Phần bù (lý thuyết tập hợp)

Trong lý thuyết tập hợp, phần bù hay bù của tập hợp (toán học) A thường được ký hiệu là A (hoặc A′), là tập hợp các phần tử không nằm trong A.

Khi tất cả các tập đều nằm trong một vũ trụ (tập vũ trụ U là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì phần bù tuyệt đối của A là tập tất cả các phần tử thuộc U nhưng không nằm trong A.

Phần bù tương đối của A tương ứng với tập hợp B còn được gọi là hiệu tập hợp giữa B với A, đượ ký hiệu là $B\setminus <!--\; \setminus \; -->A,$ và là tập các phần tử thuộc B nhưng không thuộc về A.

Phần bù tuyệt đối

Định nghĩa

Nếu A là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của A (hay nói gọn là bù của A) là tập tất cả phần tử không thuộc A (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi U là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định U thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của A là phần bù tương đối của A trong U: $A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=U\setminus <!--\; \setminus \; -->A.$

Nói rõ hơn: $A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=\{x\in <!--\; \in \; -->U:x\notin <!--\; \notin \; -->A\}.$

Phần bù tuyệt đối của A thường được biểu diễn bằng A. Các cách biểu diễn khác bao gồm $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A},A^{\prime },$ ${\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}_{U}A,\text{ và }\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}A.$

Các ví dụ

• Cho rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu A là tập các số lẻ thì phần bù của A là tập các số chẵn. Nếu B là tập các bội của 3, phần bù của B là tập các số đồng dư 1 hoặc 2 modulo 3 (nói cách khác, các số không chia hết cho 3).
• Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập A là tập các lá bích, phần bù của A là hợp của tập các lá cơ, lá rô và lá chuồn. Nếu tập B là hợp của tập lá chuồn và lá rô, phần bù của B là hợp của tập lá cơ và lá bích.

Tính chất

Cho A và B là hai tập hợp thuộc vũ trụ U. Dưới đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Định lý De Morgan:

• ${\left(A\cup <!--\; \cup \; -->B\right)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->B^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}.$

Định lý bù:

• $A\cup <!--\; \cup \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=U.$
• $A\cap <!--\; \cap \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$
• ${\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=U.$
• $\text{Nếu }A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathrm{B\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}\text{, thì }{B}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}.$

  (có thể chứng minh bằng phản chứng).

Phép phần bù kép:

• ${\left(A^{\complement }\right)}^{\complement }=A.$

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:

• $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
• $(A\setminus B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Quan hệ của hiệu tập hợp:

• $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

Hai quy tắc bù đầu tiên ở trên cho thấy nếu tập A không rỗng và là tập con thực sự của U, thì {A, A} là phân chia của U.

Phần bù tương đối

Định nghĩa

Nếu A và B là hai tập hợp, thì phần bù tương đối của A trong B, hay còn gọi là hiệu tập hợp của B với A, là tập hợp tất cả các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A.

Phần bù tương đối của A trong B được ghi nhận là $B\setminus <!--\; \setminus \; -->A$ theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Đôi khi cũng được biểu diễn là $B-<!--\; -\; -->A,$ nhưng ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ như, các phép tập hợp của Minkowski trong phân tích hàm). Ví dụ như, nó có thể xem là tập hợp tất cả các phần tử $b-<!--\; -\; -->a,$ trong đó b thuộc về B và a thuộc về A.

Dưới ký hiệu toán học: $B\setminus <!--\; \setminus \; -->A=\{x\in <!--\; \in \; -->B:x\notin <!--\; \notin \; -->A\}.$

Các ví dụ

• $\{1,2,3\}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{2,3,4\}=\left\{1\right\}.$
• $\{2,3,4\}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{1,2,3\}=\left\{4\right\}.$
• Nếu $R$ là tập các số thực và $Q$ là tập các số hữu tỉ thì $R\setminus <!--\; \setminus \; -->Q$ là tập các số vô tỉ

Tính chất

Đặt A, B, và C là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

• $C\setminus <!--\; \setminus \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->B)=(C\setminus <!--\; \setminus \; -->A)\cup <!--\; \cup \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->B).$
• $C\setminus <!--\; \setminus \; -->(A\cup <!--\; \cup \; -->B)=(C\setminus <!--\; \setminus \; -->A)\cap <!--\; \cap \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->B).$
• $C\setminus <!--\; \setminus \; -->(B\setminus <!--\; \setminus \; -->A)=(C\cap <!--\; \cap \; -->A)\cup <!--\; \cup \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->B),$

  trong đó có trường hợp đặc biệt $C\setminus <!--\; \setminus \; -->(C\setminus <!--\; \setminus \; -->A)=(C\cap <!--\; \cap \; -->A)$

Quan hệ bù

Quan hệ bù của mối quan hệ hai ngôi được định nghĩa là một tập con của tích của các phần tử trong tập hợp X × Y. Quan hệ bù $R$ là bù của quan hệ $R$ trong $X\times Y.$ Bù của quan hệ $R$ được viết ngắn gọn như sau $R¯$ trong lý thuyết, là một ma trận logic trong đó hàng biểu diễn các phần tử của $X$ còn cột biểu diễn các phần tử thuộc $Y$ Khi $a\times R\times b$ đúng, thì giá trị của $a\times R\times b$ bằng với 1 trong ô hàng $a$ cột $b$ trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của $R$ được xây dựng bằng cách đổi các số 1 sang 0 và ngược lại trong ma trận lôgic của $R$

Quan hệ bù, cùng với hợp quan hệ, quan hệ nghịch đảo và đại số tập hợp, là các phép toán cơ bản trong lý thuyết tập hợp quan hệ.

Ký hiệu trong LaTeX

Trong ngôn ngữ soạn thảo LaTeX, lệnh \setminus thường được sử dụng để biểu thị ký hiệu tập hợp, giống như dấu gạch chéo ngược. Khi hiển thị, lệnh \setminus tương tự như lệnh \backslash, ngoại trừ sự khác biệt là nó có nhiều khoảng trắng phía trước và sau dấu gạch chéo, tương tự như chuỗi lệnh LaTeX \mathbin{\backslash}. Phiên bản khác là \smallsetminus có sẵn trong gói amssymb. Ký hiệu $\complement$ (ngược lại với $C$) được lấy từ lệnh \complement. (Đây tương đương với ký hiệu Unicode ∁.)

Trong ngôn ngữ lập trình

Một số ngôn ngữ lập trình đã tích hợp sẵn các cấu trúc dữ liệu như tập hợp. Thông thường, cấu trúc này hoạt động tương tự như tập hữu hạn, có nghĩa là chỉ có một số hữu hạn các phần tử không được sắp xếp theo thứ tự cụ thể. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không cần phải khác nhau, điều này dẫn đến mô tả của cấu trúc đa tập hợp thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường cung cấp toán tử hoặc hàm tích hợp cho phép bù và hiệu của các tập hợp.

Các toán tử này có thể được áp dụng cho các cấu trúc dữ liệu không phải là tập hợp trong toán học, ví dụ như danh sách liên kết hoặc mảng. Do đó, một số ngôn ngữ lập trình cung cấp hàm set_difference ngay cả khi đầu vào không phải là tập hợp.