Phương pháp tính đạo hàm của hàm hợp một cách chính xác và dễ hiểu nhất

Buzz

Nội dung bài viết

1. Khái niệm về hàm hợp

2. Công thức đạo hàm của hàm hợp

3. Các dạng bài tập liên quan

4. Bài tập tự luyện

Xem thêm

Chúng tôi xin gửi đến các em học sinh lớp 11 hướng dẫn chi tiết về cách tính đạo hàm của hàm hợp một cách dễ tiếp cận, cùng với bài tập ứng dụng

1. Khái niệm về hàm hợp

Hàm hợp là một khái niệm then chốt trong toán học, đặc biệt quan trọng trong việc phân tích và mô tả sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian hoặc không gian. Để nắm vững về hàm hợp, chúng ta cần tìm hiểu định nghĩa và các yếu tố xác định của nó.

Hàm hợp không chỉ là một khái niệm lý thuyết trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thiết thực trong thực tế, từ kinh tế đến khoa học tự nhiên. Nó là công cụ hữu ích giúp mô tả các mối quan hệ phức tạp giữa các biến số.

Trong lĩnh vực kinh tế, hàm hợp có thể mô tả sự biến động của giá cổ phiếu theo thời gian dựa trên các chỉ số kinh tế khác. Trong vật lý, hàm hợp giúp giải thích sự tương tác giữa các lực và vật thể. Trong xã hội, hàm hợp được dùng để phân tích ảnh hưởng của các yếu tố khác nhau đến quyết định của con người. Điều này chứng tỏ hàm hợp không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn là công cụ linh hoạt và mạnh mẽ, có thể áp dụng rộng rãi để hiểu sâu hơn về thế giới xung quanh và đưa ra quyết định thông minh

1.1 Định nghĩa hàm hợp

Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Khi thay thế u trong f(u) bằng u(x), ta có g(x) = f[u(x)]. Hàm g(x) này được gọi là hàm hợp của f và u(x).

1.2 Tính xác định của hàm hợp

Tập xác định của g(x) là tập hợp các giá trị x sao cho f[u(x)] có nghĩa. Điều này có nghĩa là giá trị của u(x) phải nằm trong tập xác định của f(u).

Ví dụ và giải thích chi tiết:

$y = sqrt{u(x)} = sqrt{x^{2}} = |x|$ ²

$x^{2} geq 0$

Hàm hợp cho phép chúng ta mô tả những mối liên hệ phức tạp giữa các biến số và mở rộng khả năng mô tả của các hàm số.

Ví dụ cụ thể:

Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x)

với: f(u) = 2u và u(x) = 5x + 1.

Chúng ta có: f[u(x)] = 2(5x + 1) = 10x + 2.

Đặt g(x) = f[u(x)] = 10x + 2. Vậy, g(x) chính là hàm hợp của hàm số f qua hàm trung gian u.

Vì f[u(x)] là một hàm đa thức, nên tập xác định của g(x) là toàn bộ tập số thực, D = R.

2. Công thức đạo hàm của hàm hợp

Đối với các hàm hợp, công thức tính đạo hàm có những điểm khác biệt. Cụ thể, từ dạng tổng quát y'(x) = y'(u)·u'(x), ta có thể rút ra một số hệ quả như sau:

$(u^{alpha })' = alpha cdot u^{alpha -1} cdot u', alpha in mathbb{R}$

$left ( rac{1}{u} ight )' = rac{-u'}{u^{2}}$

2.1. Công thức đạo hàm tổng quát của hàm hợp

- Công thức đạo hàm của hàm hợp tại điểm x_o:

+ Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x_o

+ Giả sử hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u_o = u(x_o)

+ Khi đó, hàm hợp g(x) = f[u(x)] cũng có đạo hàm tại x_o và được tính theo công thức: g'(x_o) = f'(u_o) · u'(x_o)

Trong đó:

+ f'(u_o) là đạo hàm của f(u) tại u_o

+ u'(x_o) là đạo hàm của u(x) tại điểm x_o

- Công thức tính đạo hàm của hàm hợp trên tập J

+ Nếu điều này đúng với mọi x thuộc tập J, thì hàm hợp y = g(x) có đạo hàm trên J và được tính bằng công thức:

g'(x) = f'[u(x)] · u'(x)

Trong đó:

+ f'[u(x)] là đạo hàm của f(u) tại điểm u(x)

+ u'(x) là đạo hàm của u(x) tại điểm x

2.2. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm lũy thừa

+ Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm y = u^n(x) (với n là số nguyên dương và n ≥ 2) cũng có đạo hàm trên J. Khi đó:

[u^n(x)]' = n · u^{n-1}(x) · u'(x).

