Phương trình bậc hai

Trong toán học cơ bản, phương trình bậc hai có dạng: $a{x}^2+bx+c=0,$ Trong đó, x là ẩn số chưa xác định và a, b, c là các hệ số đã biết, với điều kiện a khác 0. Các hệ số này gồm a, b, và c có thể được gọi là hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hoặc hệ số tự do tương ứng.

Phương trình bậc hai chỉ có một ẩn số, do đó nó còn được gọi là phương trình 'đơn biến'. Phương trình này chỉ chứa các lũy thừa của x với số mũ tự nhiên, vì vậy nó thuộc dạng phương trình đa thức, đặc biệt là phương trình đa thức bậc hai với bậc cao nhất là hai.

Những phương pháp phổ biến để giải phương trình bậc hai bao gồm nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, áp dụng công thức nghiệm, hoặc sử dụng đồ thị. Con người đã biết đến các phương pháp giải tương tự phương trình bậc hai từ khoảng năm 2000 trước Công Nguyên.

Giải phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai nghiệm, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thể khác nhau hoặc trùng nhau, và có thể là số thực hoặc số phức.

Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có thể được biểu diễn dưới dạng (px + q)(rx + s) = 0. Trong một số trường hợp, có thể thực hiện điều này bằng cách đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình ban đầu. Sau khi chuyển đổi được thành dạng này, phương trình bậc hai sẽ được thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải các phương trình bậc nhất này sẽ cho ra nghiệm.

Đối với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ tiếp cận. Nếu phương trình bậc hai có dạng x + bx + c = 0 (với a = 1), ta có thể phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng bằng b và tích bằng c (đôi khi gọi là 'quy tắc Viet'). Ví dụ, x + 5x + 6 có thể viết thành (x + 3)(x + 2). Trong trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 sẽ đòi hỏi nhiều công sức hơn để dự đoán, thử và kiểm tra; mặc dù có thể thực hiện được.

Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hoặc c = 0, việc phân tích bằng phương pháp kiểm tra chỉ có thể áp dụng cho những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là hầu hết các phương trình bậc hai gặp trong thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.

Phần bù bình phương

Trong quá trình hoàn thành bình phương, chúng ta áp dụng hằng đẳng thức sau đây:

$x^2+2hx+h^2=(x+h{)}^2,$

Một phương pháp chính xác để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào là sử dụng thuật toán này. Bắt đầu với phương trình bậc hai tổng quát ax + bx + c = 0

1. Chia mỗi vế của phương trình cho a, hệ số của biến số bình phương.
2. Trừ đi c/a từ cả hai vế.
3. Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào cả hai vế; vế bên trái sẽ trở thành một bình phương hoàn chỉnh.
4. Chuyển đổi vế bên trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế bên phải nếu cần thiết.
5. Khai căn cả hai vế để có hai phương trình bậc nhất.
6. Giải hai phương trình bậc nhất này.

$a{x}^2+bx+c=0$

$\iff <!--\; \iff \; -->a{x}^2+bx=-<!--\; -\; -->c$

$\iff <!--\; \iff \; -->x^2+\frac{b}{a}x=-<!--\; -\; -->\frac{c}{a}$

$\iff <!--\; \iff \; -->x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-<!--\; -\; -->\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$

$\iff <!--\; \iff \; -->(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{-<!--\; -\; -->4ac+b^2}{4a^2}$

$\iff <!--\; \iff \; -->(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-<!--\; -\; -->4ac}{4a^2}$

$\iff <!--\; \iff \; -->(x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}$

$\iff <!--\; \iff \; -->x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}$

Sau đây là ví dụ về cách áp dụng thuật toán này để giải phương trình 2x + 4x − 4 = 0

Đây là cách giải chi tiết.

$\iff <!--\; \iff \; -->x^2+2x-<!--\; -\; -->2=0$

$\iff <!--\; \iff \; -->x^2+2x=2$

$\iff <!--\; \iff \; -->$

  x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow \ x^{2}+2x+1=2+1}

$\iff <!--\; \iff \; -->{\left(x+1\right)}^2=3$

$\iff <!--\; \iff \; -->x+1=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3}$

$\iff <!--\; \iff \; -->x=-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3}$

Ký hiệu cộng-trừ '±' cho thấy rằng cả hai giá trị x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để đưa ra công thức tổng quát giải phương trình bậc hai, gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Dưới đây là phần chứng minh ngắn gọn: bằng cách khai triển đa thức, ta dễ dàng thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình ban đầu.

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-<!--\; -\; -->4ac}{4.a^2}.$

Sau khi lấy căn bậc hai của hai vế và chuyển x sang một bên, chúng ta có:

$x=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}.$

Một số tài liệu, đặc biệt là tài liệu cổ, thay thế tham số của phương trình bậc hai bằng các dạng như ax + 2bx + c = 0 hoặc ax − 2bx + c = 0 , trong đó b có giá trị bằng một nửa và có thể có dấu ngược lại. Các dạng nghiệm có sự khác biệt nhỏ, nhưng về cơ bản vẫn tương đương.

