Phép nhân

Phép nhân (tiếng Anh: Multiplication) là phép toán cơ bản trong toán học, dùng để tính toán một số với một số khác. Đây là một trong bốn phép toán chính (cùng với cộng, trừ, chia). Phép nhân tác động lên hai hoặc nhiều đối tượng toán học (còn gọi là nhân tử) để tạo ra kết quả mới. Ký hiệu của phép nhân là '×' (hoặc '·', trong lập trình là dấu *). Phép nhân số nguyên có thể được xem như việc cộng một số với chính nó nhiều lần; ví dụ, 3 + 3 + 3 + 3 bằng 12. Sử dụng phép nhân sẽ nhanh hơn: 3 × 4 = 12 (trong đó, số hạng đầu tiên là số cộng, còn số hạng thứ hai là số lần cộng).

Phép toán nhân hai số

$A\times <!--\; \times \; -->B=C$

với A là số nhân, B là số bị nhân (A và B đều là nhân tử); C là kết quả của phép nhân.

Ký hiệu

Trong toán học và cuộc sống hàng ngày, dấu nhân được biểu thị bằng ký hiệu '×' (không nên nhầm lẫn với chữ cái x). Ký hiệu này thường được dạy từ bậc tiểu học ở hầu hết các quốc gia. Ví dụ:

$2\times <!--\; \times \; -->3=6$ ('hai nhân ba bằng sáu')

$2\times <!--\; \times \; -->3\times <!--\; \times \; -->5=6\times <!--\; \times \; -->5=30$

Cũng có một số ký hiệu khác:

• Trong đại số, để phân biệt dấu nhân × với chữ cái x (thường dùng làm biến số), phép nhân còn được biểu diễn bằng dấu chấm giữa dòng theo tiêu chuẩn ISO 80000-2. Ký hiệu này do nhà toán học Gottfried Wilhelm Leibniz giới thiệu. Ở các quốc gia sử dụng dấu phẩy làm dấu thập phân, dấu chấm cũng có thể được dùng thay cho dấu nhân. Ví dụ:

$3\cdot <!--\; \cdot \; -->8$ hoặc $3.8$

• Trong đại số, khi làm việc với biến số hoặc giữa các biến số, dấu nhân không cần thiết phải thể hiện rõ (ví dụ: $xy$ nghĩa là $x$ nhân $y$ hoặc $7x$ nghĩa là 7 nhân $x$); tương tự đối với phép nhân với biểu thức trong dấu ngoặc hay giữa các dấu ngoặc (ví dụ: $5\left(2\right)$, $\left(5\right)2$ hoặc $\left(5\right)\left(2\right)$ đều có nghĩa là 5 nhân 2). Phương pháp này có thể gây nhầm lẫn khi các phần tử có cùng tên với một phần tử khác, hoặc bị hiểu lầm là tên hàm số, hoặc khó xác định thứ tự thực hiện phép tính.
• Trong lập trình máy tính và phần mềm (chỉ sử dụng các ký tự trên bàn phím), dấu sao (*) thường được dùng để biểu thị phép nhân.

Tính chất

• Giống như phép cộng, phép nhân cũng có tính chất giao hoán, nghĩa là thay đổi vị trí của các thừa số không làm thay đổi kết quả. Nếu a và b là hai số bất kỳ thì

$a\times <!--\; \times \; -->b=b\times <!--\; \times \; -->a$

• Phép nhân có tính chất kết hợp, có nghĩa là khi nhân ba số hoặc nhiều hơn, thứ tự thực hiện phép nhân không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.

$(a\times <!--\; \times \; -->b)\times <!--\; \times \; -->c=a\times <!--\; \times \; -->(b\times <!--\; \times \; -->c)$

• Nhân một số với 1 (hoặc 1 nhân với một số) luôn cho kết quả bằng chính số đó.

$a\times <!--\; \times \; -->1=1\times <!--\; \times \; -->a=a$

• Nhân một số với 0 (hoặc 0 nhân với một số) sẽ luôn cho kết quả là 0.

$a\times <!--\; \times \; -->0=0\times <!--\; \times \; -->a=$

• Nhân một số với -1 (hoặc -1 nhân với số nào) sẽ cho kết quả là số đối của số đó.

$x\times <!--\; \times \; -->(-<!--\; -\; -->1)=(-<!--\; -\; -->1)\times <!--\; \times \; -->x=(-<!--\; -\; -->x)$ trong đó $x+(-<!--\; -\; -->x)=0$

• Nhân một số khác 0 với số nghịch đảo của nó sẽ cho kết quả là 1.

