Những trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và các ví dụ minh họa

Buzz

Nội dung bài viết

1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trường hợp 1: Hai cạnh góc vuông tương ứng

Trường hợp 2: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Trường hợp 3: Cạnh huyền và góc nhọn

Trường hợp 4: Cạnh huyền và cạnh góc vuông

3. Các dạng bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Dạng 1: Chứng minh các tam giác vuông đồng dạng

Dạng 2: Chứng minh các góc và đoạn thẳng đồng dạng

Dạng 3: Xác định các điều kiện cần thiết để hai tam giác vuông đồng dạng

4. Bài Tập Thực Hành

4.1 Bài tập trắc nghiệm

4.2 Bài tập tự luận

Xem thêm

Các trường hợp nào khiến hai tam giác vuông bằng nhau? Hãy cùng Mytour khám phá qua bài viết dưới đây, với các phương pháp tính toán, ví dụ cụ thể và bài tập tự luyện để hiểu rõ hơn về các trường hợp này.

1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng đều bằng nhau.

Để biểu thị sự bằng nhau giữa tam giác ABC và tam giác A’B’C', ta sử dụng kí hiệu như sau.

Những trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và ví dụ minh họa

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trường hợp 1: Hai cạnh góc vuông tương ứng

Khi hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác vuông này là bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).

Ví dụ:

Xem xét tam giác vuông ABC và tam giác DEF, ta có:

AB bằng DE

BC bằng EF

Do đó, ∆ABC bằng ∆DEF (cạnh – góc – cạnh)

Trường hợp 2: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông này trùng với một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng (góc – cạnh – góc)

Ví dụ minh họa:

Các trường hợp tam giác vuông đồng dạng kèm theo ví dụ cụ thể

Xem xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông FHI, ta có:

Góc ABC = Góc FHI = {90^0}

BC bằng HI nên ∆ABC đồng dạng với ∆FHI (góc – cạnh – góc)

Trường hợp 3: Cạnh huyền và góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này tương ứng với cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng (cạnh huyền – góc nhọn)

Ví dụ cụ thể:

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu biết cạnh huyền và góc nhọn

Trường hợp 4: Cạnh huyền và cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương đương với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Ví dụ minh họa cụ thể:

3. Các dạng bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trong phần 2 ở trên, Mytour đã trình bày các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm này, chúng ta sẽ cùng xem xét một số ví dụ dưới đây:

Dạng 1: Chứng minh các tam giác vuông đồng dạng

Trong dạng bài này, chúng ta sẽ so sánh hai tam giác vuông và kiểm tra các điều kiện đồng dạng như: cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông. Từ đó, xác định trường hợp đồng dạng và đưa ra kết luận hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ cụ thể: Cho tam giác ΔABC, với BE và CD là các đường cao của ΔABC. Chứng minh rằng:

ΔBCD đồng dạng với ΔCBE, với điều kiện BD = EC.

Giải quyết:

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông cùng với ví dụ cụ thể

ΔABC , CD ⊥ AB , CE ⊥ AB

(D ∈ AB , E ∈ AC)

BD = EC

ΔBCD = ΔCBE

Xem xét ΔBCD vuông tại D và ΔCBE vuông tại E, với BD = CE (đã cho) và cạnh BC là chung. Do đó, ΔBCD đồng dạng với ΔCBE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Dạng 2: Chứng minh các góc và đoạn thẳng đồng dạng

Trong dạng bài này, bạn sẽ áp dụng các kiến thức về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Điều này giúp chứng minh rằng khi hai tam giác vuông đồng dạng, các đoạn thẳng và góc tương ứng cũng sẽ đồng dạng. Khi làm việc với tam giác vuông, cần xác định thêm ít nhất một điều kiện về cạnh để chứng minh các cạnh hoặc góc tương ứng bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

$huge 90^{circ}$

a) Chứng minh rằng AH = AK.

Giải quyết:

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông cùng với ví dụ minh họa

ΔABC ( ˆ A < 90o ) , AB = ACBH ⊥ AC , CK ⊥ AB ( H ∈ AC , K ∈ AB) BH ∩ CK = I

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Tia AI là tia phân giác của ˆ BAC .

a) Xem xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K, với:

AB = AC (ΔABC là tam giác cân tại A)

Góc ∠A chung.

Do đó, ∆ABH đồng dạng với ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = AK (các cạnh tương ứng)

b) Xem xét ΔAIH vuông tại H và ΔAIK vuông tại K, với:

AK = AH (theo chứng minh trên)

AI là cạnh chung

Do đó, ∆AIK đồng dạng với ∆AIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ ∠IAK = ∠IAH (các góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của ∠BAC.

Dạng 3: Xác định các điều kiện cần thiết để hai tam giác vuông đồng dạng

Khi làm dạng bài này, trước hết bạn cần đọc kỹ đề bài và vẽ hình để xác định các yếu tố đã có của hai tam giác vuông. Sau đó, bạn cần xem xét các điều kiện bổ sung cần thiết để chứng minh hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ: Các tam giác ABC và MNP có ∠A = ∠M = 90°, ∠B = ∠N. Hãy tìm thêm một điều kiện để ∆ABC đồng dạng với ∆MNP.

Giải:

* Trường hợp 1: ΔABC đồng dạng với ΔMNP theo điều kiện cạnh góc vuông - góc nhọn kề.