+ Công thức trên có thể được viết rút gọn là: (u^n)' = n · u^{n-1} · u'

$(3x^{3} - x)^{5}$

Giải:

$[(3x^{3}-x)^{5}]'$ $5 · (3x^{3} - x)^{4} · (3x^{3} - x)'$ $5 · (3x^{3} - x)^{4} · (9x^{2} - 1)'$

2.3. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm căn bậc hai

Đạo hàm của sqrt{u(x)} là rac{u'(x)}{2sqrt{u(x)}}

+ Công thức trên có thể rút gọn như sau:

$sqrt{3x^{4} + x}$

Kết quả:

$y' = left ( sqrt{3x^{4} + x} ight )'$ $= rac{left ( 3x^{4} + x ight )'}{2sqrt{3x^{4} + x}}$ $= rac{12x^{3} + 1}{2sqrt{3x^{4} + x}}$

y' = left ( rac{1}{sqrt{5x}}
ight )' = rac{-1}{5x} cdot (sqrt{5x})' = rac{-1}{5x} cdot rac{(5x)'}{2sqrt{5x}} = rac{-5}{10xsqrt{5x}} = rac{-1}{2xsqrt{5x}}

3. Các dạng bài tập liên quan

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (5x + 2)¹⁰

$10 · (5x + 2)^{9}$ $50 · (5x + 2)^{9}$ $5 · (5x + 2)^{9}$ $(5x + 2)^{9}$

^{Hướng dẫn giải}

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 10 · (5x + 2)⁹ · (5x + 2)' = 50 · (5x + 2)⁹

Chọn B.

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số y = (4x² - 2x)³

A. (4x² - 2x)² · (8x - 2)

B. 3 · (4x² - 2x)²

C. 3 · (4x² - 2x)² · (8x - 2)

D. Đáp án khác

Giải chi tiết:

Chọn A.

$y = sqrt{(2x-2)^{2} + 2x} + (3x-2)^{3}$ $rac{4x - 3}{sqrt{(2x-2)^{2} + 2x}} + 3(3x-2)^{2}$ $rac{4x - 3}{sqrt{(2x)^{2} + 2x}} + 6(3x-2)^{2}$ $rac{4x - 3}{sqrt{(2x)^{2} + 2x}} + 9(3x-2)^{2}$

D. Lựa chọn khác.

Giải thích chi tiết đáp án:

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

$y' = [sqrt{(2x-2)^{2}+2x} + (3x-2)^{3}]'$ $Leftrightarrow y' = (sqrt{(2x-2)^{2}+2x})' + [(3x-2)^{3}]'$ $Leftrightarrow y' = rac{1}{2sqrt{(2x-2)^{2}+2x}}.((2x-2)^{2}+2x)' + 3(3x-2)^{2}.(3x-2)'$ $Leftrightarrow y' = rac{2(2x-2)(2x-2)' + 2}{2sqrt{(2x-2)^{2}+2x}} + 3(3x-2)^{2}.3 = rac{4(2x-2)+2}{2sqrt{(2x-2)^{2}+2x}} + 9(3x-2)^{2}$ $y' = rac{8x-6}{2sqrt{(2x-2)^{2}+2x}} + 9(3x-2)^{2} = rac{4x-3}{sqrt{(2x-2)^{2}+2x}} + 9(3x-2)^{2}$

Lựa chọn C.

$y = (x^{3}+x^{2}-1)^{2} (2x+1)^{2}$ $y' = (x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} + (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.(8x + 4)$ $y' = 2(x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} + (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.(8x + 4)$ $y' = (x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} + (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.(4x + 4)$ $y' = 2(x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} - (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.(8x + 4)$

Đáp án chi tiết:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của tích, ta có:

$y' = [(x^{3} + x^{2} - 1)]^{2}.(2x + 1)^{2} - (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.[(2x + 1)^{2}]'$ $y' = 2(x^{3} + x^{2} - 1)(x^{3} + x^{2} - 1)'.(2x + 1)^{2} - (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.2(2x + 1).(2x + 1)'$ $y' = 2(x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} + (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.2(2x + 1).2$ $y' = 2(x^{3} + x^{2} - 1)(3x^{2} + 2x).(2x + 1)^{2} + (x^{3} + x^{2} - 1)^{2}.(8x + 4)$

Lựa chọn B

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (5x + 2)¹⁰

A. 10(5x + 2)⁹

B. 50(5x + 2)⁹

C. 5(5x + 2)⁹

D. (5x + 2)⁹

Đáp án chi tiết:

Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là:

y' = 10.(5x + 2)⁹.(5x + 2)'

= 50(5x + 2)⁹

Chọn B

Câu 6: Đạo hàm của hàm số y = f(x) = (1 - 3x²)⁵ là:

A. -30x.(1 - 3x²)⁴

B. -10x.(1 - 3x²)⁴

C. 30(1 - 3x²)⁴

D. -3x.(1 - 3x²)⁴

Đáp án chi tiết:

