Phép chia

Trong toán học, đặc biệt là trong số học cơ bản, phép chia (tiếng Anh: Division) thường được biểu thị bằng dấu ':', '/' hoặc '÷' là một phép toán số học. Cụ thể, nếu b nhân c bằng a, viết là:

$a=b\times <!--\; \times \; -->c$

trong đó b không phải là số không, thì a chia b cho c, viết là:

$a:b=c$

Ví dụ,

$6:3=2$

bởi vì

$3\times <!--\; \times \; -->2=6$

Trong biểu thức này, a là số bị chia, b là số chia và c là thương.

Khái niệm phép chia liên quan đến khái niệm phân số. Khác với phép cộng, trừ và nhân, phép chia không đóng trên tập số nguyên. Kết quả của phép chia hai số nguyên có thể có phần dư. Để tiếp tục với phép chia có phần dư, hệ số cần mở rộng với phân số hoặc số hữu tỉ.

Ký hiệu

Phép chia thường được biểu diễn trong đại số và khoa học bằng cách đặt số bị chia trên số chia với một dòng kẻ ngang giữa chúng, còn gọi là vinculum hay thanh phân số. Ví dụ, a chia b được viết là

$\frac{a}{b}$

Có thể đọc là 'a bị chia bởi b', 'a chia cho b', 'a trên b' hay 'a phần b'. Một cách biểu diễn phép chia trên cùng một dòng là viết số bị chia (hay tử số), sau đó dấu gạch chéo và số chia (hay mẫu số) như sau:

$a/b$

Đây là cách thông thường để biểu diễn phép chia trong hầu hết ngôn ngữ lập trình của máy tính vì nó có thể dễ dàng nhập thành một chuỗi ký tự với bảng mã ASCII.

Trong bản in, người ta cũng sử dụng một dạng biểu diễn giữa hai cách trên, là sử dụng dấu gạch chéo nhưng viết số bị chia lên trên và số chia dưới dạng sau:

${}^a/{}_b$

Bất kỳ hình thức nào ở trên đều có thể được dùng để biểu diễn một phân số. Phân số là một cách biểu diễn phép chia trong đó số bị chia (tử số) và số chia (mẫu số) đều là số nguyên.

Ngoài ra, một cách thông thường trong toán học (không dùng phân số) để thể hiện phép chia là sử dụng dấu obelus (dấu chia), ví dụ như:

$a÷<!--\; ÷\; -->b$

Dạng này ít được sử dụng ngoại trừ trong giáo dục sơ cấp ở các nước như Anh hoặc Mỹ. Tiêu chuẩn ISO 80000-2-9.6 khuyến cáo không nên sử dụng dấu này. Ở các quốc gia như Ý, Nga, Ba Lan và Việt Nam, ký hiệu này thường được dùng trong kỹ thuật để biểu thị một khoảng giá trị. Một số quốc gia khác của châu Âu (như Na Uy) sử dụng dấu này để chỉ phép trừ (chủ yếu trong các văn bản hành chính). Dấu obelus được giới thiệu bởi nhà toán học Johann Rahn vào năm 1659 trong cuốn sách Teutsche Algebra. Khi sử dụng đơn lẻ, dấu này thường để biểu diễn phép chia, như biểu tượng phép chia trên máy tính cầm tay.

Trong tiếng Việt và một số quốc gia khác sử dụng tiếng Anh, phép 'a chia cho b' được viết là

$a:b$

Ký hiệu này được đưa ra vào năm 1631 bởi William Oughtred trong sách Clavis Mathematicae và sau đó được phổ biến bởi Gottfried Wilhelm Leibniz trong tạp chí Acta eruditorum (1684). Leibniz không thích việc sử dụng hai dấu khác nhau cho hai khái niệm phép chia và tỉ số. Tuy nhiên, trong tiếng Anh, cách sử dụng dấu hai chấm thường chỉ được dùng để giải thích khái niệm tỉ số.

Trong toán học sơ cấp, ký hiệu $b)a$ hoặc $b)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}$ được dùng để biểu thị a chia cho b. Ký hiệu này được Michael Stifel giới thiệu lần đầu trong cuốn sách Arithmetica integra, xuất bản năm 1544.

Đặc tính

• Số nào chia cho 1 đều bằng chính số đó.

$a:1=a$

• Số nghịch đảo của số a (khác 0) là 1 chia cho a và ngược lại. Hai số nghịch đảo của nhau khi nhân với nhau sẽ bằng 1.

$a\times <!--\; \times \; -->\frac{1}{a}=1(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• 0 chia cho bất kỳ số nào khác 0 đều bằng 0.

