Phương pháp xác định số hạng không có x trong khai triển nhị thức Newton

Buzz

Nội dung bài viết

1. Phương pháp xác định số hạng không có x trong khai triển nhị thức Newton

2. Các bài tập ứng dụng liên quan

3. Hướng dẫn giải các bài tập ứng dụng liên quan

Xem thêm

1. Phương pháp xác định số hạng không có x trong khai triển nhị thức Newton

Khi xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton, học sinh thường gặp hai dạng bài tập chính sau đây:

$x^{m}$ $(ax^{p} + bx^{q})^{m}$ $(ax^{p} + bx^{q})^{n}$ $sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $(ax^{p})^{n - k}$ $(bx^{q})^{k}$ $sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ $b^{k}$ $x^{np - pk + qk}$ $x^{m}$

$x^{m}$ $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ $b^{k}$ $x^{m}$

Điều này có nghĩa là nếu đề bài yêu cầu tìm số hạng không có x thì ta có m = 0

$x^{m}$ $(a + bx^{p} + cx^{q})^{n}$ $x^{2n}$

Chúng ta thực hiện theo các bước sau

$(a + bx^{p} + cx^{q})^{n}$ $sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ $(bx^{p} + cx^{q})^{k}$ $(bx^{p} + cx^{q})^{k}$ $x^{m}$

2. Các bài tập ứng dụng liên quan

$(2x^{2} - rac{3}{x})^{n}$

A. 4889888

B. 48988

C. 489888

D. 49888

$(x^{2} - rac{2}{x})^{n}$ $C_{n}^{2}$ $(x^{2} + rac{1}{x})^{15}$

A. 4000

B. 2700

C. 3003

D. 3600

$(x + rac{2}{x})^{4}$ $(x^{4} + rac{3}{x^{2}})^{9}$

Bài 6. Tìm số hạng không có x trong các khai triển sau: f(x) = (x − 2/x)^{12} (với x ≠ 0)

A. 59136

B. 213012

C. 12373

D. 139412

$(xy^{2} - rac{1}{xy})^{8}$

A. 70 y^4

B. 60 y^4

C. 50 y^4

D. 40 y^4

$(x - rac{2}{x^{2}})^{21}$ $2^{7}$ $2^{8}$ $2^{8}$ $2^{7}$

Bài 9. Tìm số hạng không có x trong khai triển (2 sqrt[3]{x} - sqrt[3]{x})^{10}, với x > 0.

$(x + rac{2}{x})^{4}$

3. Hướng dẫn giải các bài tập ứng dụng liên quan

Bài 1.

Phương pháp giải quyết:

$(1 + x)^{n}$

- Tìm giá trị của n khi x = 1.

$(2x^{2} - rac{3}{x})^{9}$

Hướng dẫn giải chi tiết:

$(1 + x)^{n}$ $C_{n}^{k}$ $x^{k}$ $(1 + x)^{n - 1}$ $C_{n}^{k}$ $x^{k - 1}$ $2^{n - 1}$ $2^{8}$ $(2x^{2} - rac{3}{x})^{9}$ $C_{9}^{k}$ $(2x^{2})^{9 - k}$ $( rac{-3}{x})^{k}$ $C_{9}^{k}$ $2^{9 - k}$ $(-3)^{k}$ $x^{18 - 3k}$

Số hạng không có x khi 18 − 3k = 0, tức là k = 6.

$C_{9}^{6}$ $2^{3}$ $(-3)^{6}$

Bài 2.

Hướng dẫn chi tiết:

X ≠ 0, n thuộc tập hợp số tự nhiên dương; n ≥ 2.

$C_{n}^{2}$

n = -8 (không hợp lệ); n = 9 (hợp lệ)

$(x^{2} - \frac{2}{x})^{9}$ $C_{9}^{k}$ $(x^{2})^{9 - k}$ $({\frac{-2}{x}})^{k}$ $C_{9}^{k}$ ${x}^{18 - 3k}$

Số hạng không còn chứa x khi 18 − 3k = 0 tức là k = 6 (đúng).

