Phân tích mô hình nhị phân để định giá một tùy chọn

Trong thế giới tài chính, mô hình định giá tùy chọn Black-Scholes và mô hình định giá tùy chọn nhị phân là hai khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết tài chính hiện đại. Cả hai đều được sử dụng để định giá một tùy chọn, và mỗi mô hình đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng của nó.

Một số lợi thế cơ bản của việc sử dụng mô hình nhị phân là:

• Một quan điểm nhiều giai đoạn
• Sự minh bạch
• Khả năng tích hợp xác suất

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá những lợi ích của việc sử dụng mô hình nhị phân thay vì mô hình Black-Scholes và cung cấp một số bước cơ bản để phát triển mô hình và giải thích cách sử dụng nó.

Quan điểm nhiều giai đoạn

Mô hình nhị phân cung cấp một quan điểm nhiều giai đoạn về giá của tài sản cơ bản cũng như giá của tùy chọn. Khác với mô hình Black-Scholes, mô hình nhị phân cho phép tính toán giá trị của tài sản và tùy chọn trong nhiều giai đoạn cùng với dải kết quả có thể xảy ra cho mỗi giai đoạn (xem bên dưới).

Lợi thế của quan điểm nhiều giai đoạn này là người dùng có thể hình dung sự thay đổi của giá tài sản từ giai đoạn này sang giai đoạn khác và đánh giá tùy chọn dựa trên các quyết định được đưa ra tại các thời điểm khác nhau. Đối với một tùy chọn dựa trên Hoa Kỳ, có thể thực hiện bất kỳ lúc nào trước ngày đáo hạn, mô hình nhị phân có thể cung cấp cái nhìn về việc khi nào nên thực hiện tùy chọn và khi nào nên giữ trong thời gian dài hơn. Bằng cách nhìn vào cây nhị phân của các giá trị, một nhà giao dịch có thể xác định trước khi quyết định thực hiện có thể xảy ra. Nếu tùy chọn có giá trị dương, có khả năng thực hiện trong khi nếu tùy chọn có giá trị nhỏ hơn không, nó nên được giữ trong thời gian dài hơn.

Tính minh bạch

Liên quan mật thiết đến đánh giá nhiều giai đoạn là khả năng của mô hình nhị phân cung cấp sự minh bạch vào giá trị cơ bản của tài sản và tùy chọn khi thời gian tiến triển. Mô hình Black-Scholes có năm thông số đầu vào:

1. Tỷ lệ không rủi ro
2. Giá thực hiện
3. Giá hiện tại của tài sản
4. Thời gian đến hạn
5. Biến động ngầm định của giá tài sản

Khi những điểm dữ liệu này được nhập vào mô hình Black-Scholes, mô hình tính toán một giá trị cho tùy chọn, nhưng tác động của những yếu tố này không được tiết lộ theo từng giai đoạn. Với mô hình nhị phân, một nhà giao dịch có thể thấy sự thay đổi trong giá của tài sản cơ bản từ giai đoạn này sang giai đoạn khác và sự thay đổi tương ứng trong giá của tùy chọn.

Tích hợp Xác suất

Phương pháp cơ bản để tính toán mô hình tùy chọn nhị phân là sử dụng cùng xác suất mỗi giai đoạn cho thành công và thất bại cho đến khi tùy chọn hết hạn. Tuy nhiên, một nhà giao dịch có thể tích hợp các xác suất khác nhau cho mỗi giai đoạn dựa trên thông tin mới được thu thập khi thời gian trôi qua.

Ví dụ, có thể có một khả năng 50/50 rằng giá của tài sản cơ bản có thể tăng hoặc giảm đi 30% trong một giai đoạn. Tuy nhiên, cho giai đoạn thứ hai, xác suất rằng giá của tài sản cơ bản sẽ tăng có thể tăng lên 70/30. Ví dụ, nếu một nhà đầu tư đang đánh giá một giếng dầu, nhà đầu tư đó không chắc chắn giá trị của giếng dầu đó là gì, nhưng có thể là một khả năng 50/50 rằng giá sẽ tăng. Nếu giá dầu tăng trong Giai đoạn 1 khiến giếng dầu trở nên có giá trị hơn và các cơ sở thị trường hiện nay chỉ ra sự tiếp tục tăng giá dầu, xác suất tăng giá có thể lên đến 70%. Mô hình nhị phân cho phép linh hoạt này; mô hình Black-Scholes không.

Phát triển mô hình

Mô hình nhị phân đơn giản nhất sẽ có hai lợi tức kỳ vọng với xác suất cộng lại thành 100%. Trong ví dụ của chúng tôi, có hai kết quả có thể xảy ra cho giếng dầu tại mỗi điểm thời gian. Một phiên bản phức tạp hơn có thể có ba hoặc nhiều hơn các kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gán một xác suất xảy ra.