Còn nhiều phương pháp khác để rút ra công thức nghiệm, có thể được tìm thấy trong tài liệu. Những phương pháp chứng minh này thường đơn giản hơn so với phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.

Một công thức ít được biết đến, như được áp dụng trong phương pháp Muller và có thể thu được từ công thức Viet, là:

$x=\frac{-<!--\; -\; -->2c}{b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}.$

Một đặc điểm của công thức này là khi a = 0, nó vẫn cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có phép chia cho 0, vì khi a = 0, phương trình bậc hai trở thành phương trình bậc nhất với một nghiệm duy nhất. Ngược lại, công thức phổ biến thường có phép chia cho 0 trong cả hai trường hợp.

Phương trình bậc hai đã được rút gọn

Việc đơn giản hóa phương trình bậc hai để hệ số lớn nhất trở thành một thường rất hữu ích. Cách thực hiện là chia cả hai vế cho a, điều này luôn khả thi khi a khác 0, ta có phương trình bậc hai đơn giản hóa:

$x^2+px+q=0,$

Trong đó, p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm cho phương trình này là:

$x=\frac{1}{2}\left(-<!--\; -\; -->p\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{p^2-<!--\; -\; -->4q}\right).$

Biệt thức

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được ký hiệu bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4ac.$

Thêm vào đó, với b = 2b' thì biệt thức có thể được rút gọn thành:

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }=b^{\prime 2}-<!--\; -\; -->ac.$ và Δ = 4Δ'

Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này, biệt thức xác định số lượng và loại nghiệm. Có ba tình huống:

• Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hoặc Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2a}\text{và}\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2a}\text{(hoặc}\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }}}{a}\text{và}\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }-<!--\; -\; -->\sqrt{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }}}{a})$

Cả hai giá trị trên đều là nghiệm thực. Đối với phương trình bậc hai với hệ số hữu tỷ, nếu Δ hoặc Δ' là số chính phương, thì nghiệm sẽ là số hữu tỷ; ngược lại, nếu không phải chính phương, nghiệm có thể là số vô tỷ.

• Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình có một nghiệm thực duy nhất:

$-<!--\; -\; -->\frac{b}{2a}$(hoặc $-<!--\; -\; -->\frac{b^{\prime }}{a}$)

Đây còn được gọi là nghiệm kép trong một số trường hợp.

• Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình sẽ không có nghiệm thực, thay vào đó có hai nghiệm phức phân biệt.

$\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}+\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}|}}{2a}i\text{và}\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{|\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}|}}{2a}i$ hoặc $\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }}{a}+\frac{\sqrt{|{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }|}}{a}i\text{và}\frac{-<!--\; -\; -->b^{\prime }}{a}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{|{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }|}}{a}i$

Trong trường hợp này, giá trị của phương trình là số phức.

Phương trình sẽ có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0. Nó có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0).

Giải thích qua hình học

Hàm số f(x) = ax + bx + c là một hàm số bậc hai. Đồ thị của bất kỳ hàm số bậc hai nào đều có dạng parabol. Hình dạng, vị trí và kích thước của parabol phụ thuộc vào các hệ số a, b, và c. Nếu a > 0, parabol sẽ có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, nó có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Đỉnh của parabol có hoành độ $x=\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}$, sau khi tính giá trị x và thay vào hàm số, bạn sẽ có giá trị của tung độ. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0, c).

Các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 chính là các nghiệm của hàm số f(x) = ax + bx + c vì chúng là những giá trị của x sao cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là các số thực và miền xác định của hàm f là tập hợp các số thực, thì nghiệm của f là hoành độ của điểm giao/tiếp giữa đồ thị và trục hoành (xem hình 3).

Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử

Biểu thức

$x-<!--\; -\; -->r$

là một yếu tố của đa thức

$a{x}^2+bx+c$

nếu và chỉ nếu r là một nghiệm của phương trình bậc hai

$a{x}^2+bx+c=0.$

Theo công thức nghiệm, ta có

$a{x}^2+bx+c=a\left(x-<!--\; -\; -->\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}\right)\left(x-<!--\; -\; -->\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}\right).$

Khi đặc biệt b = 4ac (tức là Δ = 0), phương trình có một nghiệm duy nhất, và ta có thể phân tích đa thức bậc hai thành

$a{x}^2+bx+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2.$

Lịch sử

Từ năm 2000 trước Công Nguyên, các toán học gia Babylon đã biết cách giải các bài toán về diện tích và cạnh của hình chữ nhật. Có tài liệu cho thấy phương pháp này đã được sử dụng từ triều đại Ur thứ ba. Theo ký hiệu ngày nay, các bài toán này thường liên quan đến việc giải một hệ hai phương trình:

$x+y=p,xy=q$

tương đương với phương trình:

$x^2+q=px$

Người Babylon đã đề xuất các bước giải như sau:

1. Tính giá trị của p/2.
2. Bình phương kết quả vừa tính.
q.
3. Sử dụng bảng căn bậc hai để tính căn bậc hai của kết quả.
x. Đây thực chất là việc tính toán theo công thức $x=\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-<!--\; -\; -->q}$

