Những bài toán thực tế về hàm số mũ, logarit, và lũy thừa rất thú vị kèm theo đáp án

Buzz

Nội dung bài viết

Những bài toán thực tiễn về hàm số mũ, logarit, và lũy thừa rất thú vị kèm theo đáp án

Xem thêm

Dưới đây là các bài toán thực tiễn về hàm số mũ, logarit và lũy thừa cùng với lời giải chi tiết

Những bài toán thực tiễn về hàm số mũ, logarit, và lũy thừa rất thú vị kèm theo đáp án

Câu hỏi 1: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất kép 1,65% mỗi quý. Hỏi sau bao nhiêu quý thì số tiền đạt ít nhất 20 triệu đồng?

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức lãi kép: A_n = A₀ (1+r)ⁿ

Với A₀ = 15; A_n = 20; r= 1,65%. Ta tính n

Theo yêu cầu bài toán, ta có:

$A_{n}\geq 20 \Leftrightarrow 15(1 +1,65%)^{n}\geq 20$ $\Leftrightarrow n\geq log_{1,0165}\left ( \frac{20}{15} \right )\approx 17,5787\Rightarrow n=18$

Câu hỏi 2: Sau nhiều năm làm việc, anh Ngọc đã tiết kiệm được P đồng và dự định sử dụng số tiền này để mua một căn nhà. Tuy nhiên, hiện tại số tiền anh có vẫn chưa đủ để mua ngôi nhà mong muốn vì giá trị ngôi nhà là 2P đồng. Vì vậy, anh Ngọc quyết định gửi số tiền này vào ngân hàng Vietcombank. Bạn nghĩ sau bao nhiêu năm anh Ngọc mới có thể mua được ngôi nhà? Biết rằng lãi suất gửi tiết kiệm là 8,4% mỗi năm, lãi suất sẽ được cộng dồn vào vốn và giá của ngôi nhà không thay đổi trong 12 năm tới. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Giải chi tiết:

Tính số tiền sẽ có sau n năm gửi tiết kiệm với lãi suất

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:

$P_{n} = 2P \Leftrightarrow P(1,084)^{n} = 2P$ $\Leftrightarrow (1,084)^{n} = 2 \Leftrightarrow n = log_{1,084}2\approx 8,59$ $\Rightarrow n=9$

Câu hỏi 3: Doanh nghiệp B muốn đạt được 280 triệu đồng bằng cách đầu tư hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất 13% mỗi năm theo phương pháp lãi kép. Xác định thời gian cần đầu tư?

Giải chi tiết:

Ta có P_n = 280.000.000 đồng, P₀ = 170.000.000 đồng, r = 13% mỗi năm

Sau n năm đầu tư, doanh nghiệp B sẽ có tổng số tiền là: P_n = P_o (1+r) (*). Để tính n từ công thức (*) các bạn có thể áp dụng 2 phương pháp (xem lại cách giải). Trong lời giải này, ta sử dụng phương pháp 2, đó là lấy logarit thập phân của hai vế. Ta có

ⁿ $\frac{P_{n}}{P_{o}}$ $\frac{P_{n}}{P_{o}}$ $\frac{log\frac{P_{n}}{P_{o}}}{log(1+r)}$ $\frac{log\frac{280.000.000}{170.000.000}}{log(1+13%)}$

Câu hỏi 4: Anh Lâm gửi 120.000.000 đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 5% mỗi năm. Hỏi sau 2 năm, nếu anh không thay đổi số tiền vốn, tổng số tiền anh Lâm sẽ rút được từ ngân hàng là bao nhiêu? (Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

Giải chi tiết:

Áp dụng công thức P_n = P_o

.(1 + nr), ta tính được tổng số tiền anh Lâm sẽ rút được từ ngân hàng sau 2 năm là:

P₂ = 120.000.000 x (1 + 2 x 5%) = 132.000.000 đồng

Sau hai năm, số tiền lãi mà anh Lâm thu được là:

132.000.000 đồng trừ 120.000.000 đồng bằng 12.000.000 đồng

Câu hỏi 5: Với lãi suất 10% mỗi năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư A mong muốn đạt được 32.125.000 đồng vào cuối kỳ đầu tư. Vậy, cần đầu tư trong bao lâu để có được số tiền đó? (Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

Chi tiết giải pháp:

Sử dụng công thức P_n = P_o . (1 + nr)

_n_o_o $rac{P_{n}-P_{o}}{P_{o}r} = rac{32.125.000-25.000.000}{25.000.000 imes 10%}$

Do đó, để đạt được số tiền mong muốn, cần đầu tư trong khoảng thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày.

