clay công bố vào ngày 24 tháng 5 năm 2000. Các bài toán này bao gồm giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer, giả thuyết Hodge, bài toán Navier-Stokes, bài toán P so với NP, giả thuyết Poincaré, giả thuyết Riemann và bài toán Yang-Mills. Viện đã công bố giải thưởng một triệu đô la cho giải pháp chính xác đầu tiên cho mỗi bài toán.

Tính đến thời điểm hiện tại, chỉ có một bài toán trong danh sách được giải quyết, đó là giả thuyết Poincaré, do nhà toán học người Nga Grigori Yakovlevich Perelman chứng minh vào năm 2010. Tuy nhiên, ông đã từ chối nhận giải thưởng vì viện Clay không trao giải cho Richard Streit Hamilton, người đã đặt nền móng cho chứng minh của Perelman.

Bài toán đã được giải quyết

Giả thuyết Poincaré

Trong không gian hai chiều, mặt cầu là mặt phẳng đóng và đơn liên duy nhất. Giả thuyết Poincaré cho rằng điều này cũng đúng trong không gian ba chiều. Đây là bài toán then chốt để giải quyết vấn đề phân loại tất cả các đa tạp ba chiều. Giả thuyết này được mô tả cụ thể như sau:

Tất cả các đa tạp ba chiều đóng và đơn liên đều đồng phôi với mặt cầu ba chiều.

Giải pháp cho giả thuyết này được Grigori Perelman đưa ra, dựa vào lý thuyết dòng Ricci của Richard Hamilton. Tuy nhiên, giải pháp chủ yếu nhờ vào những cải tiến độc đáo của Perelman. Đồng thời, các công trình của Perelman liên quan đến việc phát triển lý thuyết dòng Ricci cũng giúp ông hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa của William Thurston (một dạng mạnh mẽ hơn của giả thuyết Poincaré).

Giải pháp được công nhận vào tháng 8 năm 2006, và Perelman chính thức được trao giải bài toán thiên niên kỷ vào ngày 18 tháng 3 năm 2010. Tuy nhiên, ông đã từ chối nhận thưởng và toàn bộ số tiền liên quan đến giải thưởng đó. Theo The Interfax, Perelman cho rằng giải thưởng không công bằng vì những đóng góp của ông không hơn gì so với đóng góp của Hamilton.

Bài toán chưa được giải

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer nghiên cứu nghiệm của phương trình đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ. Giả thuyết này cho rằng có một phương pháp đơn giản để xác định số lượng nghiệm hữu tỉ của phương trình đó, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Bài toán thứ mười của Hilbert quan tâm đến các loại phương trình tổng quát hơn, và trong trường hợp tổng quát đó, đã chứng minh rằng không tồn tại phương pháp nào để xác định sự tồn tại nghiệm của phương trình.

Andrew Wiles là người đã đưa ra phát biểu chính thức về bài toán này.

Giả thuyết Hodge

Giả thuyết Hodge là một giả thuyết quan trọng trong hình học đại số và hình học phức. Giả thuyết này cho rằng

Cho $X$ là một đa tạp xạ ảnh phức không suy biến. Khi đó, mọi lớp Hodge trên $X$ là tổ hợp tuyến tính với hệ số hữu tỉ của các lớp đối đồng điều của các đa tạp con.

trong đó, chúng ta định nghĩa

${\mathrm{Hdg}}^k<!--\; \; -->\left(X\right)=H^{2k}(X,Q)\cap <!--\; \cap \; -->H^{k,k}\left(X\right)$

là nhóm các lớp Hodge bậc $2k$ trên $X$.

Phát biểu chính thức về bài toán này được Pierre Deligne đưa ra.

