Phương pháp chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm - Bài học lớp 7

Buzz

Nội dung bài viết

I. Ý nghĩa của 3 điểm thẳng hàng là gì?

II. Các vị trí tương đối của 3 điểm thẳng hàng

III. Liên kết của 3 điểm thẳng hàng

IV. Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

VI. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

VII. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Bài học chứng minh tính thẳng hàng lớp 7 rất quan trọng cho học sinh với hướng dẫn chi tiết về khái niệm, mối quan hệ, và công thức tính.
- Bài học cung cấp nhiều phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, như sử dụng góc bẹt, tính chất góc nội tiếp, hoặc chứng minh diện tích tam giác bằng 0. Các ví dụ và bài tập minh họa giúp học sinh hiểu rõ hơn, từ việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trong tam giác đến các bài tập nâng cao về lũy thừa và số hữu tỉ.
- Các phương pháp và bài tập được trình bày rõ ràng và thực tiễn, hỗ trợ học sinh luyện tập hiệu quả.
- Cho điểm M trên cạnh AB và điểm N trên tia đối của CA sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng bằng cách sử dụng phương pháp 5. Để biết thêm chi tiết, hãy tải tài liệu.

Bài học chứng minh tính thẳng hàng lớp 7 là tài liệu cực kỳ hữu ích cho các bạn học sinh lớp 7 tham khảo. Hướng dẫn cách chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm bao gồm khái niệm, mối quan hệ giữa 3 điểm thẳng hàng, các công thức tính, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án và tự luyện đi kèm.

Phương pháp chứng minh tính thẳng hàng là một trong những dạng bài toán tương đối khó nhưng thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, đồng thời cũng là dạng bài khiến rất nhiều em học sinh gặp khó khăn trong các kì thi vào lớp 10. Dưới đây là toàn bộ kiến thức về cách chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm, mời các bạn cùng theo dõi. Ngoài ra, các em cũng có thể tham khảo thêm bài tập về lũy thừa số hữu tỉ, bài tập về phép nhân và chia số hữu tỉ.

I. Ý nghĩa của 3 điểm thẳng hàng là gì?

Khi ba điểm bất kỳ nằm trên cùng một đường thẳng, ta gọi ba điểm đó là thẳng hàng.

Khi ba điểm bất kỳ không nằm trên cùng một đường thẳng nào, chúng ta nói ba điểm đó không thẳng hàng.

Ví dụ minh họa 1: Hình 1 và Hình 2 dưới đây cho thấy hai trường hợp: ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng tương ứng.

Trong Hình 1: Ba điểm M, N và P nằm trên một đường thẳng, do đó chúng thẳng hàng.

Trong Hình 2: Ba điểm D, E và F không cùng nằm trên một đường thẳng, vì vậy chúng không thẳng hàng.

II. Các vị trí tương đối của 3 điểm thẳng hàng

Trong 3 điểm thẳng hàng, luôn tồn tại một điểm duy nhất nằm giữa hai điểm còn lại.

Ví dụ minh họa 2: Quan sát ba điểm thẳng hàng M, N và P trong Hình 1, ta có:

+ Điểm M và điểm N cùng nằm phía một bên so với điểm P;

+ Điểm N và điểm P cùng nằm phía một bên so với điểm M;

+ Điểm M và điểm P nằm ở hai phía khác nhau so với điểm N;

+ Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

III. Liên kết của 3 điểm thẳng hàng

Ba điểm thẳng hàng là ba điểm riêng biệt mà cùng thuộc một đường thẳng.

Chỉ có một điểm và chỉ một điểm duy nhất nằm giữa hai điểm khác trong ba điểm thẳng hàng.

IV. Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Sử dụng phép cộng góc của tam giác để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Góc bẹt có tổng số đo bằng 180 độ.
Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn.
Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh.
Chứng minh diện tích tam giác bằng 0 để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

1. Phương pháp 1: (Hình 1)

$widehat{A B D}+widehat{D B C}=180^{circ}$

Cơ sở lý thuyết: Góc có tổng số đo bằng 180⁰ là góc bẹt

2. Phương pháp 2: (Hình 2)

Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7

3. Phương pháp 3: (Hình 3)

Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

* Hoặc chứng minh A, B, C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.

