Buzz
1. Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, bạn cần tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng đó và nối chúng lại. Đoạn nối này chính là giao tuyến cần tìm.
Thường thì điểm chung đầu tiên dễ xác định hơn. Để tìm điểm chung còn lại, bạn cần tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng khác nhau, nhưng cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba và không song song với nhau. Giao điểm của hai đường thẳng này sẽ là điểm chung thứ hai.
Lưu ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, nghĩa là đường thẳng này vừa nằm trong mặt phẳng này vừa nằm trong mặt phẳng kia.
Câu 1: Xét tứ giác ABCD với các cạnh đối không song song. Chọn điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
A. SO, trong đó O là giao điểm của các đường chéo AC và BD.
B. SI, trong đó I là giao điểm của các cạnh AB và CD.
C. SE, trong đó E là giao điểm của các cạnh AD và BC.
D. Lựa chọn khác
Giải pháp
+ Ta có: S thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) (1)
+ Trong mặt phẳng (ABCD), giao điểm của các đường chéo AC và BD là O. (Bạn đọc tự vẽ hình minh họa)
- Bởi vì:
+ Từ (1) và (2) suy ra rằng SO chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Chọn đáp án A
Câu 2: Xét tứ giác ABCD với các cạnh đối không song song. Chọn điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).
A. SO, trong đó O là điểm giao nhau của các đường chéo AC và BD
B. SI, trong đó I là điểm giao nhau của các cạnh AB và CD
C. SE, trong đó E là điểm giao nhau của các cạnh AD và BC
D. Lựa chọn khác
Giải pháp:
.png)
+ Ta có: S thuộc giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD) (1)
+ Trong mặt phẳng (ABCD), giao điểm của các cạnh AB và CD là I. (Bạn đọc tự vẽ hình minh họa)
Bởi vì
+ Từ (1) và (2) suy ra rằng SI chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Chọn đáp án B
Câu 3: Xét hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD (AB song song với CD). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hình chóp S.ABCD có các mặt bên
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO, trong đó O là giao điểm của AC và BD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI, trong đó I là điểm giao nhau của AD và BC
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường chéo của hình thang ABCD
Giải pháp
Chọn đáp án D
+ Hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD) và (SAD), do đó A là đúng.
+ S và O là hai điểm chung của các mặt phẳng (SAC) và (SBD), vì vậy B là đúng.
+ S và I là hai điểm chung của các mặt phẳng (SAD) và (SBC), do đó C là đúng.
+ Giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.
Câu 4: Xét tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm trong tam giác BCD và M là điểm trên đoạn AO. Xét I và J là hai điểm trên các cạnh BC và BD. Nếu IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F, thì giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng nào?
A. KM B. AK C. MF D. KF
Giải pháp
.png)
Chọn đáp án D.
+ K là điểm giao của IJ và CD, vì vậy K thuộc giao tuyến của các mặt phẳng (MIJ) và (ACD) (1)
+ F là điểm giao nhau của ME và AH
Vì AH nằm trong mặt phẳng (ACD) và ME nằm trong mặt phẳng (MIJ), do đó F thuộc giao tuyến của (MIJ) và (ACD) (2)
Dựa vào (1) và (2), ta có giao tuyến của (MIJ) và (ACD) là KF
Câu 5: Xét hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD và J là một điểm trên SC nhưng không trùng với trung điểm của SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là gì?
A. AK với K là điểm giao của IJ và BC
B. AH, với H là điểm giao của IJ và AB
C. AG, với G là điểm giao của IJ và AD
D. AF, với F là điểm giao của IJ và CD
Giải pháp
Lựa chọn D.
+ Điểm A là điểm giao của mặt phẳng (ABCD) và (AIJ)
+ IJ cắt CD tại điểm F, nhưng IJ không giao cắt với BC, AD, hay AB
Do đó, F là điểm giao thứ hai của (ABCD) và (AIJ)
Vì vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là đường thẳng AF
A. FM với M là giao điểm của AB và EG.
B. FN với N là giao điểm của AB và EF.
C. FT với T là giao điểm của EG và SB.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Trong mặt phẳng (SAB), H là điểm giao của EF và AB.
+ Trong mặt phẳng (ABC), HG cắt AC và BC lần lượt tại I và J.
Chọn D
2. Dạng 2: Xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xác định điểm giao giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), có thể áp dụng hai phương pháp như sau:
* Phương pháp 1:
+ Trong trường hợp đơn giản, nếu đã có một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P)
+ Trong mặt phẳng (Q), hai đường thẳng a và d cắt nhau tại điểm A. Điểm A sẽ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
* Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng phụ:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d sao cho việc xác định giao tuyến của (Q) với (P) trở nên dễ dàng
+ Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng (P) và (Q), gọi nó là đường thẳng d.