Đặt u(x) = 1 - 3x², suy ra u'(x) = -6x

Với u = 1 - 3x², ta có y = u⁵ và y'(u) = 5u⁴ = 5(1 - 3x²)⁴

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y'(x) = 5.(1 - 3x²)⁴ . (-6x) = -30x.(1 - 3x²)⁴

Chọn A

$y = \sqrt{(x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1)}$ $y' = \frac{4x^{3} + 6x + 2}{2\sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1}}$ $y' = \frac{1}{2\sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1}}$ $y' = \frac{4x^{3} + 6x + 2}{\sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1}}$

D. Đáp án khác

Đáp án chi tiết:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1}} . (x^{4} + 3x^{2} + 2x - 1)'$

Chọn A

$y = \frac{(2x + 2)^{2}}{\sqrt{2x + 4}}$ $\frac{(2x + 2)(2x + 4) - (2x + 2)^{2}}{(2x + 4)\sqrt{2x + 4}}$ $\frac{4(2x + 2)(2x + 4) - (2x + 2)^{2}}{(2x + 4)\sqrt{2x + 4}}$ $\frac{2(2x + 2)(2x + 4) - (2x + 2)^{2}}{(2x + 4)\sqrt{2x + 4}}$

D. Tất cả đều sai

Hướng dẫn chi tiết:

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm thương và hàm hợp, ta có

$y' = \frac{[(2x+2)^{2}]'.\sqrt{2x+4} - (2x+2)^{2} \cdot \frac{(2x+4)'}{2\sqrt{2x+4}}}{2x+4}$ $y' = \frac{2(2x+2) \cdot (2x+2)' \cdot \sqrt{2x+4} - (2x+2)^{2} \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x+4}}}{2x+4}$ $y' = \frac{4(2x+2)\sqrt{2x+4} - (2x+2)^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+4}}}{2x+4}$ $y' = \frac{4(2x+2)(2x+4) - (2x+2)^{2}}{(2x+4)\sqrt{2x+4}}$

Chọn B

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ $y' = \frac{-(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ $\frac{-(x+1)}{\sqrt{(x^{2}+2x+2) \cdot \sqrt{x^{2}+2x+2}}$ $\frac{-(x+1)}{(x^{2}+2x+2)}$ $\frac{x+1}{(x^{2}+2x+2) \cdot \sqrt{x^{2}+2x+2}}$

Lời giải chi tiết:

$\left ( \frac{1}{x} \right )'$ $\frac{-1}{x^{2}}$ $y' = \frac{-1}{x^{2}+2x+2}.\left ( \sqrt{x^{2}+2x+2} \right )' = \frac{-1}{x^{2}+2x+2}.\frac{\left ( x^{2}+2x+2 \right )'}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}}$ $y' = \frac{-1}{x^{2}+2x+2}.\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x+2}} = \frac{-(x+1)}{(x^{2}+2x+2) \cdot \sqrt{x^{2}+2x+2}}$

Chọn B

4. Bài tập tự luyện

$y = (x^{3} - 3x + 2)^{2}$ $y' = 2(x^{3} - 3x + 2)$ $y' = 2(x^{3} - 3x + 2) cdot (3x - 3)$ $y' = 2(x^{3} - 3x + 2) cdot (3x^{2} - 3)$ $y' = 2(x^{3} - 3x + 2) cdot (3x^{2} - 3x)$ $y = \sqrt{x^{4} + 2x^{2}}$ $y' = \frac{4x^{3} + 2x}{2 \sqrt{x^{4} + 2x^{2}}}$ $y' = \frac{x^{3} + 2x}{2 \sqrt{x^{4} + 2x^{2}}}$ $y' = \frac{x^{3} + 2x}{\sqrt{x^{4} + 2x^{2}}}$ $y' = \frac{2x^{3} + 2x}{\sqrt{x^{4} + 2x^{2}}}$ $y = x^{6} + 2\sqrt{x^{2} + 1}$ $y' = 6x^{5} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $y' = 6x^{5} + \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $y' = 6x^{5} + \frac{x}{2\sqrt{x^{2} + 1}}$ $y' = 6x^{5} + \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 1}}$ $y = (2x^{3} + 5x)^{2}$ _o

