Phép đo khoảng cách Euclid

Trong toán học, khoảng cách Euclid (tiếng Anh: Euclidean distance) giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Có thể tính nó từ tọa độ Descartes của hai điểm bằng cách sử dụng định lý Pythagoras, do đó còn có tên gọi khác là khoảng cách Pythagoras (tiếng Anh: Pythagorean distance). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid và Pythagoras, dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách và mối liên hệ giữa định lý Pythagoras với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.

Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Toán học nâng cao khái quát hóa khái niệm khoảng cách sang không gian mêtric trừu tượng cũng như nghiên cứu một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid. Một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa sử dụng bình phương khoảng cách Euclid thay vì chính khoảng cách đó.

Các công thức khoảng cách

Một chiều

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên trục số là giá trị tuyệt đối của hiệu tọa độ của chúng. Ví dụ, với hai điểm $p$ và $q$ trên trục số, khoảng cách giữa chúng được tính bằng cách lấy hiệu tọa độ của chúng và lấy giá trị tuyệt đối của kết quả.

$d(p,q)=|p-<!--\; -\; -->q|.$

Một công thức phức tạp hơn, nhưng cho cùng kết quả với công thức trên và dễ dàng áp dụng sang không gian nhiều chiều hơn, là:

$d(p,q)=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->q{)}^2}.$

Trong công thức này, việc bình phương và lấy căn bậc hai không thay đổi giá trị của một số dương, nhưng biến một số âm bất kỳ thành giá trị tuyệt đối của nó.

Hai chiều

Trong mặt phẳng Euclid, cho điểm $p$ có tọa độ Descartes là $(p_1,p_2)$ và điểm $q$ có tọa độ $(q_1,q_2)$. Khi đó khoảng cách giữa $p$ và $q$ được tính bằng:

$d(p,q)=\sqrt{(q_1-<!--\; -\; -->p_1{)}^2+(q_2-<!--\; -\; -->p_2{)}^2}.$

Có thể suy ra công thức trên bằng cách áp dụng định lý Pythagoras cho một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm $p$ và $q$. Các biểu thức bình phương bên trong dấu căn cho giá trị diện tích hình vuông dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, và dấu căn ở bên ngoài chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài của cạnh huyền.

Hơn nữa, có thể tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ cực của chúng. Nếu tọa độ cực của $p$ là $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$ và tọa độ cực của $q$ là $(s,\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$, thì khoảng cách giữa chúng là:

$d(p,q)=\sqrt{r^2+s^2-<!--\; -\; -->2rs\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}.$

Khi $p$ và $q$ là hai điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, có thể dùng công thức đã áp dụng cho hai điểm trên trục số:

$d(p,q)=|p-<!--\; -\; -->q|.$

Nhiều chiều

Trong không gian ba chiều, với hai điểm có tọa độ Descartes cho trước, khoảng cách giữa chúng là:

$d(p,q)=\sqrt{(p_1-<!--\; -\; -->q_1{)}^2+(p_2-<!--\; -\; -->q_2{)}^2+(p_3-<!--\; -\; -->q_3{)}^2}.$

Tổng quát, với hai điểm có tọa độ Descartes cho trước trong không gian Euclid $n$ chiều, khoảng cách giữa chúng là:

$d(p,q)=\sqrt{(p_1-<!--\; -\; -->q_1{)}^2+(p_2-<!--\; -\; -->q_2{)}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(p_i-<!--\; -\; -->q_i{)}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(p_n-<!--\; -\; -->q_n{)}^2}.$

Đối tượng hình học khác nhau

Với hai đối tượng hình học không phải là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó. Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng Euclid
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian Euclid ba chiều
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Euclid ba chiều

• Minh họa khoảng cách giữa điểm P(x₀, y₀) và đường thẳng Ax + By + C = 0
• Minh họa khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng P

Tính chất của khoảng cách

Khoảng cách Euclid là một minh chứng cơ bản về khoảng cách trong không gian met-ri, và thỏa mãn những tính chất cơ bản của một không gian met-ri:

Nó có tính chất đối xứng, tức là với mọi điểm p và q bất kỳ thì khoảng cách d(p,q) = d(q,p). Điều này ngụ ý rằng khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào thứ tự của chúng.

Nó có tính phân biệt dương, có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt luôn là một số dương, và khoảng cách từ một điểm đến chính nó là 0.

Nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: với ba điểm p, q, r bất kỳ, tổng của hai đoạn đường d(p,q) + d(q,r) luôn lớn hơn hoặc bằng d(p,r). Đây là một tính chất quan trọng trong hình học không gian met-ri.

Bất đẳng thức Ptolemy liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm p, q, r, và s. Theo đó, tổng tích của các cặp đoạn đường là một số không nhỏ hơn tích của hai đoạn chéo của tứ giác này.

Bình phương khoảng cách Euclid là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian.

Paraboloid là biểu đồ của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ.

Bình phương khoảng cách Euclid giữa hai điểm p và q có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các bình phương của hiệu giữa các thành phần của chúng.

Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid có vai trò quan trọng trong thống kê, đặc biệt là trong phương pháp bình phương tối thiểu và phân tích cụm.

Bình phương khoảng cách Euclid không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nhưng là một hàm lồi hoàn toàn và trơn giữa hai điểm.

Ma trận khoảng cách Euclid lưu trữ tất cả các bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn, thường được sử dụng trong hình học khoảng cách.

Khái quát hóa của khoảng cách Euclid trong không gian vectơ.

Chuẩn Euclid trong không gian vectơ là một chuẩn vô hướng có tính chất bất biến khi quay không gian quanh gốc.

Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều.

Khoảng cách Chebyshev xem xét khoảng cách giữa các chiều có nghĩa nhất.

Khoảng cách Manhattan tính khoảng cách theo các trục tọa độ.

Khoảng cách Minkowski tổng quát hóa khoảng cách Euclid, Chebyshev và Manhattan.

Lịch sử và xuất xứ của khái niệm khoảng cách Euclid trong không gian toán học.

Định lý Pythagoras quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi Descartes phát minh tọa độ Descartes vào năm 1637.

Liên kết ngoài về các công thức khoảng cách trong toán học từ Encyclopædia Britannica (tiếng Anh).

Công thức khoảng cách từ MathWorld, bài viết của Eric W. Weisstein.