Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Buzz

Nội dung bài viết

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng sự kết hợp của nhiều phương pháp khác nhau

II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu quan trọng dành cho học sinh lớp 8, cung cấp kiến thức và bài tập chi tiết giúp rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Nó giúp học sinh áp dụng kiến thức để giải phương trình và bài toán toán học khác một cách hiệu quả.
- Tài liệu này tập trung vào các phương pháp phân tích đa thức như đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức và nhóm các hạng tử, mang lại cách tiếp cận phân tích đa dạng và phù hợp với từng bài toán.
- Phân tích đa thức thành nhân tử trong bài tập này đề cập đến các biểu thức phức tạp và đa dạng, sử dụng các phương pháp như bình phương, nhân tử liên tiếp và áp dụng các kỹ thuật hằng đẳng thức.
- Các bài tập này tập trung vào việc giải quyết từng bài toán bằng cách phân tích đa thức thành các nhân tử đơn giản, giúp củng cố và mở rộng khả năng giải toán của học sinh.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu quan trọng cung cấp cho học sinh lớp 8 nguồn kiến thức, học liệu, và cơ hội nâng cao kiến thức toán học.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử tập hợp kiến thức đầy đủ về phương pháp này kèm theo các bài tập có đáp án chi tiết. Hy vọng rằng qua tài liệu này, học sinh có thể áp dụng kiến thức để giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt được điểm số cao trong các kỳ thi.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hoặc thừa số) là việc biến đổi đa thức đó thành tích của các đa thức.

Ứng dụng : Tính nhanh, giải các bài toán tìm x, giải phương trình, và giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁= C(A₁ + B₁)

Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.

a. 20x – 5y

b) 4x²y – 8xy²+ 10x²y²

c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1)

d. 20x²y – 12x³

e. x(x + y) – 6x – 6y

g. 8x⁴+ 12x²y⁴ – 16x³y⁴

h. 6x³– 9x²

i. 4xy² + 8xyz

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a. 3x(x +1) – 5y(x + 1)

b. 3x³(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)²

c. 3x(x – 6) – 2(x – 6)

d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2)

đ. 4y(x – 1) – (1 – x)

e. 18x²(3 + x) + 3(x + 3)

g. (x – 3)³+ 3 – x

h. 14x²y – 21xy² + 28x²y²

i. 7x(x – y) – (y – x)

k. 10x(x – y) – 8y(y – x)

Bài toán 3 : Tìm x biết.

a. 4x(x + 1) = 8(x + 1)

b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0

c. 2x(x – 2) – (2 – x)²= 0

d. (x – 3)³+ 3 – x = 0

e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0

g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

h) x²– 4x = 0

k) (1 – x)² – 1 + x = 0

m) x + 6x² = 0

n) (x + 1) = (x + 1)²

Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Phương pháp : Chuyển đa thức về dạng hằng đẳng thức, sau đó áp dụng hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung.

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 4x²- 1

b) 25x²- 0,09

d) (x - y)²- 4

e) 9 - (x - y)²

f) (x² + 4)² - 16x²

Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴- y⁴

b) x² - 3y²

c) (3x - 2y)² - (2x - 3y)²

d) 9(x - y)²- 4(x + y)²

e) (4x² - 4x + 1) - (x + 1)²

f) x³+ 27

g) 27x³- 0,001

h) 125x³ - 1

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x⁴+ 2x² + 1

b) 4x² - 12xy + 9y²

c) -x²- 2xy - y²

d) (x + y)² - 2(x + y) + 1

e) x³- 3x²+ 3x - 1

g) x³ + 6x² + 12x + 8

h) x³+ 1 - x²- x

k) (x + y)³ - x³ - y³

Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x²- x - y² - y

b) x² - 2xy + y² - z²

c) 5x - 5y + ax - ay

d) a³- a²x - ay + xy

e) 4x²- y²+ 4x + 1

f) x³ - x + y³ - y

Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Phương pháp:

Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

$a) x^{4}+4=x^{4}+left(4 x^{2}-4 x^{2} ight)+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=left(x^{2}+2 ight)^{2}-4 x^{2}$ $=left(x^{2}+2-2 x ight)left(x^{2}+2+2 x ight)$ $b) x^{4}+1=x^{4}+2 x^{2}-2 x^{2}+1=x^{4}+2 x^{2}+1-2 x^{2}=left(x^{2}+1 ight)^{2}-2 x^{2}=left(x^{2}+1 ight)^{2}-(x sqrt{2})^{2}$

$=left(x^{2}+1-x sqrt{2} ight)left(x^{2}+1+x sqrt{2} ight)$ $c) 3 x^{2}+8 x+4=3 x^{2}+8 x+16-12=left(3 x^{2}-12 ight)+(8 x+16)=3left(x^{2}-4 ight)+8(x+2)$

=3(x-2)(x+2)+8(x+2)=(x+2)[3(x-2)+8]=(x+2)(3 x+2)

$3 x^{2}+8 x+4=4 x^{2}-x^{2}+8 x+4=left(4 x^{2}+8 x+4 ight)-x^{2}=(2 x+2)^{2}-x^{2}$

Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.

