Phương trình cấp số cộng: Lý thuyết và bài tập về phương trình tính cấp số cộng

Buzz

Nội dung bài viết

I. Công thức tổng quát của cấp số cộng

II. Số hạng thứ n của cấp số cộng

III. Điều kiện để tạo thành cấp số cộng

IV. Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

V. Loại bài tập cấp số cộng

VI. Bài tập về cấp số cộng

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Cấp số cộng là chuỗi số thỏa mãn điều kiện: từ số thứ hai trở đi, mỗi số là tổng của số liền trước cộng với một số không đổi.
- Công thức cấp số cộng gồm: công thức tổng quát, số hạng thứ n, điều kiện thành lập, tính tổng n số hạng đầu, và các dạng bài tập như nhận diện, xác định sai số, số hạng, tổng, và xác định cấp số cộng.
- Ví dụ bài tập bao gồm tính số hạng thứ 100 và tổng 15 số hạng đầu.

Cấp số cộng là một chuỗi số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Từ số thứ hai trở đi, mỗi số là tổng của số liền trước nó cộng với một số không đổi. Vậy công thức cấp số cộng là gì? Điều kiện thành lập cấp số cộng như thế nào? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

I. Công thức tổng quát của cấp số cộng

$left( {{U_n}} ight) = left{ {egin{array}{{20}{c}} {{u_1} = a} \ {{u_{n + 1}} = {u_n} + d} end{array}left( {n in mathbb{N}} ight)} ight.$

II. Số hạng thứ n của cấp số cộng

${u_{n + 1}} = {u_1} + left( {n - 1} ight)d Rightarrow d = rac{{{u_{n + 1}} - {u_1}}}{{n - 1}}$

III. Điều kiện để tạo thành cấp số cộng

${u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}}$ ${u_n} = rac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}$

IV. Tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Tổng riêng thứ n được xác định bởi công thức sau:

$S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = rac{{nleft( {{u_1} + {u_n}} ight)}}{2} = rac{{nleft[ {2{u_1} + left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2}$

Lưu ý

$left( {{U_n}} ight)$ $Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d$ ${u_1},d$

V. Loại bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận diện cấp số cộng

Bước 1

$d = {u_n} – {u_{n – 1}}, orall n ge 2.$

Bước 2: Kết luận:

$left( {{u_n}} ight)$ $left( {{u_n}} ight)$

Dạng 2: Xác định sai số từ công thức cấp số cộng

Sử dụng những thuộc tính của cấp số cộng như đã nêu trên, sau đó thực hiện các biến đổi để tính toán định lượng sai số d

Dạng 3: Xác định số hạng của cấp số cộng

${u_n} = {u_1} + left( {n – 1} ight)d$

Dạng 4: Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Chúng ta áp dụng công thức tính tổng của cấp số cộng:

$egin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}\ = rac{{left( {{u_1} + {u_n}} ight).n}}{2}\ = rac{{left[ {2{u_1} + left( {n – 1} ight)d} ight].n}}{2} end{array}$

Dạng 5: Xác định cấp số cộng

${u_1},$ ${u_n} = {u_1} + left( {n – 1} ight)d.$

VI. Bài tập về cấp số cộng

Bài 1

Gợi ý

${u_2} – {u_1} = 6$ Bài 2: ${u_1} = – 3;,,{u_6} = 27$

Gợi ý

$egin{array}{l} {u_6} = 27\ Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\ Leftrightarrow – 3 + 5d = 27\ Leftrightarrow d = 6 end{array}$ Bài 3 ${u_1} = rac{1}{3};,,{u_8} = 26$

Gợi ý

$egin{array}{l} {u_8} = 26 Leftrightarrow {u_1} + 7d = 26\ Leftrightarrow rac{1}{3} + 7d = 26\ Leftrightarrow d = rac{{11}}{3} end{array}$ Bài 4 $({u_n})$ $left{ egin{array}{l} {u_5} + 3{u_3} – {u_2} = – 21\ 3{u_7} – 2{u_4} = – 34 end{array} ight.$

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

$S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}}.$

Gợi ý

Từ điều kiện đã cho, suy ra:

$egin{array}{l} left{ egin{array}{l} {u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) – ({u_1} + d) = – 21\ 3({u_1} + 6d) – 2({u_1} + 3d) = – 34 end{array} ight.\ Leftrightarrow left{ egin{array}{l} {u_1} + 3d = – 7\ {u_1} + 12d = – 34 end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l} {u_1} = 2\ d = – 3 end{array} ight. end{array}$ ${u_{100}} = {u_1} + 99d = – 295$ ${S_{15}} = rac{{15}}{2}left[ {2{u_1} + 14d} ight] = – 285$ $egin{array}{l} S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}} = rac{{27}}{2}left[ {2{u_4} + 26d} ight]\ = 27left( {{u_1} + 16d} ight) = – 1242 end{array}$

Lưu ý: Cách tính S khác như sau:

$S = {S_{30}} – {S_3} = 15left( {2{u_1} + 29d} ight) – rac{3}{2}left( {2{u_1} + 2d} ight) = – 1242.$

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Công thức tổng quát của cấp số cộng là gì?

Công thức tổng quát của cấp số cộng được xác định là an = a1 + (n-1) * d, trong đó a1 là số hạng đầu và d là công sai.

Làm thế nào để xác định số hạng thứ n của cấp số cộng?

Để xác định số hạng thứ n, sử dụng công thức an = a1 + (n-1) * d, với a1 là số hạng đầu và d là công sai không đổi.

Điều kiện để tạo thành cấp số cộng là gì?

Điều kiện để tạo thành cấp số cộng là mỗi số sau số đầu tiên phải là tổng của số liền trước đó cộng với một công sai cố định.

Công thức tính tổng của n số hạng đầu cấp số cộng là gì?

Công thức tính tổng của n số hạng đầu cấp số cộng là Sn = n/2 * (2a1 + (n-1) * d), trong đó a1 là số hạng đầu và d là công sai.