$0:a=0(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Không thực hiện phép chia cho 0. Đúng nghĩa, phép chia cho 0 được coi là không xác định (undefined).
  • Riêng phép chia $0:0$, khi đó là dạng vô hướng của một giới hạn, đây là một dạng không xác định (indeterminate form).
• Tính chất phân phối: Phép chia có tính phân phối phải, không có tính phân phối trái với phép cộng (trừ).

$\frac{a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n}{b}=\frac{a_1}{b}\pm <!--\; \pm \; -->\frac{a_2}{b}\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->\frac{a_n}{b}(b\ne <!--\; \ne \; -->0)$

tuy nhiên $\frac{b}{a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{b}{a_1}\pm <!--\; \pm \; -->\frac{b}{a_2}\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->\frac{b}{a_n}$. Ví dụ $\frac{12}{2+4}=\frac{12}{6}=2$, tuy nhiên $\frac{12}{2}+\frac{12}{4}=6+3=9$.

Tính toán

Phương pháp bằng tay

Phép chia thông thường được biết đến qua ý niệm 'chia đều' một tập hợp, ví dụ như chia kẹo thành các phần bằng nhau. Cách phân chia một số vật cho mỗi phần theo từng vòng dẫn tới phương pháp 'chia đoạn', nghĩa là chia bằng cách lặp lại phép trừ. Ví dụ trong phép chia 20 chia 4, ta bắt đầu với số 20 rồi trừ mỗi lần 4 đơn vị, để về lại số 0:

Bắt đầu từ 20, sau mỗi lần trừ đi 4 đơn vị, chúng ta lần lượt thu được 16, 12, 8, 4 và cuối cùng là 0.

Phép tính 20 trừ 4 bằng 16.

16 trừ 4 bằng 12.

12 trừ 4 bằng 8.

Cách phân chia có tổ chức và hiệu quả hơn (tuy nhiên cũng có tính hình thức và áp lực cao hơn, và khó nhìn thấy được một cách toàn diện về ý nghĩa của phép chia) được thực hiện thông qua bảng cửu chương với phép chia ngắn nếu số bị chia nhỏ. Phép chia dài được áp dụng cho số bị chia lớn hơn. Nếu số bị chia có phần lẻ không chia hết (gọi là phần thập phân), ta có thể tiếp tục phép chia cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn. Nếu số chia chứa phần lẻ thập phân, ta di chuyển phần thập phân sang phải một đơn vị cho cả số bị chia và số chia rồi tiến hành phép chia như cách đã nói cho đến khi không còn phần lẻ nữa. Phương pháp này phổ biến trên toàn thế giới.

• Ở Tây Ban Nha, Ý, Pháp, các khu vực nói tiếng Pháp của Canada, Bồ Đào Nha, Litva, Rumani, Thổ Nhĩ Kỳ, Hy Lạp, Bỉ, Belarus, Ukraina và Nga, cũng như Iran, Việt Nam và Mông Cổ, một phép chia thường được biểu diễn với số bị chia viết bên trái, số chia viết bên phải và hai số được phân tách bởi một gạch dọc; thương số viết dưới số chia và được phân tách bởi một gạch ngang. Ví dụ, phép chia 127 : 4 được trình bày như sau:

127 |4    
   −12  |31,75 (12 : 4 = 3)
     07        (hạ chữ số 7)
    − 4        (7 : 4 = 1 dư 3)
      30       (đánh dấu phẩy ở thương, hạ chữ số 0)
     −28       (30 : 4 = 7 dư 2)
       20      (hạ chữ số 0)
      −20      (20 : 4 = 5)
        0

Cách tính toán được biểu diễn như sau:

1. Lấy (bộ) số ngắn nhất đầu tiên trong số bị chia mà có thể chia cho số chia. Ở đây vì 1 không chia hết cho 4 nên ta lấy 12 chia 4 được 3; 3 nhân 4 bằng 12; 12 trừ 12 bằng 0.
2. Hạ chữ số tiếp theo xuống. Ở đây ta hạ 7; 7 chia 4 được 1; 1 nhân 4 bằng 4; 7 trừ 4 bằng 3.
3. Nếu phần số nguyên chia hết mà muốn tiếp tục chia, ta phải đánh dấu thập phân ở số thương và hạ một số 0 ở số chia. Ở đây ta hạ 0; 30 chia 4 được 7; 7 nhân 4 bằng 28; 30 trừ 28 bằng 2.
4. Hạ thêm một số 0; 20 chia 4 được 5; 5 nhân 4 bằng 20; 20 trừ 20 bằng 0. Kết quả là 31,75.

• Ở Cộng hòa Síp và Pháp, phổ biến hơn là sử dụng dấu gạch ngang suốt chiều dài của bài toán.

