Phép tích Descartes

Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết tập hợp, phép tích Descartes (hay phép tích Đềcác) của hai tập hợp A và B, ký hiệu A×B, là tập hợp chứa tất cả các cặp có dạng (a, b) với a thuộc A và b thuộc B. Nói cách khác, trong ngôn ngữ lý thuyết tập hợp:

$A\times <!--\; \times \; -->B=\left\{\right(a,b)\mid <!--\; \mid \; -->a\in <!--\; \in \; -->A,b\in <!--\; \in \; -->B\}.$

Chẳng hạn, nếu:

A = {1,2}

B = {p,q,r}

thì:

A×B = {(1,p),(1,q),(1,r),(2,p),(2,q),(2,r)}

và:

B×A = {(p,1),(q,1),(r,1),(p,2),(q,2),(r,2)}

Do đó, phép tích Descartes của hai tập hợp là một phép toán nhị phân trên các tập hợp. Định nghĩa của phép tích Descartes có thể được mở rộng cho nhiều tập hợp A₁×A₂×...×A_n, là tập hợp tất cả các bộ có dạng (a₁,a₂,...,a_n) với mỗi a_i thuộc A_i (i = 1, 2,..., n). Nói cách khác, trong lý thuyết tập hợp:

$A_1\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->A_n=\left\{\right(a_{}$

1 , … , a n ) ∣ a 1 ∈ A 1 , ⋯ , a n ∈ A n } . {\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1},\cdots ,a_{n}\in A_{n}\}.}

Lịch sử

Tên gọi phép tích Descartes được đặt theo tên nhà toán học người Pháp René Descartes, nhờ vào những đóng góp của ông trong lĩnh vực đại số giải tích

Tính chất

• Như ví dụ ở phần đầu, phép tích Descartes không có tính giao hoán nhưng có tính kết hợp.

Số lượng phần tử trong tích Descartes bằng tích của số lượng phần tử của từng tập hợp:

|A₁×...×A_n| = |A₁|×...×|A_n|

Theo ví dụ đã nêu, |A| = 2, |B| = 3, do đó |A×B| = 2×3 = 6.

• Phép tích Descartes giữa hai tập (hoặc nhiều tập hữu hạn) đều là các tập đếm được

Lũy thừa Descartes

Lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình phương Descartes) của tập hợp A được định nghĩa là tích Descartes của A với chính nó:

A = A×A

Tương tự, lũy thừa Descartes bậc n là tích Descartes của n tập hợp A:

A = A×A×...×A

(với n tập A trong biểu thức)

• Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) cùng các cộng sự, Toán cao cấp, Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, Ấn bản lần thứ 7, năm 2006