$C_{9}^{6}$

Bài tập 3.

Cách giải:

$(a + b)^{n}$ $a^{k}$ $b^{n - k}$

- Số hạng không có x là số hạng có chỉ số của x bằng 0.

Chi tiết giải:

$(x^{2} + \frac{1}{x})^{15}$ $(\frac{1}{x})^{15}$ $x^{2(15 - k)}$ $x^{30 - 3k}$

Số hạng không còn chứa x khi 30 − 3k = 0, tức là k = 10.

$C_{15}^{10}$

Đáp án chính xác là C.

Bài tập 4.

Hướng dẫn cách giải:

Ta có: ( x + 2 x )^4 = C_{0}^{4} cdot x^4 + C_{1}^{4} cdot x^3 cdot 2x + C_{2}^{4} cdot x^2 cdot (2x)^2 + C_{3}^{4} cdot x cdot (2x)^3 + C_{4}^{4} cdot (2x)^4 = x^4 + 4x^3 cdot 2x + 6x^2 cdot (2x)^2 + 4x cdot (2x)^3 + (2x)^4 = x^4 + 8x^2 + 24 + 32x^2 + 16x^4

Do đó, số hạng không chứa x là 24.

Bài tập 5.

Hướng dẫn chi tiết các bước giải:

$(x^{4} + \frac{3}{x^{2}})^{9}$ $(\frac{3}{x^{2}})^{k}$ $x^{36 - 6k}$

Số hạng không có x tương ứng với k thoả mãn phương trình: 36 − 6k = 0 ⇔ k = 6 (đúng)

$3^{6}$ $C_{9}^{6}$

Bài tập 6.

Đáp án chính xác là A.

$(x - 2 cdot x^{-1})^{12}$ $x^{12 - k}$ $x^{12 - k}$

Số hạng không còn chứa x khi k thoả mãn điều kiện: 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6

⇒ số hạng không chứa x là: C_{6}^{12} cdot 2^6 = 59136.

Bài tập 7.

$(xy^{2} - \frac{1}{xy})^{8}$

Số hạng không chứa x khi 8 − 2k = 0 ⇔ k = 4 → Số hạng cần tìm là C_{4}^{8} cdot (-1)^{4} cdot y^{4} = 70 y^4.

Đáp án chính xác là: A

Bài tập 8.

Đáp án đúng là D

Số hạng tổng quát được tính như sau: T_{k + 1} = C_{k}^{n} a^{n - k} b^{k} = C_{k}^{21} x^{21 - k} cdot (-2x^2)^{k} = (-2)^{k} C_{k}^{21} x^{21 - 3k}. Số hạng không chứa x khi 21 − 3k = 0 ⇔ k = 7.

$2^{7}$

Bài tập 9.

Ta có (2 sqrt[3]{x} - 3 sqrt{x})^{10} = (2 cdot x^{1/3} - 3 cdot x^{-1/2})^{10}.

Số hạng tổng quát trong khai triển là C_{k}^{10} (2x^{1/3})^{10 - k} cdot (-3x^{-1/2})^{k} = (-1)^{k} cdot 2^{10 - k} cdot 3^{k} cdot x^{10 - k/3} cdot x^{-k/2} = (-1)^{k} C_{k}^{10} cdot 2^{10 - k} cdot 3^{k} cdot x^{20 - 5k/6}.

Số hạng không có x được xác định khi 20 − 5k = 0 ⇔ k = 4

Do đó, số hạng không chứa x trong khai triển là (-1)^{4} C_{4}^{10} cdot 2^{6} cdot 3^{4} = 210 cdot 64 cdot 81 = 1.088.640

Bài tập 10.

$(x + \frac{2}{x})^{4}$ $C_{4}^{0}$ $C_{4}^{1}$ $C_{4}^{2}$ $C_{4}^{3}$ $C_{4}^{4}$

Do đó, số hạng không chứa x là 24

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]