Buzz
1. Kiến thức cơ bản về cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
Khái niệm
Hai mặt phẳng được coi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng là 90 độ.
Các điều kiện để hai mặt phẳng được coi là vuông góc
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Đặc điểm
- Khi hai mặt phẳng vuông góc với nhau, tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng đầu tiên vuông góc với đường giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và đều vuông góc với một mặt phẳng thứ ba, thì đường giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Các bước để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Các phương pháp phổ biến:
Ngoài các phương pháp đã được đề cập trong bài trước, bạn có thể áp dụng thêm các phương pháp dưới đây:
+) Chứng minh rằng a là đường giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R) mà cả hai đều vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Bài tập ứng dụng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
Bài 1: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = AD và góc BAC bằng góc BAD đều bằng 60 độ. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD):
b) Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây:
A. (CDM)
B. (ACD)
C. (ABN)
D. (ABC)
c) Đường vuông góc chung của AB và CD là:
A. BN
B. AN
C. BC
D. MN
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với các cạnh AB, BC, và CD đều vuông góc với nhau.
a) Khẳng định nào sau đây là chính xác?
b) Điểm có khoảng cách bằng nhau đến tất cả các điểm A, B, C, D là:
A. Trung điểm J của AB
B. Trung điểm I của BC
C. Trung điểm K của AD
D. Trung điểm M của CD
Bài 3: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Đường thẳng SA vuông góc với
A. SC
B. SB
C. SD
D. CD
b) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC) là:
A. a
Bài 4: Xem xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’:
a) Mặt phẳng (ACC’A’) không vuông góc với mặt phẳng nào?
b) Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A’BD) là gì?
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với các cạnh AB, BC, và CD đều vuông góc với nhau.
a) Đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng nào?
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng nào trong tứ diện?
A. Không vuông góc với mặt phẳng nào?
B. (ACD)
C. (ABC)
D. (BCD)
c) Đường vuông góc chung của hai đoạn AB và CD là:
A. AC
B. BC
C. AD
D. BD
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật. Đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và AH cùng AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD.
a) Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau vì lý do.
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc ABC và bằng 90 độ.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc BAD và cũng bằng 90 độ.
b) Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc với nhau vì:
Bài 7: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh a và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) Độ dài của DE là:
C. 3a^2
b) Đoạn thẳng DE vuông góc với:
A. Chỉ với AC
B. Chỉ với BF
C. Chỉ vuông góc với cả AC và BF
D. Vuông góc với AC hoặc BF
Bài 8: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?
a) Đoạn ngắn nhất nối hai điểm trên hai đường chéo nhau là khoảng cách giữa chúng, và ngược lại.
b) Có đúng một mặt phẳng duy nhất đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng đã cho.
c) Đối với một đường thẳng, chỉ có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với mặt phẳng khác đã cho.
d) Đoạn thẳng vuông góc với cả hai đường chéo nhau được coi là đường vuông góc chung của chúng.
3. Giải đáp bài tập về chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
Bài 1:
Giải: a - B, b - C, c - D
a. Các tam giác ABC và ABD đều là tam giác đều, do đó tam giác ACD là tam giác cân.
MN là đường thẳng vuông góc với cả AB và CD
Bài 2:
Đáp án: a - C, b - C
Lựa chọn C là đúng vì
Lựa chọn D không đúng vì AD không tạo góc vuông với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng (BCD)
Lựa chọn A không chính xác vì tam giác ABC không có góc vuông tại C, do đó trung điểm của AB không đều khoảng cách đến ba điểm A, B và C
Lựa chọn B không đúng vì tam giác ABC không có góc vuông tại A, vì vậy trung điểm của BC không đều khoảng cách đến ba điểm A, B và C
Lựa chọn C là đúng vì tam giác ACD có góc vuông tại C, nên trung điểm K của AD đều khoảng cách đến ba điểm A, C và D; đồng thời, tam giác ABD có góc vuông tại B, nên trung điểm K của AD đều khoảng cách đến ba điểm A, B và D
Lựa chọn D không chính xác vì tam giác CBD không có góc vuông tại B, do đó trung điểm của CD không đều khoảng cách đến ba điểm B, C và D
Bài 3:
Đáp án: a - A, b - D
⇒ Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là DO
Bài 4:
Vậy mặt phẳng (CDD’C’) không vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’).
b) Ta có: BD = A’B = A’D, do đó tam giác A’BD là tam giác đều
Hơn nữa, AB = AD = AA’, vì vậy hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A’BD) chính là tâm của tam giác BDA’.
Bài 5:
Đáp án: a - A, b - D, c - B
Bài 6:
Đáp án: a - D, b - B
a) Phương án A không đúng vì AB và CB không vuông góc với giao tuyến SB của mặt phẳng (SAB) và (SBC), nên góc ABC không phải là góc giữa hai mặt phẳng này;
Phương án B không chính xác vì góc BAD không phải là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC);
Bài 7:
Đáp án: a - A, b - C
Bài 8:
Câu a) đúng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là đoạn ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đó, và ngược lại. (Tham khảo mục c và Bài 5 – chương III).
Câu b) sai. Có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước thông qua một điểm.
Câu c) sai. Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, thì có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước, vì bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng đó đều vuông góc với mặt phẳng đã cho. Đúng hơn, qua một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
Câu d) sai. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng này.