Để tính toán lợi tức từng giai đoạn bắt đầu từ thời điểm không (hiện tại), chúng ta phải đưa ra một quyết định về giá trị của tài sản cơ bản một giai đoạn từ bây giờ. Trong ví dụ này, chúng ta giả định như sau:

• Giá của tài sản cơ bản (P) : $500
• Giá thực hiện tùy chọn gọi (K) : $600
• Tỷ lệ không rủi ro cho giai đoạn: 1%
• Thay đổi giá mỗi giai đoạn: Tăng hoặc giảm 30%

Giá của tài sản cơ bản là $500 và, trong Giai đoạn 1, nó có thể là $650 hoặc $350. Điều đó tương đương với việc tăng hoặc giảm 30% trong một giai đoạn. Khi giá thực hiện của các tùy chọn gọi mà chúng ta đang giữ là $600, nếu tài sản cơ bản kết thúc nhỏ hơn $600, giá trị của tùy chọn gọi sẽ là không. Ngược lại, nếu tài sản cơ bản vượt quá giá thực hiện $600, giá trị của tùy chọn gọi sẽ là khác biệt giữa giá của tài sản cơ bản và giá thực hiện. Công thức tính toán này là [max(P-K),0].

Mức thấp nhất giá của tài sản cơ bản là K. Nếu giá thực tế của tài sản cơ bản cao hơn K, nhà đầu tư sẽ hưởng lợi. Nếu không, người mua sẽ không phải trả bất kỳ khoản phí nào. Điều này đảm bảo rằng tất cả những gì người mua phải trả là tiền trái phiếu ban đầu.

Giả sử có 50% khả năng giá sẽ tăng và 50% khả năng giá sẽ giảm. Sử dụng các giá trị Giai đoạn 1 làm ví dụ, phương pháp này được tính toán như là

Để hiểu giá trị hiện tại của quyền chọn mua, chúng ta cần chiết khấu $25 vào Giai đoạn 0, tức là

Mức giá hiện tại của tùy chọn gọi chúng ta cần phải chiết khấu $25 vào Giai đoạn 0, đây là

Để hiểu giá trị hiện tại của quyền chọn mua, chúng ta cần phải chiết khấu $25 vào Giai đoạn 0, đây là

Bây giờ bạn có thể thấy rằng nếu xác suất thay đổi, giá trị kỳ vọng của tài sản cơ bản cũng sẽ thay đổi. Nếu xác suất phải được thay đổi, nó cũng có thể được thay đổi cho mỗi giai đoạn tiếp theo và không nhất thiết phải giữ nguyên suốt thời gian.

Mô hình nhị phân có thể mở rộng dễ dàng cho nhiều giai đoạn. Mặc dù mô hình Black-Scholes có thể tính toán kết quả của một ngày hết hạn kéo dài, mô hình nhị phân mở rộng các điểm quyết định cho nhiều giai đoạn.

Các ứng dụng của Mô hình Nhị phân

Ngoài việc sử dụng là phương pháp tính toán giá trị của một tùy chọn, mô hình nhị phân cũng có thể được sử dụng cho các dự án hoặc đầu tư với mức độ không chắc chắn cao, quyết định vốn và phân bổ tài nguyên, và các dự án có nhiều giai đoạn hoặc một tùy chọn nhúng để tiếp tục hoặc bỏ dự án tại các điểm thời gian nhất định.

Một ví dụ đơn giản là một dự án liên quan đến khoan dầu. Sự không chắc chắn của loại dự án này là liệu mảnh đất đang được khoan có dầu không, lượng dầu có thể được khoan được, nếu dầu được tìm thấy, và giá mà dầu có thể được bán sau khi khai thác.

Mô hình tùy chọn nhị phân có thể hỗ trợ trong việc đưa ra quyết định tại mỗi điểm của dự án khoan dầu. Ví dụ, giả sử chúng ta quyết định khoan, nhưng giếng dầu chỉ có lợi nhuận nếu chúng ta tìm đủ dầu và giá dầu vượt quá một mức nhất định. Cần một giai đoạn đầy đủ để xác định được lượng dầu chúng ta có thể khai thác cũng như giá dầu tại thời điểm đó. Sau giai đoạn đầu tiên (một năm, ví dụ), chúng ta có thể quyết định dựa trên hai điểm dữ liệu này liệu có tiếp tục khoan hay bỏ dự án. Các quyết định này có thể liên tục được đưa ra cho đến khi đạt đến một điểm mà khoan không còn giá trị nữa, lúc đó giếng sẽ bị bỏ lại.

Tóm lại

Mô hình nhị phân cung cấp một cái nhìn chi tiết hơn bằng cách cho phép xem xét nhiều giai đoạn về giá tài sản cơ bản và giá của tùy chọn cho nhiều giai đoạn cũng như phạm vi kết quả có thể có cho mỗi giai đoạn. Trong khi cả mô hình Black-Scholes và mô hình nhị phân đều có thể được sử dụng để định giá tùy chọn, mô hình nhị phân có phạm vi ứng dụng rộng hơn, dễ hiểu hơn và dễ sử dụng hơn.