Buzz
- Bài viết này khám phá khái niệm phần tử đơn vị trong toán học, và cung cấp thông tin thêm về các ý nghĩa khác tại phần tử đơn vị (định hướng).
Trong toán học, phần tử đơn vị (hay còn gọi là phần tử trung hòa) là một phần tử đặc biệt trong một tập hợp khi thực hiện phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Phần tử này không thay đổi giá trị của phần tử khác khi kết hợp với nó. Khái niệm này được áp dụng trong các cấu trúc đại số như nhóm vành.
Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được viết ngắn gọn thành đơn vị nếu không gây nhầm lẫn.
Định nghĩa
Cho một tập hợp S với phép toán hai ngôi * trên tập hợp đó, phần tử được gọi là
- Đơn vị trái nếu
- Đơn vị phải nếu
- Đơn vị hai phía (hoặc đơn giản là đơn vị), nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Ví dụ
| Tập hợp | Phép toán | Phần tử đơn vị |
|---|---|---|
| Số thực | + (Phép cộng) | 0 |
| Số thực | · (Phép nhân) | 1 |
| Số phức | + (phép cộng) | 0 |
| Số phức | · (phép nhân) | 1 |
| Số nguyên dương | Bội chung nhỏ nhất | 1 |
| Số nguyên không âm | Ước chung lớn nhất | 0 |
| Ma trận m x n | Phép cộng ma trận | Ma trận không |
| Ma trận vuông n x n | Phép nhân ma trận | In (Ma trận đơn vị) |
| Ma trận m x n | ○ (Tích Hadamard) | Jm, n (Ma trận một) |
| Tất cả các hàm số từ tập, M, tới chính nó | ∘ (phép hợp hàm) | Hàm đồng nhất |
| Tất cả các phân phối trên nhóm , G | ∗ (tích chập) | δ (Hàm delta Dirac) |
| Số thực mở rộng | Nhỏ nhất/infimum | +∞ |
| Số thực mở rộng | Lớn nhất/supremum | −∞ |
| Các tập con của tập M | ∩ (Phép giao tập hợp) | M |
| Các tập hợp | ∪ (Phép hợp tập hợp) | ∅ (Tập rỗng) |
| Xâu, danh sách | Phép nối | Xâu rỗng, danh sách rỗng |
| Đại số Boole | ∧ (Phép hội) | ⊤ (đúng) |
| Đại số Boole | ↔ (Phép tương đươnng) | ⊤ (đúng) |
| Đại số Boole | ∨ (Phép tuyển) | ⊥ (sai) |
| Đại số Boole | ⊕ (Phép xor) | ⊥ (sai) |
| Nút thắt | Tổng nút | Mở nút |
| Mặt phẳng compact | # (Tổng liên thông) | S |
| Nhóm | Tích trực tiếp của nhóm | Nhóm tầm thường |
| Hai phần tử, {e, f} | ∗ định nghĩa bởi e ∗ e = f ∗ e = e và f ∗ f = e ∗ f = f |
Cả hai e và f dều là đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải và đơn vị hai phía |
| Các quan hệ thuần nhất trên tập X | Tích quan hệ | Quan hệ đơn vị |
Như ví dụ dưới đây, tập hợp (S,) có thể có nhiều hơn một đơn vị trái và nhiều hơn một đơn vị phải. Tuy nhiên, nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng phải giống nhau và chỉ có duy nhất một đơn vị hai phía.
Thực tế, nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thì l = l r = r. Do đó, không thể có nhiều hơn một đơn vị hai phía.
- Phần tử đơn vị cộng
- Phần tử đơn vị nhân
- Lý thuyết nhóm
- Nửa nhóm (Semigroup)
- Phần tử nghịch đảo (Inverse element)
- Nhóm tựa (Quasigroup)
- Nhóm đơn vị (Monoid)
