Phân tích tích phân

Tích phân (Tiếng Anh: integral) là một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ (thực thể đó thường được diễn tả bằng một hàm số phụ thuộc vào biến số được gọi là nguyên hàm) khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó. Tích phân cùng với khái niệm đối lập của nó, vi phân (differential), đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Một ví dụ cơ bản về vai trò của tích phân là ứng dụng của nó trong bài toán tính quãng đường của một chất điểm khi đã biết vận tốc của nó. Một ví dụ khác là bài toán tính thể tích một vật được tạo bởi một mặt phẳng xoay quanh trục cố định khi đã biết về diện tích hay mật độ trên mỗi mặt cắt của vật đó. Về mặt hình học, có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc thể tích được tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật... Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.

Có thể giải thích về tích phân bằng ngôn ngữ toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)d$

x {\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}

Tích phân được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.

Ta gọi a là giới hạn dưới của tích phân, còn b là giới hạn trên của tích phân.

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:

$\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

Lịch sử của tích phân

Hơn 2.100 năm trước, Archimedes (287–212 TCN) đã thực hiện các tính toán ban đầu về diện tích và thể tích của các hình như cầu, parabol và nón. Phương pháp của ông, mặc dù chưa có khái niệm về đại số hay hàm số, vẫn rất hiện đại với thời đại đó.

Tích phân và vi phân, hai phép toán quan trọng của giải tích, đã được Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727) chính thức khám phá. Ý tưởng rằng chúng là hai phép toán nghịch đảo của nhau đã giúp họ giải quyết nhiều vấn đề toán học, vật lý và thiên văn.

J. B. Fourier (1768–1830) trong nghiên cứu về truyền nhiệt đã phát triển biến đổi Fourier, cho phép biểu diễn các hàm số dưới dạng chuỗi hàm lượng giác và ngược lại. Biến đổi này ngày nay được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực từ khoa học cơ bản đến y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.

Gauss (1777–1855) là người đầu tiên xây dựng bảng tra cứu tích phân tiện lợi. Ông và các nhà toán học khác đã áp dụng tích phân vào nhiều bài toán toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) đã mở rộng tích phân sang các số phức, và Riemann (1826–1866) cùng Lebesgue (1875–1941) đã đặt nền móng vững chắc cho lý thuyết tích phân hiện đại.

Liouville (1809–1882) đã phát triển một phương pháp để xác định khi nào tích phân vô định của một hàm cơ bản lại cũng là một hàm cơ bản. Hermite (1822–1901) đã phát triển một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức, và phương pháp này đã được mở rộng để áp dụng cho các phân thức chứa logarithm từ những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski.

Trước khi đến thời đại máy tính trong thế kỷ 20, nhiều lý thuyết phát triển để tính các tích phân khác nhau đã dẫn đến việc xây dựng các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov và O. I. Marichev là một số nhà toán học đã đóng góp cho công việc này.

Vào năm 1969, R. H. Risch đã đưa ra một phát triển lớn cho các thuật toán tính tích phân vô định thông qua công trình về lý thuyết tổng quát và ứng dụng trong tích phân của các hàm cơ bản. Phương pháp này ban đầu không thể áp dụng cho mọi hàm cơ bản do yêu cầu giải một phương trình vi phân phức tạp. Tuy nhiên, những phát triển sau này của nhiều nhà toán học đã giúp cải thiện phương pháp này, từ đó giải quyết được nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau.

Từ những năm 1990 trở đi, các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định đã được chuyển giao và tối ưu hóa cho tính toán máy tính. Công nghệ này đã giúp loại bỏ những sai sót của con người, mở ra khả năng tính hàng ngàn tích phân mới chưa từng xuất hiện trong các bảng tra cứu truyền thống. Một số phần mềm tính toán thương mại như Mathematica, Maple,... hiện nay có khả năng tính toán các biểu thức tích phân vô định.

Thuật ngữ và ký hiệu toán học

Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) trên biến x được viết là:

Tích phân của hàm số f(x) được biểu diễn như sau trong toán học:

Với:

- 'Tích phân' là toán tử dùng để tính diện tích dưới đường cong của hàm số.

