Phương pháp giải bài tập về nghiệm của đa thức

Giải bài toán về nghiệm của đa thức là một trong những loại bài tập thường gặp trong các đề thi và kiểm tra môn Toán 7. Tuy nhiên, nhiều bạn học sinh vẫn cảm thấy khó khăn khi tìm ra nghiệm của đa thức. Dưới đây là cách giải một cách chi tiết.

Cách tìm nghiệm của đa thức bao gồm kiến thức lý thuyết về nghiệm của đa thức, ví dụ minh họa, bài tập có đáp án và bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán tìm nghiệm của đa thức. Ngoài ra, bạn cũng có thể tham khảo cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

1. Nghiệm của đa thức một biến

- Một giá trị x = a được coi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0

+ Trong trường hợp P(a) = 0, ta có x = a là một nghiệm của đa thức P(x)

- Một đa thức bậc nhất chỉ có duy nhất một nghiệm

- Đa thức bậc hai có tối đa hai nghiệm

- Đa thức bậc ba có tối đa ba nghiệm; …

Chú ý:

+ Một đa thức (không phải đa thức không) có thể có một, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của một đa thức (không phải đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Ví dụ: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm,…

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6

Từ 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.

Một ví dụ khác: Cho các số a, b, c biết a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm x = 1. Sử dụng điều này để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2.

2. Cách tìm nghiệm cho một đa thức

Để tìm nghiệm của đa thức F(x), ta thực hiện như sau:

Bước 1: Đặt đa thức F(x) = 0

Bước 2: Tìm giá trị của x và rút ra kết luận về các nghiệm.

3. Ví dụ về cách tìm nghiệm cho một đa thức

Bài 1: Kiểm tra xem x = 1; x = 0; x = 2 có là nghiệm của đa thức F(x) = 3x³ – 12x không?

Gợi ý cho câu trả lời

Với x = 1

Thay x = 1 vào F(x) ta có: F(1) = 3.1³ – 12.1 = 3 – 12 = -9 không bằng 0

Do đó, x = 1 không phải là nghiệm của đa thức ban đầu.

Với x = 0

Thay x = 0 vào F(x) ta có: F(0) = 3.0³ – 12.0 = 0

Vậy x = 0 là một nghiệm của đa thức đã cho.

Với x = 2

Khi thay x = 2 vào F(x), ta được: F(2) = 3.2³ – 12.2 = 3.8 – 24 = 0

Do đó, x = 2 là một nghiệm của đa thức đã cho.

Bài 2: Tìm các nghiệm của các đa thức sau:

Gợi ý cho câu trả lời

f(x) = 0

=> (x – 3)(2x + 5) = 0

=> x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

f(x) = 0

=> x² + 2x = 0

=> x(x + 2) = 0

=> x = 0 hoặc x + 2 = 0

=> x = 0 hoặc x = -2

Do đó, đa thức có các nghiệm là x = 0 hoặc x = -2

Bài 3: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm

a) P(x) = x² + 1 b) Q(y) = 2y⁴ + 5

Lời giải:

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1

Vì vậy: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) không có nghiệm.

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0

Vì vậy: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(x) không có nghiệm.

Bài 4: Tìm các nghiệm của các đa thức sau

a) x² - 2003x - 2004 = 0

b) 2005x² - 2004x - 1 = 0

Lời giải:

a) Đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có a = 1, b = -2003, c = -2004

Dễ dàng tính được: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0

Do đó, đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có a = 2005, b = -2004, c = -1

Dễ dàng tính được: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0

Do đó, đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.

4. Bài tập tìm tập nghiệm của đa thức

A. Tự luận

Bài 1: Cho đa thức f(x) = x² - x - 6

a, Tính f(x) với x = 1, x = 2, x = 3, x = -1, x = - 2, x = -3

b, Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?

Bài 2: Tìm các nghiệm của các đa thức sau:

Bài 3: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm:

Bài 4: Xác định giá trị của hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² - 7x + c có nghiệm là 5.

Bài 5: Tạo ra đa thức một biến cho mỗi tình huống sau:

a) Chỉ có một nghiệm là -2/5

b) Có hai nghiệm là √2 và -√3

c) Có ba nghiệm là (0,7) , (-0,7) , (-0,6)

d) Vô nghiệm

Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P: x = x³ + 2x² - 3x + 1 chỉ có một nghiệm nguyên.

B. Trắc nghiệm

Câu 1: Trong dãy số sau, số nào là nghiệm của đa thức f(x) = x² - 6x + 8?

Câu 2: Nghiệm của đa thức x² - 10x + 9 là:

Câu 3: Tích các nghiệm của đa thức x¹¹ - x¹⁰ + x⁹ - x⁸ là:

Câu 4: Số nghiệm của đa thức x³ + 8 là:

Câu 5: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 3x² - 27 là:

ĐÁP ÁN