+ Tìm giao điểm giữa đường thẳng a và đường thẳng d, gọi là điểm A
Khi đó, điểm A sẽ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Câu 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD, chọn điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là điểm giao của
A. CD và NP B. CD và MN C. CD và MP D. CD và AP
Lời giải
Cách 1.
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng CD là mp(BCD)
+ Vì NP không song song với CD nên NP sẽ cắt CD tại điểm E
⇒ Điểm E là giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP).
Chọn A.
Phương pháp 2
⇒ NP và CD nằm trong cùng một mặt phẳng
Vậy điểm giao của CD và mặt phẳng (MNP) chính là điểm E, nơi NP cắt CD.
Câu 2: Trong tứ diện ABCD, với E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG với mặt phẳng (ACD) là:
A. Điểm giao của đường thẳng EG và AF.
B. Điểm giao của đường thẳng EG và AC.
C. Điểm giao của đường thẳng EG và CD.
Giải pháp:
+ Vì G là trọng tâm của tam giác BCD và F là trung điểm của CD, nên G thuộc đường thẳng BF nằm trong mặt phẳng (ABF).
+ E là trung điểm của AB, do đó E cũng nằm trong mặt phẳng (ABF).
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng EG là mặt phẳng (ABF).
Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (ABF) chính là đường thẳng AF.
+ Trong mặt phẳng (ABF), gọi M là điểm giao của EG và AF.
Do đó, điểm giao của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là điểm M, nơi EG cắt AF.
Chọn đáp án B
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, với M nằm trên cạnh SC và N nằm trên cạnh BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, J là giao điểm của AN và BD, và I là giao điểm của SO và AM. Tìm điểm giao của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
A. Giao điểm của SD và SI
B. Giao điểm của SD và BJ
C. Giao điểm của SD và MI
D. Giao điểm của SD và IJ
Lời giải
Trong mặt phẳng (SBD), gọi K là giao điểm của IJ và SD
I thuộc AM, do đó I nằm trong (AMN); J thuộc AN, nên J nằm trong (AMN)
Suy ra IJ thuộc (AMN)
Vì vậy K thuộc IJ và cũng nằm trong (AMN), nên K thuộc (AMN)
Vậy K chính là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN)
Chọn D
3. Dạng 3: Chứng minh các quan hệ vuông góc và song song trong không gian
Áp dụng các đặc điểm sau:
- Đặc điểm 1:
+ Nếu hai đường thẳng song song và có một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đó, thì mặt phẳng này cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
+ Ngược lại, nếu hai đường thẳng khác biệt đều vuông góc với một mặt phẳng thì chúng sẽ song song với nhau.
- Đặc điểm 2:
(1).png)
+ Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với một mặt phẳng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Nếu hai mặt phẳng khác nhau đều vuông góc với cùng một đường thẳng, thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
- Đặc điểm 3:
.png)
+ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α), thì bất kỳ đường thẳng b nào vuông góc với mặt phẳng (α) cũng sẽ vuông góc với a.
+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (đường thẳng không nằm trong mặt phẳng) đều vuông góc với một đường thẳng khác, thì chúng sẽ song song với nhau.
Câu 1: Xét hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt các đoạn SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. Chứng minh rằng AK không vuông góc với HK.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Đặt O là giao điểm của AC và BD, và I là điểm giao của SO với HK.
(P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC
Từ I, kẻ một đường ∆ song song với BC, nên ∆ vuông góc với AM.
Do đó, ∆ nằm trong mặt phẳng (P).
Vì vậy, K là điểm giao của ∆ với SD, và H là điểm giao của ∆ với SB.
Xem xét:
AK vuông góc với mặt phẳng (SCD) nên AK tạo góc vuông với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng (SCD).
Tuy nhiên, HK cắt (SCD) tại điểm K, chứng tỏ HK không nằm trong mặt phẳng (SCD).
Do đó, AK không thể vuông góc với HK.
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đặt AE, AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AEF).
Hướng dẫn giải
Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BC.
Hơn nữa, AB vuông góc với BC, suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
⇒ BC vuông góc với AE và AE nằm trong mặt phẳng (SAB)
Tam giác SAB có đường cao AE
⇒ AE vuông góc với SB
Vì AE vuông góc với BC
Do đó, AE vuông góc với mặt phẳng (SBC) và AE vuông góc với SC
Tương tự, ta có thể chứng minh rằng AF vuông góc với SC. Vì vậy, SC vuông góc với mặt phẳng (AEF).