127  |4    
   −12   |31,75
     07  |
    − 4  |
      30 |
     −28 |
       20|
      −20|
        0|

• Ở Áo, Đức và Thụy Sĩ, phép chia được viết gọn nhưng thực hiện tương tự như sau:

127 : 4 = 31,75
   −12
     07
     −4
      30
     −28
       20
      −20
        0

Phương pháp viết này cũng được áp dụng tại Đan Mạch, Na Uy, Bungari, Bắc Macedonia, Ba Lan, Croatia, Slovenia, Hungary, Cộng hòa Séc, Slovakia, Việt Nam và Serbia.

• Ở Hà Lan (và Mỹ vào các thập niên 19 và đầu 20), phương pháp viết sau được sử dụng:

12 / 135 \ 11,25         
        12
         15
         12
          30
          24
           60
           60
            0

• Ở các nước sử dụng tiếng Anh (bao gồm cả Ấn Độ) cùng Trung Quốc, Nhật Bản và Hàn Quốc, cách trình bày khác được áp dụng: số bị chia viết bên phải số chia, phân tách bởi dấu ngoặc; thương số viết trên số bị chia, phân tách bởi dấu gạch ngang. Khi hạ các số 0 mới ở phần thập phân để chia, thường cũng viết các số 0 đó ở trên số bị chia. Chú ý rằng ở đây sử dụng dấu chấm làm dấu thập phân.

  31.75     
   4)127.00
     12        
      07        
       4                                                    
       3.0     
       2.8      
         20    
         20    
          0

• Ở các nước Mỹ Latinh (trừ Argentina, Bolivia, México, Colombia, Paraguay, Venezuela và Brazil), cách trình bày tương tự như ở Áo, Đức hay Thụy Sĩ, chỉ khác là dấu '÷' được sử dụng làm dấu chia.

127 ÷ 4 = 31,75
    12
     07
      4
      30
      28
       20
       20
        0

• Ở México, cách viết tiếng Anh được áp dụng, tuy nhiên phần dư và các số hạ chỉ được viết ra.

  31.75     
   4)127.00        
      07      (12 - 12 = 0)                                        
       3.0    (7 - 4 = 3) 
         20   (30 - 28 = 2)
          0

• Ở Bolivia, Brazil, Paraguay, Venezuela, Colombia, Peru, (México, Uruguay và Argentina), phương pháp viết châu Âu được áp dụng, nhưng thương số không có dấu gạch dọc phân tách:

127 |4    
   −12   31,75  
     07        
    − 4      
      30       
     −28       
       20     
      −20      
        0

• Ở Phần Lan, vào những năm 1970, việc viết theo phong cách châu Âu đã được thay thế bằng tiếng Anh. Tuy nhiên, từ những năm 2000, một số sách giáo khoa lại áp dụng cách viết theo kiểu Đức để duy trì thứ tự số bị chia.

Các dụng cụ khác

Cách tính chia trên bàn tính có thể được thực hiện bằng cách đặt số bị chia lên bàn tính và trừ số chia từng chữ số trong kết quả, đếm số lần chia tại mỗi vị trí.

Để chia hai số với nhau, người ta có thể sử dụng bảng logarit bằng cách lấy logarit của hai số đó, sau đó tra bảng logarit ngược để lấy giá trị của thương số.

Cách tính chia bằng thước đo trượt đơn giản bằng cách đặt số chia trên vạch đo C và số bị chia trên vạch đo D. Kết quả thương số được đọc tại vị trí hàng ngay bên trái của vạch đo C trên vạch đo D. Tuy nhiên, người sử dụng cần phải tự tính toán phần thập phân.

Sử dụng máy tính

Ngày nay, các máy tính hiện đại có thể thực hiện phép chia bằng những phương pháp nhanh hơn thay vì dùng phép chia dài. Xem thêm về Thuật toán phép chia.

Trong toán học modulo, khi một số có nghịch đảo modulo, chúng ta có thể thực hiện phép chia với số đó bằng cách nhân với nghịch đảo modulo của nó. Phương pháp này rất hữu ích trên các máy tính không hỗ trợ phép chia nhanh.

Phép chia phân số

• Để chia hai phân số, chúng ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai (hay phân số thứ hai đảo ngược).

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}(b\ne <!--\; \ne \; -->0;c\ne <!--\; \ne \; -->0;d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để chia một số nguyên cho một phân số, ta nhân số nguyên với phân số đảo ngược.

$a:\frac{c}{d}=a\times <!--\; \times \; -->\frac{d}{c}=\frac{ad}{c}(c\ne <!--\; \ne \; -->0;d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Để chia một phân số cho một số nguyên, ta giữ nguyên tử số và nhân mẫu số với số nguyên đó.

$\frac{a}{b}:c=\frac{a}{bc}(b\ne <!--\; \ne \; -->0;c\ne <!--\; \ne \; -->0)$