$a\times <!--\; \times \; -->\frac{1}{a}=1(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$

• Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng (hoặc phép trừ):

$b\times <!--\; \times \; -->(a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n)=(a_1\pm <!--\; \pm \; -->a_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->a_n)\times <!--\; \times \; -->b=b{a}_1\pm <!--\; \pm \; -->b{a}_2\pm <!--\; \pm \; -->...\pm <!--\; \pm \; -->b{a}_n$

Các phương pháp tính toán

Trên thế giới tồn tại nhiều phương pháp nhân số (chủ yếu trong số học và đại số cơ bản). Những phương pháp này thường yêu cầu người sử dụng nắm vững bảng cửu chương (từ 1 đến 9), trừ phương pháp tá điền của người Nga.

Phương pháp đặt tính truyền thống

Khi sử dụng một hệ cơ số (thường là hệ cơ số 10), phương pháp phổ biến nhất là đặt tính theo hàng. Các thừa số và kết quả được xếp thẳng hàng với nhau. Ta nhân thừa số đầu tiên với từng chữ số của thừa số thứ hai để có các 'tích riêng', sau đó cộng tất cả các tích riêng lại để có kết quả cuối cùng.

Nhân với số có một chữ số

Khi nhân một số (thừa số thứ nhất) với số có một chữ số, ta thực hiện nhân từng chữ số của thừa số thứ nhất với chữ số của thừa số thứ hai, từ phải sang trái. Phép tính có thể được thực hiện trên một hàng duy nhất hoặc theo dạng hàng ngang/hàng dọc như dưới đây. Ví dụ, phép nhân 268 × 7 được tính theo dạng hàng dọc như sau:

2 6 8
×       7
—————————
  1 8 7 6

• Hàng đơn vị: 8 nhân 7 bằng 56, viết 6 và nhớ 5 (sang hàng chục)
• Hàng chục: 6 nhân 7 cộng 5 bằng 47, viết 7 và nhớ 4 (sang hàng trăm)
• Hàng trăm: 2 nhân 7 cộng 4 bằng 18, viết 18. Kết quả cuối cùng là 1876.

Biến thể hàng dọc

Ví dụ dưới đây minh họa cách sử dụng phương pháp đặt tính theo hàng dọc, phương pháp phổ biến ở nhiều quốc gia, bao gồm Việt Nam, để tính phép nhân 234 × 705.

234
×   705
———————
   1170 ( = 234 × 5)
   000  ( = 234 × 0)
 163800 ( = 234 × 700)
———————
 164970 ( = 234 × 705)

Mỗi chữ số của thừa số thứ hai được nhân theo hàng tương ứng. Ví dụ, tích riêng thứ ba là kết quả của phép nhân 234 × 700 = 163800 (do đó, tích này được dịch chuyển hai chữ số sang bên trái hoặc thêm hai chữ số 0 vào cuối).

Chú ý: Vì nhân với 0 luôn bằng 0, nên tích riêng thứ hai trong ví dụ trên (000) không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng và có thể bỏ qua.

Biến thể hàng ngang

Tại một số quốc gia như Đức, phép nhân thường được thực hiện theo phương pháp hàng ngang như sau (lưu ý rằng hàng lớn nhất của thừa số thứ hai được nhân trước):

234 · 705
———————————
    163800 
       000
      1170
———————————
    164970

Áp dụng cho tạp số

Tạp số là các số không thuộc hệ thống thập phân chuẩn (như thời gian, góc, v.v...). Để nhân một tạp số với số nguyên, ta nhân từng đơn vị và chuyển đổi các đơn vị nhỏ sang đơn vị lớn nếu cần thiết. Ví dụ dưới đây là kết quả của việc nhân 2 giờ 25 phút 16 giây với 6.

2 giờ 25 phút 16 giây
×                   6
——————————————————————————
   12 giờ 150 phút 96 giây
——————————————————————————
   12 giờ 151 phút 36 giây
——————————————————————————
   14 giờ 31 phút 36 giây

Sau khi nhân các đơn vị riêng biệt, cần phải chuyển đổi từng đơn vị từ nhỏ lên lớn như sau:

• 96 giây = 1 phút 36 giây, do đó còn lại 36 giây và cộng thêm 1 phút vào hàng phút.

• 151 phút = 2 giờ 31 phút, do đó còn lại 31 phút và cộng thêm 2 giờ vào hàng giờ để có kết quả cuối cùng.

Kẻ bảng

Phương pháp này được đưa vào chương trình giảng dạy chính thức tại Anh Quốc và Xứ Wales từ thập niên 1990, và sau đó cũng được áp dụng ở một số nơi tại Hoa Kỳ vào thập niên 2010. Nó dựa trên tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân và có thể được minh họa bằng cách tính diện tích của một hình chữ nhật.

Phương pháp

Mỗi thừa số được chia thành các phần hàng (như nghìn, trăm, chục, đơn vị,...) và được điền vào các hàng và cột của một bảng. Sau đó, nhân tất cả các hàng và cột với nhau, rồi cộng tổng các kết quả lại để có đáp số cuối cùng.