Bài toán Navier-Stokes

$\stackrel{\text{Quán tính}}{\stackrel{⏞<!--\; ⏞\; -->}{\underset{\begin{array}{c}\text{Gia tốc}\\ \text{tức thời}\end{array}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}}+\underset{\begin{array}{c}\text{Gia tốc}\\ \text{đối lưu}\end{array}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{(u\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})u}}}}-<!--\; -\; -->\underset{\text{Ma sát}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}u}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Nội lực}\end{array}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}w}}+\underset{\begin{array}{c}\text{Ngoại lực}\end{array}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{g}}.$

Phương trình Navier-Stokes mô tả chuyển động của chất lưu và là một công cụ quan trọng trong cơ học chất lưu, có ảnh hưởng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học. Tuy nhiên, từ góc độ lý thuyết, kiến thức về nghiệm của phương trình này vẫn còn hạn chế. Cụ thể, trong không gian ba chiều và với một số điều kiện ban đầu, các nhà toán học vẫn chưa xác định được liệu có luôn tồn tại nghiệm trơn cho hệ này hay không.

Bài toán chính thức được đặt ra bởi Charles Fefferman.

P so với NP

Câu hỏi đặt ra là liệu mọi bài toán có thể kiểm chứng nhanh chóng (trong thời gian đa thức) cũng có thể được giải quyết nhanh chóng không. Lớp bài toán ở phần đầu và phần cuối của câu hỏi lần lượt là NP và P, nên câu hỏi có thể được đơn giản hóa thành việc liệu mọi bài toán thuộc lớp NP có phải cũng thuộc lớp P hay không. Đây là một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong toán học và khoa học máy tính vì nó ảnh hưởng đến nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác như triết học và mật mã. Bài toán SAT là một ví dụ điển hình về bài toán thuộc lớp NP nhưng chưa rõ liệu nó có thuộc lớp P hay không.

Hầu hết các nhà toán học và nhà khoa học máy tính cho rằng P ≠ NP, tuy nhiên điều này vẫn chưa được chứng minh.

Stephen Cook là người đã phát biểu chính thức bài toán này.

Giả thuyết Riemann

Hàm zeta Riemann $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s\right)$ được định nghĩa là tổng phân kỳ của hàm

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s\right)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^{-<!--\; -\; -->s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

Hàm zeta Riemann có nghiệm tại các số nguyên âm chẵn, tức là $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s\right)=0$ khi $s=-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->6,...$. Những nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Tuy nhiên, hàm zeta còn có những nghiệm khác, được gọi là nghiệm không tầm thường. Giả thuyết Riemann nghiên cứu vị trí của những nghiệm không tầm thường này và khẳng định rằng:

Tất cả các nghiệm không tầm thường của hàm zeta Riemann đều có phần thực bằng /₂.

Bất kỳ chứng minh nào về tính đúng sai của giả thuyết này đều sẽ tác động mạnh mẽ đến lý thuyết số, đặc biệt là việc phân phối số nguyên tố. Đây là bài toán thứ tám trong danh sách của Hilbert, và cho đến nay, nó vẫn được coi là một trong những bài toán mở quan trọng nhất của thế kỷ.

Enrico Bombieri là người đã đề xuất mệnh đề chính thức cho bài toán này.

Bài toán Yang-Mills

Bài toán Yang-Mills là một trong những thách thức quan trọng nhất trong vật lý lý thuyết hiện đại, được đề xuất bởi Chen Ning Yang và Robert Mills vào năm 1954. Bài toán này tập trung vào việc mô tả các tương tác của các hạt cơ bản qua trường Yang-Mills.

Trong lý thuyết Yang-Mills, trường được mô tả bằng một ma trận trường, thường gọi là trường gauge. Bài toán Yang-Mills yêu cầu tìm trường gauge phù hợp để giải các phương trình Yang-Mills, những phương trình đặc biệt trong vật lý lý thuyết về các tương tác của hạt cơ bản.

Bài toán Yang-Mills rất phức tạp và hiện chưa có phương pháp chính thức để giải quyết toàn bộ vấn đề. Tuy nhiên, các nhà toán học và vật lý học đã đạt được nhiều kết quả quan trọng trong việc giải quyết một số trường hợp đặc biệt của bài toán này, từ đó làm sáng tỏ hơn về các tương tác giữa các hạt cơ bản trong lý thuyết vật lý.