Câu hỏi 6: Với lãi suất 14% mỗi năm (theo hình thức lãi đơn), anh Tuấn cần đầu tư bao nhiêu vốn ban đầu để thu về 244 triệu đồng sau 3 năm 9 tháng? (Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

Chi tiết giải pháp:

_n_o_o $rac{P_{n}}{1+nr}= rac{244.000.000}{1+ rac{15}{4} imes 14%}$

Do đó, cần đầu tư 160.000.000 đồng để đạt số tiền mong muốn

Câu hỏi 7: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, ký hiệu là mmHg) giảm theo độ cao n (đo bằng mét) theo công thức P = P_o . e^-ni, trong đó P_o = 760 mmHg là áp suất ở mực nước biển (n = 0), và i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m, áp suất không khí là 672,71 mmHg. Vậy, áp suất không khí ở độ cao 3000m gần với giá trị nào sau đây nhất?

Chi tiết giải pháp:

Áp dụng công thức P = P_o . e^-ni

Tại độ cao 1000m, ta có: P_o = 760 mmHg; n = 1000m; P = 672,71 mmHg

Dựa vào giả thiết này, ta tính được hệ số suy giảm i, cụ thể là

$672,71 = 760e^{-1000i}$

Leftrightarrow 1000i = lnrac{672,71}{760} Leftrightarrow i approx -0,00012

$P = 760e^{-0,00012 imes 3000} approx 530,2340078$

Câu hỏi 8: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4 × 10⁵ mét khối. Biết rằng tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu rừng này là 4% mỗi năm. Sau 5 năm, khu rừng sẽ có tổng cộng bao nhiêu mét khối gỗ?

Chi tiết giải pháp:

Áp dụng công thức A_n = A_o . e^n.r

Với A_o = 4 × 10⁵; r = 4%; n = 5

Sau 5 năm, khu rừng sẽ có tổng số mét khối gỗ là:

A₅ = 4 × 10⁵ . e^{4% × 5} = 488.561

Câu hỏi 9: Cường độ của một trận động đất M (theo thang Richter) được tính bằng công thức M = log A - log A_o, trong đó A là biên độ rung chấn tối đa và A_o là biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ lớn hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ gần với giá trị nào sau đây nhất?

Chi tiết giải pháp:

- Để tính cường độ của trận động đất ở San Francisco, áp dụng công thức

M₁ = log A - log A_o suy ra 8 = log A - log A_o

- Đối với trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là 4A, cường độ của trận động đất này là:

M₂ = log(4A) - log A_o

⇔ M₂ = log 4 + log A - log A_o

⇒ M₂ = log 4 + 8 = 8,6

Câu hỏi 10: $m(t) = m_{o} left( rac{1}{2} ight)^{ rac{1}{r}}$ $m_{o}$

Chi tiết giải pháp:

$m(t) = m_{0} left( rac{1}{2} ight)^{ rac{1}{1000}} < rac{1}{6} Leftrightarrow rac{t}{1000} > log_{ rac{1}{2}} rac{1}{6}$

Câu hỏi 11: $P = d^{ rac{2}{3}}$

Chi tiết giải quyết:

Thời gian Sao Hỏa quay quanh Mặt trời tính theo năm Trái Đất là:

$P = d^{ rac{3}{2}} = 1,52^{ rac{3}{2}} approx 1,87$ Câu hỏi 12: $A = 19,2^{ rac{t}{30}}$

Chi tiết lời giải:

$2 = 2^{ rac{t}{30}}$

Từ đây, chúng ta tính được số năm cần thiết để đạt tốc độ tăng dân số này là:

$rac{t}{30} = log_{2}2 = 1 Rightarrow t = 30$

Như vậy, sau 30 năm từ năm 2021, tức năm 2051, dân số của quốc gia này sẽ đạt khoảng 38 triệu người.

$2^{ rac{20}{30}} = 2^{ rac{2}{3}}$ $19 imes 2^{ rac{2}{3}} approx 27,076$

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]