Ví dụ

Dưới đây là ví dụ về việc sử dụng phương pháp kẻ bảng để tính phép nhân 156 × 89. Cụ thể như sau:

• Số 156 được phân tách thành 1 trăm, 5 chục, 6 đơn vị (dọc theo các cột).
• Số 89 được phân tách thành 8 chục, 9 đơn vị (theo các hàng ngang).

8000
  4000
   480
   900
   450
+   54
——————
 13884  Vậy 156 × 89 = 13884

Khi các thừa số có nhiều chữ số, số lượng tích riêng có thể trở nên rất lớn, làm cho việc cộng các kết quả trở nên khó khăn. Tuy nhiên, phương pháp này vẫn là một công cụ hữu ích để giới thiệu về phép nhân nhiều chữ số và có thể là phương pháp cần thiết trong thời đại tự động hóa, khi các phép tính thường được thực hiện bằng máy tính hoặc bảng tính.

Phương pháp tá điền Nga

Phương pháp này, hay còn gọi là phương pháp nhị phân, đã được áp dụng bởi những tá điền xưa, những người chưa học thuộc bảng cửu chương, và cũng đã được sử dụng từ thời kỳ Ai Cập cổ đại. Phương pháp này có ưu điểm là dễ dạy, không cần ghi nhớ, và có thể thực hiện mà không cần dụng cụ viết. Tuy nhiên, nhược điểm là có thể trở nên phức tạp với các thừa số có nhiều chữ số.

Phương pháp

Trên giấy, viết thừa số thứ nhất vào một cột. Dưới đó, ghi một nửa của số vừa ghi (bỏ qua phần dư), lặp lại cho đến khi còn lại số 1. Ở một cột bên cạnh, ghi thừa số thứ hai và tiếp tục ghi gấp đôi số vừa ghi ở dưới, lặp lại cho đến khi các số bên cạnh có số 1. Sau đó, gạch bỏ các hàng có số chẵn ở cột đầu tiên. Cộng các số ở cột thứ hai còn lại để có kết quả cuối cùng.

Ví dụ

Khi tính 163 × 7 bằng phương pháp tá điền, các số cần cộng là 7, 14, 224, 896, tương ứng với các số trong cột đầu tiên là 163, 81, 5, 1 (tất cả là số lẻ). Kết quả là 7 + 14 + 224 + 896 = 1141.

163    7      
81    14       
40    28
20    56
10   112
5    224
2    448
1    896
    ————        
    1141  Vậy 163 × 7 = 1141

Giải thích

Phương pháp này chuyển đổi số thành hệ nhị phân. Ví dụ, 163 = 10100011₂, tức là,

$163=1\times <!--\; \times \; -->2^7+0\times <!--\; \times \; -->2^6+1\times <!--\; \times \; -->2^5+0\times <!--\; \times \; -->2^4+0\times <!--\; \times \; -->2^3+0\times <!--\; \times \; -->2^2+1\times <!--\; \times \; -->2^1+1\times <!--\; \times \; -->2^0$

Vậy $163\times <!--\; \times \; -->7=(2^7+2^5+2^1+2^0)\times <!--\; \times \; -->7=128\times <!--\; \times \; -->7+32\times <!--\; \times \; -->7+2\times <!--\; \times \; -->7+1\times <!--\; \times \; -->7=896+224+14+7=1141$

Nhân số thập phân

Để thực hiện phép nhân giữa hai số thập phân, ta thực hiện như với số nguyên (không cần phải căn chỉnh dấu phẩy nếu tính hàng dọc). Sau đó, đếm tổng số chữ số thập phân trong hai số, thì kết quả cũng sẽ có số chữ số thập phân tương tự. Ví dụ:

$12,8\times <!--\; \times \; -->1,53=19,584$

Ta nhân hai số nguyên 128 và 153 trước. Do hai số ban đầu có tổng cộng 3 chữ số thập phân, nên sau khi tính (19584), ta phải lùi dấu phẩy về 3 hàng để có kết quả 19,584.

Lũy thừa

Phép nhân của một số với chính nó n lần:

$a\times <!--\; \times \; -->a=a^2$

$a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->a=a^3$

$a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->a\times <!--\; \times \; -->...\times <!--\; \times \; -->a=a^n$

Do đó,

$a^n=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{a\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->a}}$

Phép lũy thừa n của a là kết quả của việc nhân a với chính nó n lần.

Nhân phân số

Để thực hiện phép nhân giữa hai phân số, ta chỉ việc nhân các tử số với nhau và các mẫu số với nhau.

$\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->\frac{c}{d}=\frac{a\times <!--\; \times \; -->c}{b\times <!--\; \times \; -->d}$

Khi nhân một phân số với số nguyên, chỉ cần nhân tử số với số nguyên và giữ nguyên mẫu số.
$\frac{a}{b}\times <!--\; \times \; -->c=\frac{a\times <!--\; \times \; -->c}{b}$