Ví dụ :

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 - 16y²

= (y² + 8)² - (4y)²

= (y² + 8 - 4y)(y² + 8 + 4y)

Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x⁴+ 16

b) x⁴y⁴ + 64

c) x⁴y⁴ + 4

d) 4x⁴y⁴+ 1

e) x⁴+ 1 f) x⁸ + x + 1

g) x⁸+ x⁷+ 1

h) x⁸+ 3x⁴ + 1

k) x⁴ + 4y⁴

Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :

a) a²- b² - 2x(a - b)

b) a² - b² - 2x(a + b)

Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x⁴y⁴+ 4

b) 4x⁴ + 1

c) 64x⁴ + 1

d) x⁴ + 64

Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng sự kết hợp của nhiều phương pháp khác nhau

Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 16x⁴(x - y) - x + y

b) 2x³y - 2xy³- 4xy²- 2xy

c) x(y²- z²) + y(z²- x²) + z(x² - y²)

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x - 4y + x²- 2xy + y²

b) x⁴ - 4x³ - 8x² + 8x

c) x³+ x²- 4x - 4

d) x⁴ - x² + 2x - 1

e) x⁴+ x³+ x² + 1

f) x³ - 4x² + 4x - 1

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x³+ x²y - xy² - y³

b) x²y² + 1 - x² - y²

c) x²- y²- 4x + 4y

d) x² - y² - 2x - 2y

e) x²- y²- 2x - 2y

f) x³ - y³ - 3x + 3y

Bài toán 5 : Tìm giá trị của x.

a) x³- x² - x + 1 = 0

b) (2x³ - 3)² - (4x² - 9) = 0

c) x⁴+ 2x³- 6x - 9 = 0

d) 2(x + 5) - x² - 5x = 0

Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = x²- x + 1

b. B = 4x²+ y² - 4x - 2y + 3

c. C = x²+ x + 1

d) D = x² + y² - 4(x + y) + 16

e) E = x² + 5x + 8

g) G = 2x² + 8x + 9

Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a. A = -4x²- 12x

b) B = 3 - 4x - x²

c) C = x²+ 2y²+ 2xy - 2y

d) D = 2x - 2 - 3x²

e) E = 7 - x²- y²- 2(x + y)

II. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x - 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)²- y² = (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy các giá trị của x là x₁ = -3 và x₂= 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x² - y³ - y² = (8x³ - y³) + (4x² - y²)

b) x²+ 5x -6 = x² + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)

c. a⁴+ 16 = a⁴+ 8a² + 16 - 8a²

= (a² + 4)² - (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²-5x + 6):(x - 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x² - 5x + 6

= x² - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

nên (x² - 5x + 6):(x - 3)

= (x - 3)(x - 2): (x - 3)

= (x - 2)

Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- y² - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x² - xy

c) 3a²- 6ab + 3b² - 12c²

d) x² - 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² - ac - bc

f) x² - 2x - 4y² - 4y

g) x²y - x³- 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài tập 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x² – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x⁴– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài tập 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. a²b + b²c + c²a + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. ab(b + c) + bc(c + a) + ca(a + b) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x²+ x)²+ 4x² + 4x – 12

2. (x²+ 4x + 8)²+ 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

3. (x²+ x + 1)(x²+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x²+ 2x)²+ 9x² + 18x + 20

6. x²– 4xy + 4y²– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x²+ x)²+ 4(x² + x) – 12

9. 4(x²+ 15x + 50)(x²+ 18x + 72) – 3x²

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử là quá trình biến đổi một đa thức thành tích của các đa thức khác. Phương pháp này giúp giải các bài toán về phương trình và rút gọn biểu thức.

Có những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử?

Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bao gồm: đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử, tách hạng tử, và kết hợp nhiều phương pháp.

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung như thế nào?

Phương pháp đặt nhân tử chung là tìm các nhân tử chung trong các hạng tử của đa thức. Sau đó, nhóm các hạng tử có nhân tử chung để phân tích thành tích của các đa thức.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức là gì?

Phân tích đa thức bằng hằng đẳng thức là chuyển đa thức về dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc, từ đó áp dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.

Phương pháp nhóm các hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử có ưu điểm gì?

Phương pháp nhóm các hạng tử giúp giảm độ phức tạp của đa thức bằng cách nhóm những hạng tử có thể chia sẻ một nhân tử chung, từ đó dễ dàng phân tích thành nhân tử.

Tại sao phương pháp tách hạng tử lại hiệu quả trong phân tích đa thức thành nhân tử?

Phương pháp tách hạng tử giúp đưa các hạng tử về dạng dễ phân tích hơn bằng cách thêm hoặc bớt các hạng tử sao cho dễ dàng tìm ra nhân tử chung.

Ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt hạng tử?

Một ví dụ là phân tích y4 + 64 bằng cách thêm bớt hạng tử: y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2, từ đó phân tích thành nhân tử.

Phương pháp kết hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào?

Kết hợp nhiều phương pháp là khi một đa thức không thể phân tích bằng một phương pháp đơn lẻ, ta áp dụng một cách linh hoạt nhiều phương pháp như nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.