Xem xét hai tam giác vuông ABC và MNP, với:

+) ∠B = ∠N (đã cho)

Nếu bổ sung điều kiện AB = MN, thì ΔABC đồng dạng với ΔMNP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

* Trường hợp 2: ΔABC đồng dạng với ΔMNP theo điều kiện hai cạnh huyền - góc nhọn.

Xem xét hai tam giác vuông ABC và MNP, với:

+) ∠B = ∠N (giả thiết)

Nếu thêm điều kiện BC = NP, thì ΔABC đồng dạng với ΔMNP (cạnh huyền - góc nhọn).

4. Bài Tập Thực Hành

4.1 Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM, với BC = PM và ∠B = ∠P = 90°. Cần thêm điều kiện gì để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?

A. BA = PM

B. BA = PN

C. CA = MN

D. ∠A = ∠N

Đối với hai tam giác ABC và NPM, có BC = PM và ∠B = ∠P = 90°, với BC và PM là các cạnh góc vuông. Để hai tam giác đồng dạng theo điều kiện cạnh huyền – cạnh góc vuông, cần thêm điều kiện CA = MN.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác MNP với ∠A = ∠M = 90° và ∠C = ∠P. Cần thêm điều kiện gì để chứng minh hai tam giác ABC và MNP đồng dạng theo điều kiện cạnh góc vuông – góc nhọn kề?

A. AC = MP

B. AB = MN

C. BC = NP

D. AC = MN

Ta có: ∠C = ∠P, với C và P là hai góc nhọn kề của tam giác ABC và tam giác MNP.

Do đó, để chứng minh tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng theo điều kiện cạnh góc vuông – góc nhọn kề, cần thêm điều kiện AC = MP. Chọn đáp án A.

Bài 3: Cho tam giác ABC và tam giác DEF với ∠B = ∠E = 90°, AC = DF, và ∠A = ∠F. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ΔABC = ΔFED

B. ΔABC đồng dạng với ΔFDE

C. ΔBAC đồng dạng với ΔFED

D. ΔABC đồng dạng với ΔDEF

Xem xét hai tam giác ABC và FED với:

Chọn đáp án A.

Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác KHI với: ∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. ΔABC = ΔKHI

B. ΔABC = ΔHKI

C. ΔABC = ΔKIH

D. ΔACB = ΔKHI

Xét hai tam giác ABC và KHI với:

∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI

⇒ ΔABC = ΔKHI

Chọn đáp án A.

4.2 Bài tập tự luận

Bài 1: Xét tam giác ABC với AB = AC. Vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng:

a) HB = HC

b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Giải:

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông kèm ví dụ minh họa

a) ΔABH = ΔACH (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ HB = HC

b) Dựa vào câu a, ta có: ∠BAH = ∠CAH

Bài 2: Cho góc xOy không phải là góc bẹt. Chọn điểm A trên tia Ox và điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB. Vẽ đường vuông góc với Ox tại A và đường vuông góc với Oy tại B, chúng giao nhau tại C.

a) Chứng minh rằng: OC là tia phân giác của góc xOy.

b) Gọi I là điểm bất kỳ trên OC. Kẻ đường vuông góc từ I đến Ox tại M và đến Oy tại N. Chứng minh rằng: IM = IN.

Giải:

a) ΔOAC = ΔOBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ ∠AOC = ∠BOC nên OC là tia phân giác của góc xOy.

b) ΔOMI = ΔONI (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ IM = IN

Bài 3:

a) DM = EN

b) EM = DN

c) Tam giác ADE là tam giác cân.

Giải:

a) ΔMDB = ΔNEC (cạnh góc vuông - góc nhọn) suy ra MD = NE

b) ΔMDE = ΔNED (hai cạnh vuông góc) dẫn đến ME = ND

c) ΔABD = ΔACE (cạnh - góc - cạnh) dẫn đến AD = AE. Do đó, tam giác ΔADE là tam giác cân tại A.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Các trường hợp nào khiến hai tam giác vuông đồng dạng?

Có bốn trường hợp chính: hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau, một cạnh góc vuông và góc nhọn kề tương ứng, cạnh huyền và góc nhọn tương ứng, và cạnh huyền với một cạnh góc vuông tương ứng. Những trường hợp này đều đảm bảo tính đồng dạng giữa các tam giác.

Làm thế nào để chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng?

Để chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng, bạn cần so sánh các cạnh và góc tương ứng của chúng. Sử dụng các điều kiện như cạnh-góc-cạnh hoặc góc-cạnh-góc sẽ giúp xác định tính đồng dạng một cách chính xác.

Cần điều kiện gì để hai tam giác vuông ABC và MNP đồng dạng?

Để hai tam giác vuông ABC và MNP đồng dạng, cần có ít nhất một điều kiện bổ sung, chẳng hạn như bằng nhau giữa các cạnh tương ứng hoặc góc nhọn kề. Điều này giúp khẳng định mối quan hệ đồng dạng giữa chúng.

Các bài tập nào giúp củng cố kiến thức về tam giác vuông?

Các bài tập trắc nghiệm và tự luận về chứng minh đồng dạng của các tam giác vuông là những cách hiệu quả để củng cố kiến thức. Chúng giúp học sinh áp dụng lý thuyết vào thực tiễn và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.