Các nền văn minh Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ đều sử dụng các phương pháp hình học để giải phương trình bậc hai. Tài liệu Berlin Papyrus của người Ai Cập từ thời Trung vương quốc (2050-1650 trước CN) đã ghi chép cách giải phương trình bậc hai với hai số hạng. Trong các kinh Sulba Sutras, khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng ax = c và ax + bx = c được nghiên cứu bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoảng năm 400 trước CN và các nhà toán học Trung Quốc từ khoảng năm 200 trước CN đã áp dụng phương pháp phân chia hình học để giải các phương trình bậc hai với nghiệm dương. Cuốn Cửu chương toán thuật của người Trung Quốc ghi lại các quy tắc giải phương trình bậc hai. Những phương pháp hình học sơ khai này chưa có công thức tổng quát. Đến khoảng năm 300 trước CN, Euclid của Hy Lạp đã phát triển một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn hình học, Pythagoras và Euclid đã tạo ra một phương pháp tổng quát để giải phương trình bậc hai. Trong tác phẩm Arithmetica của mình, Diophantus đã đưa ra lời giải cho phương trình bậc hai, nhưng chỉ cung cấp một nghiệm, ngay cả khi có hai nghiệm dương.

Vào năm 628 CN, Brahmagupta, một nhà toán học Ấn Độ, đã đưa ra công thức giải phương trình bậc hai đầu tiên một cách rõ ràng (mặc dù chưa hoàn toàn tổng quát) như sau: 'Nhân số tuyệt đối của c với bốn lần bình phương hệ số, cộng với bình phương của hệ số số hạng; sau đó tính căn bậc hai, trừ đi hệ số số hạng, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương để tìm giá trị.' (Brahmasphutasiddhanta, bản dịch của Colebrook, 1817, trang 346) Công thức này tương đương với:

$x=\frac{\sqrt{4ac+b^2}-<!--\; -\; -->b}{2a}.$

Cuốn sách Thủ bản Bakhshali, ra đời vào thế kỷ 7 ở Ấn Độ, chứa một phương pháp đại số để giải phương trình bậc hai và các phương trình vô định. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi đã mở rộng công thức này bằng cách đưa ra một giải pháp tổng quát cho phương trình bậc hai và mô tả kỹ thuật phần bù bình phương, đồng thời khẳng định rằng biệt thức phải dương, điều mà 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) đã chứng minh bằng biểu đồ hình học. Turk chứng minh rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai không có nghiệm. Mặc dù al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm âm, nhưng các nhà toán học Hồi giáo sau này đã tiếp nhận nghiệm âm và nghiệm vô tỉ. Đặc biệt, Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ, như căn bậc hai, căn bậc ba hay căn bậc bốn, là nghiệm hoặc hệ số của phương trình bậc hai. Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ 9, Sridhara, đã ghi lại các quy tắc giải phương trình bậc hai.

Nhà toán học người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) đã viết cuốn sách đầu tiên ở châu Âu, trong đó chứa phương pháp giải phương trình bậc hai tổng quát. Giải pháp của Ha-Nasi dựa trên công trình của Al-Khwarizmi. Hệ số âm của 'x' lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), mặc dù ông cho rằng điều này đã được Liu Yi đề xuất trước đó. Vào năm 1545, Gerolamo Cardano đã biên soạn các tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm tổng quát lần đầu tiên được Simon Stevin phát hiện vào năm 1594. Năm 1637, René Descartes công bố tác phẩm La Géométrie, trong đó bao gồm công thức nghiệm hiện đại. Giải pháp tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896, do Henry Heaton công bố.

Công thức Viète

Công thức Viète cho thấy mối quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức và các hệ số của nó. Đối với phương trình bậc hai một ẩn, các công thức là:

• Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne <!--\; \ne \; -->0)$ thì có các mối quan hệ sau: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=S=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}\\ \\ x_1{x}_2=P=\frac{c}{a}\end{array}$
• Ngược lại, nếu x₁ và x₂ có tổng là S và tích là P, thì x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình x - Sx + P=0

Các trường hợp đặc biệt cần lưu ý

Dưới đây là các dấu hiệu nhận diện đặc biệt của phương trình bậc hai:

• $a+b+c=0$ (với a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai, và a không bằng 0) thì nghiệm của phương trình sẽ là: $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}$.
• $a-<!--\; -\; -->b+c=0$ (với a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai, và a không bằng 0) thì nghiệm của phương trình là: $x_1=-<!--\; -\; -->1;x_2=-<!--\; -\; -->\frac{c}{a}$
• Nếu (tức là a và c có dấu hiệu khác nhau) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và trái dấu.

Các chủ đề liên quan

• Phương trình
• Phương trình tuyến tính
• Hàm số bậc nhất
• Hàm số bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình bậc bốn
• Phương trình bậc năm
• Cơ bản về lý thuyết đại số
• Đường cong bậc hai
• Mặt bậc hai