A. y'(-1) = 154

B. y'(-1) = -154

C. y'(-1) = 49

D. y'(-1) = -49

$y = \sqrt{x^{3}+4}$ _o $\sqrt{5}$

B. 2

$\sqrt{3}$

D. 6

$y = f(x) = \sqrt{3x^{2}+6x}$

A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 4

$y = f(x) = (x^{3} + 12x)^{2}$ _o_o

A. Không có giá trị nào của x_o

B. Có hai giá trị của x_o

C. Có bốn giá trị của x_o

D. Có một giá trị của x_o

$y = f(x) = x^{2} + (3-x)^{2}$

_{A. Không có giá trị nào của x đáp ứng yêu cầu bài toán}

$x < \frac{5}{4}$ $x < \frac{3}{2}$ $x < \frac{2}{3}$ $y = (2x^{2} - 1)^{2} \cdot \sqrt{2x + 2}$ $8x(2x^{2}-1) \cdot \sqrt{2x+2} + \frac{(2x^{2}-1)^{2}}{\sqrt{2x+2}}$ $4x(2x^{2}-1) \cdot \sqrt{2x+2} + \frac{(2x^{2}-1)^{2}}{\sqrt{2x+2}}$ $8x(2x^{2}-1) \cdot \sqrt{2x+2} + \frac{2 \cdot (2x^{2}-1)^{2}}{\sqrt{2x+2}}$ $-8x(2x^{2}-1) \cdot \sqrt{2x+2} + \frac{(2x^{2}-1)^{2}}{\sqrt{2x+2}}$ $y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x}}$ $\frac{-x}{2\sqrt{1-x} \cdot (1-x)}$ $\frac{3-x}{\sqrt{1-x} \cdot (1-x)}$ $\frac{3-x}{2\sqrt{1-x} \cdot (1-x)}$ $\frac{3}{2\sqrt{1-x} \cdot (1-x)}$

_{Bài 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau:}

$f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x + 1$ $g(x) = 4x^{2} - 3x + 2$ $h(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ $k(x) = e^{2x} - \sin x$

_{Bài 2: Tính đạo hàm riêng của hàm số y đối với x trong các trường hợp sau:}

$y = x^{4} + 3x^{2} - 2x + 5$ $y = e^{x} + \ln x$ $y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ $y = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 5$ $y = 3x^{2} + 2x - 1$ $y = 2x^{2} - 4x + 3$ $y = e^{x} - 2x^{2}$ $y = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1$ $y = \sqrt{(2x-10)^{4} + 10}$ $\frac{8(2x-10)^{3}}{\sqrt{(2x-10)^{4} + 10}}$ $\frac{2(2x-10)^{3}}{\sqrt{(2x-10)^{4}+10}}$ $\frac{(2x-10)^{3}}{\sqrt{(2x-10)^{4}+10}}$ $\frac{4(2x-10)^{3}}{\sqrt{(2x-10)^{4}+10}}$ $y = \sqrt{(x^{2}+2x-10) + (2x+1)^{4}}$ $\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2}+2x-10}} + 4(2x+1)^{3}$ $\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2}+2x-10}} + 8(2x+1)^{3}$ $2. \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2}+2x-10}} + 8(2x+1)^{3}$

D. Lựa chọn khác

Các câu hỏi thường gặp

Hàm hợp là gì và có vai trò như thế nào trong toán học?

Hàm hợp là khái niệm quan trọng trong toán học, cho phép mô tả mối quan hệ phức tạp giữa các biến số. Nó không chỉ là lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn, từ kinh tế đến vật lý, giúp phân tích và hiểu rõ sự biến đổi của các đại lượng.

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp được xác định như thế nào?

Công thức tính đạo hàm của hàm hợp được xác định bằng y'(x) = y'(u)·u'(x). Trong đó, y'(u) là đạo hàm của hàm ngoài tại u, còn u'(x) là đạo hàm của hàm trong tại x, cho phép tìm ra đạo hàm của hàm hợp một cách chính xác.

Ứng dụng thực tiễn của hàm hợp trong kinh tế là gì?

Trong kinh tế, hàm hợp được dùng để mô tả sự biến động của giá cổ phiếu theo thời gian, dựa trên các chỉ số kinh tế khác. Điều này giúp các nhà phân tích đưa ra quyết định đầu tư thông minh hơn và dự đoán xu hướng thị trường.

Tập xác định của hàm hợp g(x) được xác định như thế nào?

Tập xác định của hàm hợp g(x) là tập hợp các giá trị x mà trong đó f[u(x)] có nghĩa. Điều này có nghĩa là giá trị của u(x) phải nằm trong tập xác định của hàm f(u), đảm bảo tính chính xác khi thực hiện các phép toán.

Cách tính đạo hàm của hàm lũy thừa theo hàm hợp là gì?

Cách tính đạo hàm của hàm lũy thừa theo hàm hợp được áp dụng bằng công thức: [u^n(x)]' = n·u^{n-1}(x)·u'(x). Điều này cho phép tính nhanh đạo hàm của các hàm dạng lũy thừa trong nhiều tình huống khác nhau.

Nội dung từ Mytour nhằm chăm sóc khách hàng và khuyến khích du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không áp dụng cho mục đích khác.

Nếu bài viết sai sót hoặc không phù hợp, vui lòng liên hệ qua email: [email protected]