Danh sách các biểu thức tích phân cơ bản

Đây là danh sách các nguyên hàm của một số hàm số phổ biến.

Hàm hằng và hàm luỹ thừa:

• $\int <!--\; \int \; -->0dx=C$
• $\int <!--\; \int \; -->dx=x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ với $a\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$

Hàm mũ và hàm logarit:

• $\int <!--\; \int \; -->e^{x}dx=e^x+C$
• $\int <!--\; \int \; -->a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln <!--\; \; -->a}+C$
• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{x}=\ln <!--\; \; -->|x|+C$

Hàm số lượng giác:

• $\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->xdx=\sin <!--\; \; -->x+C$

Hàm số ngược giác:

• $\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}=\arcsin <!--\; \; -->x+C=-<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->x+C$

Phân loại hàm số lượng giác

Tích phân Riemann

Có hai loại tích phân Riemann: tích phân xác định (có giới hạn dưới và giới hạn trên) và tích phân bất định. Tích phân Riemann xác định của hàm f(x) với x chạy từ a (giới hạn dưới) đến b (giới hạn trên) được viết là:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx$

Dạng bất định (không có giới hạn) được viết là:

${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}f\left(x\right)dx$

Theo định lý cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-<!--\; -\; -->F\left(a\right)$

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại đồng thời nhiều hàm số sai lệch nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều kiện chung của vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

Ngày nay, biểu thức toán học của tích phân bất định có thể được tính tự động cho nhiều hàm số bằng máy tính. Giá trị số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất định tương ứng không tồn tại.

Định lý cơ bản thứ nhất của giải tích được biểu diễn qua đẳng thức sau:

$\frac{d}{dx}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx=f\left(x\right)$ và $\frac{d}{dx}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f\left(x\right)dx=-<!--\; -\; -->f\left(x\right)$

Có tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản. Dưới đây là một số ví dụ:

${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}dx$, ${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{e^{-<!--\; -\; -->x}}{x}dx$, ${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}dx$, ${\int <!--\; \int \; -->}_{}^{}\frac{\cos <!--\; \; -->x}{x}dx$

Tích phân Lebesgue

Một hàm được gọi là đơn giản nếu tập ảnh của nó là hữu hạn. Các giá trị của tập ảnh là α₁, ..., αₙ và đặt Aᵢ = {x : f(x) = αᵢ}, ta có

f = ∑_{i=1}^{n} αᵢχ_{Aᵢ} trong đó χ_{Aᵢ} là hàm chỉ thị của tập hợp Aᵢ.

Gọi χ_{Aᵢ} là hàm chỉ thị của tập hợp Aᵢ.

Gọi μ là một độ đo không âm trên một không gian độ đo X và f là một hàm đơn giản f : X → [0, ∞). Hàm f là đo được khi và chỉ khi các tập hợp Aᵢ là đo được. Tích phân của f theo độ đo μ trên một tập con đo được E ⊂ X được định nghĩa là

∫_{E}fdμ = ∑_{i=1}^{n} μ(Aᵢ ∩ E).

Nếu ( F ) là một hàm không âm đo được, ta định nghĩa ( int_{E} F , dmu = sup_{0 leq f ext{ đơn giản } leq F} int_{E} f , dmu .

Một hàm ( F ) được gọi là khả tích Lebesgue nếu ( int_{X} |F| , dmu < infty ). Ký hiệu ( F^{+} = max{f,0} ) và ( F^{-} = -min{f,0} ). Đây đều là các hàm không âm. Thế thì tích phần của ( F ) là

( int_{E} F , dmu = int_{E} F^{+} , dmu - int_{E} F^{-} , dmu

Định lý Lebesgue về sự hội tụ đơn điệu

Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn

Bổ đề Fatou

Các loại tích phân khác

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng rộng rãi, còn có một số loại tích phân khác như:

- Tích phân Riemann-Stieltjes, một mở rộng của tích phân Riemann.