Phương pháp đơn giản để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Buzz

Nội dung bài viết

1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

2. Phương pháp xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xem thêm

Hướng dẫn giúp bạn nắm vững kiến thức về đường tròn ngoại tiếp tam giác và giải quyết các bài tập liên quan. Mytour sẽ cung cấp cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác một cách rõ ràng và dễ hiểu.

1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Khái niệm về đường tròn ngoại tiếp tam giác

a. Định nghĩa

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác từ phía ngoài. Đường tròn này đi qua ba đỉnh của tam giác và tâm của nó chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Phương pháp đơn giản để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Hình minh họa đường tròn (O;OB) ngoại tiếp tam giác ABC

Đường tròn ngoại tiếp tam giác còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn hoặc tam giác nằm trong đường tròn.

b. Đặc điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trước hết, mỗi tam giác chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.

Thứ hai, điểm giao nhau của ba đường trung trực trong một tam giác chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Thứ ba, đối với tam giác vuông, điểm giữa cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Thứ tư, trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp là cùng một điểm.

*Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Điểm giao nhau của ba đường trung trực trong một tam giác sẽ xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó (hoặc có thể chỉ cần hai đường trung trực).

2. Phương pháp xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

*Cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, cần chú ý các điểm sau đây:

Thứ nhất, nếu một tam giác có ba điểm đồng quy thì điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Thứ hai, quỹ tích của các điểm nhìn từ đoạn thẳng AB với một số góc vuông sẽ tạo thành đường tròn có đường kính AB.

Có hai phương pháp để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, đó là

a. Phương pháp 1:

Bước 1: Gọi K(x; y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFJ. Các đoạn thẳng KE, KF và KJ đều bằng bán kính R.

Bước 2: Tọa độ của tâm K là nghiệm của hệ phương trình

KE² = KF²

KE² = KJ²

b, Phương pháp 2:

Bước 1: Xác định và viết phương trình của các đường trung trực thuộc hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực đã xác định ở bước 1, và giao điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lưu ý: Trong trường hợp tam giác vuông, tâm của đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền. Cạnh huyền cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo phương pháp 2, ta cần tìm phương trình của đường tròn khi đã biết tọa độ của ba đỉnh tam giác. Để giải bài toán về phương trình của đường tròn ngoại tiếp, ta thực hiện các bước sau:

Hình minh họa đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, với OB là cạnh huyền của tam giác ABC và đồng thời là tâm của đường tròn O

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác một cách đơn giản và dễ hiểu

Bước 1: Đầu tiên, thay tọa độ của từng đỉnh tam giác vào phương trình với các ẩn a, b, c. Do các đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh này phải thỏa mãn phương trình của đường tròn mà ta cần tìm.

Bước 2: Giải hệ phương trình để xác định các hệ số a, b, c ứng với các đỉnh của tam giác.

Bước 3: Sau đó, thay các giá trị a, b, c đã tìm được vào phương trình tổng quát để xác định phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bước 4: Vì các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp, ta có hệ phương trình sau. Giải hệ phương trình này để tìm a, b, c.

$x_{A}^{2} + y_{A}^{2} - 2ax_{A} - 2by_{A} + c = 0$ $x_{B}^{2} + y_{B}^{2} - 2ax_{B} - 2by_{B} + c = 0$ $x_{C}^{2} + y_{C}^{2} - 2ax_{C} - 2by_{C} + c = 0$

Một số bài toán nâng cao yêu cầu học sinh viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dù nghe có vẻ khó, nhưng nếu nắm chắc công thức, việc giải bài toán này sẽ trở nên đơn giản hơn.

*Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để xác định chính xác tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, cần nhớ rằng 'Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.'

Để vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trước tiên cần vẽ tam giác. Sau đó, vẽ các đường trung trực từ ba đỉnh của tam giác để xác định tâm I của đường tròn. Cuối cùng, chỉ cần lấy bán kính R = IA = IB = IC. Như vậy, bạn đã hoàn thành việc vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác.

*Phương pháp tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Đây là một dạng bài toán phổ biến khi làm việc với đường tròn ngoại tiếp tam giác, vì vậy bạn cần nắm vững công thức sau đây:

$r_{a}= \frac{2S}{b+c-a}=\frac{S}{p-a}=p.tan\frac{A}{2}$

Trong đó:

r_a: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tính theo góc A

S: là diện tích

p: chu vi

a, b, c: là các cạnh đối diện với các góc của tam giác

3. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Các bài tập liên quan đến đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể được chia thành các dạng như sau:

Loại 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp

Loại 2: Tính các đại lượng liên quan đến tam giác ngoại tiếp

Loại 3: Chứng minh tam giác ngoại tiếp một đường tròn

Những bài tập luyện tập:

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 6cm và BC = 8cm. Q là trung điểm của AC. Hãy xác định bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là bao nhiêu?

Giải: Theo định lý Pythagoras, ta có CQ = 1/2 AC

Vậy AQ = QB = QC = 5cm. Gọi D là trung điểm của AC

Trong tam giác ABC vuông tại B, BQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC, nên Q chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Kết luận: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm tại Q, trung điểm của cạnh huyền AC, và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AQ = 5cm.

Câu 2: Cho tam giác ABC đều với các cạnh dài 12cm. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Giải: Đặt Q và I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB, và AQ cắt CI tại O.

Trong tam giác đều ABC, các đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, và đường trung trực của tam giác theo đặc điểm của tam giác đều.

Do đó, O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vì CI là đường trung tuyến nên nó cũng là đường cao trong tam giác. Áp dụng định lý Pythagoras:

CI² = AC² - AI² = 12² - 6² = 108 (cm²)

$CI = 6\sqrt{3} cm$ $CO = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} (cm)$

Câu 3: Xét tam giác NMP với ba góc nhọn nằm trong đường tròn (O;R). Ba đường NF, ME và PD của tam giác cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác MDEP là tứ giác nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

Câu 4: Cho tam giác EFJ vuông tại E với EF < EJ, đường cao EH (H thuộc EJ). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của FD. Đặt A là chân đường vuông góc hạ từ J xuống đường thẳng ED. Chứng minh tứ giác EHAJ nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp từ tứ giác này.

Câu 5: Xét tam giác ABC đều với mỗi cạnh dài 10 cm. Tìm bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 6: Cho tam giác ABC đều với cạnh dài 10 cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 7: Xét tam giác ABC vuông tại A với AB < AC và đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đặt E là chân đường vuông góc từ C hạ xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp và xác định vị trí của tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.

Nếu bán kính của đường tròn tâm I là 2 cm và góc BAC = 50^o, hãy tính chiều dài cung EHC của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IECH.

Trên đây là tổng hợp kiến thức về khái niệm, đặc điểm và cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp. Hy vọng bài viết của Mytour sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào bài tập hiệu quả.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác từ phía ngoài và đi qua ba đỉnh của nó.

Các bước xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Để xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, bạn cần vẽ các đường trung trực từ ba đỉnh của tam giác và tìm giao điểm của chúng. Giao điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Làm thế nào để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác?

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tính bằng công thức: R = (abc)/(4S), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của nó.

Tại sao tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền?

Trong tam giác vuông, tâm của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền vì cạnh huyền chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, theo định lý về đường tròn ngoại tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có đặc điểm gì nổi bật?

Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp trùng nhau, điều này giúp cho bán kính của cả hai đường tròn là như nhau, tạo nên sự đối xứng hoàn hảo.