Phương trình bậc tư

Phương trình bậc tư là một phương trình đơn biến với bậc cao nhất là 4.

Lịch sử

Vào năm 1545, Girolamo Cardano (1501 - 1576) đã xuất bản cuốn sách Ars Magna, trong đó giới thiệu phương pháp của Lodovico Ferrari để giải phương trình bậc tư bằng cách chuyển đổi thành phương trình bậc ba. Từ đó, mọi phương trình bậc dưới 4 và phương trình bậc bốn đều có thể được giải quyết một cách tổng quát bằng công thức căn bậc hai và số phức.

Định dạng chung

Phương trình bậc bốn có hệ số phức:

$x^4+d_1{x}^3+d_2{x}^2+d_{3}x+d_4=0$

$d_1,d_2,d_3,d_4\in <!--\; \in \; -->C$

Giả sử

$x=Y-<!--\; -\; -->\frac{d_1}{4}$

Phương trình bậc bốn chuyển về dạng rút gọn theo biến Y:

$Y^4+a_2{Y}^2+a_{3}Y+a_4=0$

$a_2,a_3,a_4\in <!--\; \in \; -->C$

Một phương pháp giải phương trình bậc bốn đơn giản

Chúng ta đưa phương trình bậc bốn về dạng rút gọn và giải như sau:

Phương trình: $X^4 + aX^2 + bX + c = 0$

Tương đương với:

Phương trình: $(X^2 + m)^2 + (a - 2m)X^2 + bX + c - m^2 = 0$

Hoặc:

Phương trình: $(X^2 + m)^2 - (2m - a)[X^2 - \frac{b}{2m - a}X + \frac{m^2 - c}{2m - a}] = 0$

Chọn m sao cho

Phương trình: $\frac{b}{2(2m-a)} = \sqrt{\frac{m^2-c}{2m-a}}$

Hoặc:

Phương trình: $b^2 = 4(2m-a)(m^2-c)$

m là nghiệm của một phương trình bậc 3 do đó có thể giải được.

• Nếu b = 0, phương trình bậc 4 trở thành phương trình trùng phương, và việc giải phương trình bậc 4 tương đương với việc giải phương trình bậc 2

Phương trình: $X^{4}+aX^{2}+c=0$

• Nếu b≠0 và (a - 2m)≠0, phương trình mới có dạng hiệu của hai bình phương, giải được bằng cách phân tích nhân tử bậc hai của X:

Phương trình: $(X^{2}+m)^{2}-(2m-a)[X-{\frac {b}{2(2m-a)}}]^{2}=0$

Hoặc

Phương trình: $[X^{2}-({\sqrt {2m-a}})X+{\frac {b}{2({\sqrt {2m-a}})}}+m][X^{2}+({\sqrt {2m-a}})X-{\frac {b}{2({\sqrt {2m-a}})}}+m]=0$

Giải phương trình bậc bốn bằng cách tìm nghiệm của hai phương trình bậc hai

Nghiệm $x_{1}={\frac {1}{2}}[{\sqrt {2m-a}}+{\sqrt {-{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]$

Nghiệm $x_{2}={\frac {1}{2}}[{\sqrt {2m-a}}-{\sqrt {-{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]$

Nghiệm $x_{3}={\frac {1}{2}}[-{\sqrt {2m-a}}+{\sqrt {{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]$

Giải phương trình bậc tám với hệ số chính là 1, tìm được nghiệm của phương trình

Ví dụ

Phương trình bậc bốn có hệ số chính là 1, với phép toán 4 mũ x cộng với 4 mũ x toàn bộ

x=bất kỳ-y trừ đi phân số d1 và 4 y trừ 1

Phương trình bậc tư có hệ số chính là 1 mũ y bị trừ đi 10 mũ y cộng với 4 y cộng với 14

a = -10, b = 4, c = 14, m = -4

y1 = 2.46374745

y2 = -1.049533887

y3 = 1,724808835

y4 = -3.139022397

x = y - 1

x1 = 1.46374745

x2 = -2.049533887

x3 = 0.724808835

x4 = -4.139022397

Cách giải bằng cách đặt ẩn

x^4 + a2x^2 + a3x + a4 = 0

Đặt:

xj = ω^j u1 + ω^(2j) u2 + ω^(3j) u3 + ω^(4j) u4 (Định thức Vandermonde khác không nên xj bất kì)

ω = cos(2π/4) + i sin(2π/4)

u4 = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4 = -a1 / 4 = 0

Do đó:

xj = ω^j u1 + ω^(2j) u2 + ω^(3j) u3

Khi đó:

a2 = -4u1u3 - 2u2^2

$a_3=-<!--\; -\; -->4(u_1^2+u_3^2)u_2$

$a_4=-<!--\; -\; -->u_1^4-<!--\; -\; -->u_3^4+2u_1^2{u}_3^2-<!--\; -\; -->4u_1{u}_3{u}_2^2+u_2^4$

• Nếu u₂ ≠ 0:

$u_1{u}_3=-<!--\; -\; -->\frac{a_2}{4}-<!--\; -\; -->\frac{u_2^2}{4}$

$u_1^2+u_2^2=-<!--\; -\; -->\frac{a_3}{4u_2}$

$a_4=-<!--\; -\; -->\left[\right(u_1^2+u_3^2{)}^2-<!--\; -\; -->2u_1^2{u}_3^2]+2u_1^2{u}_3^2-<!--\; -\; -->4u_1{u}_3{u}_2^2+u_2^4$

Thay $u_1{u}_3,u_1^2+u_3^2$ theo u₂ vào a₄

u₂ là nghiệm của phương trình:

$4u_2^6+2a_2{u}_2^4+(\frac{a_2^2}{4}-<!--\; -\; -->a_4)u_2^2-<!--\; -\; -->\frac{a_3^2}{16}=0$

Chuyển u₂ cho công thức a₄ bằng cách thêm phần.

• Nếu u₂ = 0

$x^4-<!--\; -\; -->4u_1{u}_3{x}^2-<!--\; -\; -->u_1^4-<!--\; -\; -->u_3^4+2u_1^2{u}_3^2=0$

$u_1{u}_3=-<!--\; -\; -->\frac{a_2}{4}$

$u_1^4+u_3^4=-<!--\; -\; -->(a_4-<!--\; -\; -->\frac{a_2^2}{8})$

Biết tích và tổng của hai số thì ta có thể tìm được hai số đó tương đương giải một phương trình bậc hai

Nói thêm về phương trình có bậc lớn hơn 4

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu phương trình bậc 5 có thể được giải tổng quát bằng công thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu. Tschirnhaus đã đưa ra lời giải nhưng bị Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler cũng đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại phát triển phương pháp mới để giải phương trình bậc bốn. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và tìm ra cách giải quyết bài toán cho các phương trình bậc bé hơn hoặc bằng bốn. Tuy nhiên, ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu áp dụng cho phương trình bậc 5. Vào năm 1813, Ruffini công bố một chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không thể giải được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Niels Henrik Abel đã chứng minh một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không thể giải bằng căn thức. Và Évariste Galois (1811 - 1832), chàng thanh niên người Pháp 21 tuổi, đã đưa ra lời giải rất sâu sắc cho bài toán 'Làm thế nào để nhận biết một phương trình đại số có thể giải được bằng căn thức hay không' bằng cách phát triển lý thuyết nhóm.