Phương pháp giải bài toán Hệ phương trình tuyến tính

Giới thiệu về bài toán Hệ phương trình tuyến tính

Có ba kết quả có thể xảy ra đối với hệ phương trình tuyến tính:

• Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: Các đường thẳng giao nhau tại một điểm duy nhất.

• Hệ phương trình vô nghiệm: Đồ thị các phương trình tuyến tính trên mặt phẳng toạ độ Oxy là các đường thẳng song song.

• Hệ phương trình có vô số nghiệm: Đồ thị các phương trình tuyến tính trên mặt phẳng toạ độ Oxy là các đường thẳng trùng nhau.

Hệ phương trình được ứng dụng rộng rãi trong đời sống ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, hệ phương trình tuyến tính được dùng để tính cung, cầu cho các loại hàng hoá, xác định mức độ tiêu dùng của hộ gia đình, tổng thu nhập quốc dân, lượng cung tiền tệ, …

Các chiến thuật để giải bài Hệ phương trình tuyến tính trong SAT Math

• Phương pháp đồ thị (Graphing method)

• Phương pháp thế (Substitution method)

• Phương pháp cộng đại số (Elimination method)

Phương pháp vẽ đồ thị (Graphing method)

• Bước 1: Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ trục toạ độ

• Bước 2: Kiểm tra sự tương quan của hai phương trình

• Bước 3: Kết luận

Ví dụ: Solve the following system of linear equations by using graphing method. (Giải hệ phương trình sau bằng cách sử dụng phương pháp đồ thị)

2x + 3y = 12

x − y = 1

Examine 2x + 3y = 12

• With x = 0 ⇔ 3y = 12 ⇔ y = 4

• With y = 0 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

2x + 3y = 12 is the line contains both (0, 4) and (6, 0)

Examine x - y = 1

• With x = 0 ⇔ 0 - y = 1 ⇔ y = -1

• With y = 0 ⇔ x = 1

x - y = 1 is the line contains both (0, -1) and (1, 0)

Draw two lines on xy - plane

(dịch)

Xét phương trình 2x + 3y = 12

• Với x = 0 ⇔ 3y = 12 ⇔ y = 4

• Với y = 0 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

Đường thẳng 2x + 3y = 12 là đường thẳng đi qua hai điểm (0, 4) và (6, 0)

Xét phương trình x - y =1

• Với x = 0 ⇔ 0 - y = 1 ⇔ y = -1

• Với y = 0 ⇔ x = 1

Đường thẳng x - y =1 là đường thẳng đi qua hai điểm (0, -1) và (1, 0)

Vẽ hai đường thẳng trên hệ trục toạ độ Oxy

Nhìn vào đồ thị, hai đường thẳng cắt nhau tại (3, 2) nên (3, 2) là nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp thay thế (Substitution method)

• Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

• Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất).

Ví dụ: Solve the following system of linear equations (Giải hệ phương trình sau)

4x − y = 7

3x + 2y​ = 19

For 4x - y = 7 ⇔ y = 4x - 7

Plug y = 4x - 7 into the second equations:

3x + 2(4x - 7) = 19

⇔ 3x + 8x - 14 = 19

⇔ 11x = 33

⇔ x = 3

Since x = 3, y = 4 × 3 - 7 = 12 - 7 = 5

(3, 5) is the solutions of the system of equations above.

(dịch)

Với 4x - y = 7 ⇔ y = 4x - 7

Thay y = 4x - 7 vào phương trình thứ hai:

3x + 2(4x - 7) = 19

⇔ 3x + 8x - 14 = 19

⇔ 11x = 33

⇔ x = 3

Tại x = 3, y = 4 × 3 - 7 = 12 - 7 = 5

(3, 5) là nghiệm của hệ phương trình trên.

Phương pháp khử (elimination method)

• Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

• Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

• Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Ví dụ 1: Solve the following system of linear equations (Giải hệ phương trình sau)

3x + y = 2

x - y = 2

Add x - y to the left side of the first equation and 2 to the right side of the first equation:

3x + y + x - y = 2 + 2

⇔ 4x = 4

Solve for x: x = 1

Plug x = 1 into the second equation:

1 - y = 2

⇔ y = 1 - 2

⇔ y = -1

(1, -1) is the solution of the given system of linear equations.

(dịch)

Cộng x - y vào vế trái của phương trình thứ nhất và 2 vào vế phải của phương trình thứ nhất, ta được:

3x + y + x - y = 2 + 2

⇔ 4x = 4

Giải tìm x: x = 1

Thay x = 1 vào phương trình thứ hai:

1 - y = 2

⇔ y = 1 - 2

⇔ y = -1

(1, -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Solve the following system of linear equations (Giải hệ phương trình sau)

3x + 4y = 2

2x − y = 5

Multiply both sides of the second equation with 4:

4 × (2x - y) = 4 × 5

⇔ 8x - 4y = 20

Add 8x - 4y to the left side of the first equation and 20 to the right side of the first equation:

3x + 4y + 8x - 4y = 2 + 20

⇔ 11x = 22

⇔ x = 2

Plug x = 2 into the second equation:

2 × 2 - y = 5

⇔ 4 - y = 5

⇔ y = 4 - 5

⇔ y = -1

(2, -1) is the solution to the given system of linear equations

(dịch)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 4:

4 × (2x - y) = 4 × 5

⇔ 8x - 4y = 20

Cộng 8x - 4y vào vế trái và 20 vào vế phải của phương trình thứ nhất

3x + 4y + 8x - 4y = 2 + 20

⇔ 11x = 22

⇔ x = 2

Thay x = 2 vào phương trình thứ hai:

2 × 2 - y = 5

⇔ 4 - y = 5

⇔ y = 4 - 5

⇔ y = -1

(2, -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Một vài điều cần chú ý

Xét hệ phương trình

ax + by = c

mx + ny = p

• Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi: a/m ≠ b/n

• Hệ phương trình vô nghiệm khi: a/m = b/n ≠ c/p

• Hệ phương trình có vô số nghiệm khi: a/m = b/n = c/p

Bài tập thực hành

a. x + 2y = 6

3x − y ​= 4​

b. 5x − 3y = 7

4x + 2y ​= 14​

c. 7x + y = 15

2x − 3y ​= 1​

d. 3x − 2y = 8

x + y ​= 3​

Đáp án

a. (2, 2)

b. (28/11, 21/11)

c. (2, 1)

d. (14/5, 1/5)

Tóm tắt

Tài liệu tham khảo

• Khan Academy | Khóa học, bài học & bài tập miễn phí trực tuyến, www.khanacademy.org/test-prep/v2-sat-math/x0fcc98a58ba3bea7/x0fcc98a58ba3bea7/a/v2-sat-lesson-solving-systems-of-linear-equations.