4. Phương pháp 4: (Hình 4)

* Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác.

5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’≡ K thì A, K, C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

VI. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.

Gợi ý đáp án

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh).

DC = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=> ∠C1 = ∠M và BC = AM.

Mà : ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.

Ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M, N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A. Vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

Kẻ MK ⊥ AB, MH ⊥ AC

Ta có M là trung điểm của CE

$Delta BME = Delta BMCleft( {c - c - c} ight) Rightarrow widehat {EBM} = widehat {CBM} = {45^0}$ $widehat {EBC} = {90^0} Rightarrow widehat {KBE} + widehat {ABC} = {90^0}$ $widehat {ACB} + widehat {ABC} = {90^0} Rightarrow widehat {ACB} = widehat {KBE} Rightarrow widehat {HCM} = widehat {KBM}$

$widehat {KAM} = widehat {HAM} = {45^0}$

=> AM là tia phân giác của góc A

Mặt khác tam giác BAD vuông cân tại A

$widehat {BAD} = {45^0}$

=> AD là tia phân giác của góc A

=> A, D, M thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác góc A)

VII. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7

1. PHƯƠNG PHÁP MỘT

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Vẽ tia Cx vuông góc với CA (tia Cx và điểm B nằm ở hai nửa mặt phẳng đối diện với AC). Trên tia Cx chọn điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB chọn điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của AC chọn điểm E sao cho AE = AC. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB chọn điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC chọn điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: $widehat{ABC}=60^{circ}$

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA chọn điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4:

Bài 5. Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường AM, BD, CE đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC kẻ tia phân giác AD của góc BAC. Trên cạnh AC chọn điểm E sao cho AE = AB. Trên tia AB chọn điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:

b) Chứng minh ba điểm E, F, D thẳng hàng

c) Chứng minh AD vuông góc với CF

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tam giác BCM cân tại M có góc ở đáy bằng 15⁰. Trên nửa mặt phẳng AB chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABN. Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, chọn các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

2/ PHƯƠNG PHÁP 2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm của BD và N là trung điểm của EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB chọn điểm M sao cho B là trung điểm của AM, trên tia AD chọn điểm N sao cho D là trung điểm của AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.

III/ PHƯƠNG PHÁP BA

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AM BC.

b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Gợi ý: Xử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.

- Chứng minh AM , PM, QM đều vuông góc với BC

- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.

IV/ PHƯƠNG PHÁP BỐN

Ví dụ: Cho góc xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM vuông góc AC, CN vuông góc AB, H là giao điểm của BM và CN.

a) Chứng minh AM = AN.

b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.

V/ PHƯƠNG PHÁP NĂM

Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB chọn điểm M, trên tia đối của CA chọn điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Gợi ý: Sử dụng phương pháp 5

Ví dụ 2

$mathrm{A}, widehat{B A C}=108^{circ}$

$widehat{C B O}=12^{circ}$

................

Mời bạn tải tài liệu để biết thêm chi tiết

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Ba điểm thẳng hàng có ý nghĩa gì trong hình học?

Ba điểm thẳng hàng là ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng. Nếu ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng, chúng không thẳng hàng.

Phương pháp nào được sử dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng?

Có nhiều phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, như sử dụng góc bẹt, góc nội tiếp đường tròn, hoặc chứng minh diện tích tam giác bằng 0.

Làm thế nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng qua góc bẹt?

Nếu tổng các góc của tam giác bằng 180 độ, ta có một góc bẹt, điều này chứng tỏ ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng.

Ví dụ chứng minh ba điểm thẳng hàng trong tam giác vuông?

Trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách sử dụng tia phân giác và trung điểm của các cạnh.

Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng phép cộng góc là gì?

Phép cộng góc trong tam giác được áp dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng, nếu tổng các góc của tam giác là 180 độ, ba điểm sẽ thẳng hàng.

Có bao nhiêu phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng trong tam giác?

Có năm phương pháp chính để chứng minh ba điểm thẳng hàng trong tam giác, bao gồm sử dụng góc bẹt, tia phân giác và các điểm trung điểm của các đoạn thẳng.