Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm là công thức toán học để mô tả mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (có thể có một hoặc nhiều biến) và đạo hàm của nó (với các bậc khác nhau). Phương trình đạo hàm rất quan trọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ: một phương trình đạo hàm đơn giản

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{df\left(x\right)}{dx}$

Chú ý, trong phương trình ví dụ trên, nếu f(x) là vận tốc của một vật, thì f'(x) chính là gia tốc của vật đó (đại lượng thể hiện sự thay đổi của vận tốc). Phương trình đạo hàm được phát triển để xác định mối liên hệ giữa một đại lượng biến thiên liên tục (biểu diễn bằng hàm f(x)) và độ biến thiên của đại lượng đó (biểu diễn bằng đạo hàm bậc 1 hoặc cao hơn). Điều này đặc biệt quan trọng trong cơ học cổ điển, ví dụ, Định luật Newton về chuyển động cho phép tính toán vị trí của một vật dựa vào vận tốc, gia tốc, và các lực tác động, dưới dạng phương trình đạo hàm theo thời gian.

Với các hàm thông thường, nghiệm thường là một giá trị số (thực, phức, v.v...). Tuy nhiên, trong phương trình đạo hàm, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa biết sao cho nó phù hợp với mối quan hệ đã cho. Thường thì, nghiệm của phương trình sẽ tạo thành một tập hợp các phương trình, chênh lệch với một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ được xác định rõ khi có thêm điều kiện đầu vào hoặc điều kiện biên.

Trong thực tế, việc xác định công thức của hàm có thể rất phức tạp. Thường thì, người ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm tại những điểm cụ thể của các biến độc lập. Các phương pháp để xác định giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên, có những tình huống mà việc tìm ra giá trị chính xác cũng rất khó khăn, và người ta thường tìm kiếm giá trị xấp xỉ (với một mức độ chính xác nhất định). Các giá trị này thường được tính toán bằng phương pháp số và công cụ là máy tính. Phương pháp này được gọi là phân tích số.

Hướng nghiên cứu

Phương trình đạo hàm được nghiên cứu sâu rộng trong các lĩnh vực toán học thuần túy và ứng dụng, vật lý và kỹ thuật.

• Trong toán học thuần túy, nghiên cứu tập trung vào việc xác định sự tồn tại và tính duy nhất của hàm nghiệm.
• Trong toán học ứng dụng, người ta chú trọng vào các phương pháp xấp xỉ hàm nghiệm.
• Các lĩnh vực khác sử dụng phương trình đạo hàm để mô phỏng các quá trình vật lý, sinh học và kỹ thuật, chẳng hạn như sự tương tác giữa các nguyên tử trong phân tử hoặc giữa các neuron thần kinh. Trong các ứng dụng thực tế, việc tìm dạng đóng của hàm nghiệm không phải lúc nào cũng cần thiết. Thay vào đó, hàm có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp số.
• Các nhà toán học cũng nghiên cứu nghiệm yếu (dựa trên đạo hàm yếu).
• Việc nghiên cứu tính ổn định của hàm nghiệm của các phương trình đạo hàm thuộc về lý thuyết ổn định.

Các dạng phương trình đạo hàm

• Phương trình đạo hàm thường (ODE) là loại phương trình trong đó hàm chưa biết là hàm của một biến độc lập.
• Phương trình đạo hàm riêng phần (PDE) là loại phương trình trong đó hàm chưa biết phụ thuộc vào nhiều biến độc lập và các đạo hàm riêng của nó.
• Phương trình đạo hàm trễ (DDE) là loại phương trình trong đó giá trị đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm phụ thuộc vào giá trị của hàm tại một thời điểm khác.
• Phương trình đạo hàm ngẫu nhiên (SDE) là loại phương trình trong đó một hoặc nhiều thành phần là quá trình ngẫu nhiên, dẫn đến hàm nghiệm cũng là một quá trình ngẫu nhiên.
• Phương trình đạo hàm đại số (DAE) là phương trình trong đó bao gồm cả các thành phần đại số và đạo hàm.

Mỗi loại phương trình trên có thể được phân loại thành tuyến tính và phi tuyến tính. Một phương trình đạo hàm là tuyến tính nếu tất cả các đạo hàm của nó chỉ liên quan đến hàm dạng mũ 1 và không chứa tích hay hàm của các biến phụ thuộc. Ngược lại, nó sẽ là phương trình phi tuyến. Ví dụ, nếu u′ là đạo hàm bậc nhất của u, thì phương trình

$u^{\prime }=u$

là tuyến tính, trong khi phương trình

$u^{\prime }=u^2$

là phương trình phi tuyến. Trong khi các phương trình đạo hàm tuyến tính có thể giải được, thì phương trình phi tuyến không có công thức giải chung, trừ khi chúng có tính đối xứng. Thay vào đó, người ta thường sử dụng hàm tuyến tính để xấp xỉ hàm phi tuyến, với các điều kiện nhất định.

Một khái niệm quan trọng là bậc của hàm, tức là bậc của đạo hàm cao nhất của hàm xuất hiện trong phương trình đạo hàm.

Phần mềm

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Các phương trình vi phân nổi tiếng

• Phương trình vi phân bậc nhất
• Phương trình vi phân bậc hai
• Phương trình vi phân đặc biệt
• Định lý Picard-Lindelöf về sự tồn tại và tính duy nhất của hàm nghiệm
• Hàm tích phân
• Hàm sai phân phức

• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• A. D. Polyanin và V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
• E.A. Coddington và N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
• P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006

Liên kết hữu ích

• Phương trình vi phân trong Từ điển bách khoa Việt Nam
• Phương trình vi phân tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Bài giảng về phương trình sai phân Lưu trữ ngày 17 tháng 9 năm 2009 trên Wayback Machine MIT Open CourseWare video
• Ghi chép trực tuyến / Phương trình vi phân của Paul Dawkins, Đại học Lamar
• Phương trình vi phân, S.O.S. Mathematics
• Giới thiệu về mô hình hóa qua phương trình vi phân Lưu trữ ngày 1 tháng 8 năm 2009 trên Wayback Machine, Giới thiệu về mô hình hóa bằng phương trình vi phân, kèm theo các nhận xét quan trọng.
• Công cụ giải phương trình vi phân Lưu trữ ngày 27 tháng 9 năm 2016 trên Wayback Machine, Công cụ Java applet dùng để giải phương trình vi phân.
• Trợ lý toán học trực tuyến giải phương trình vi phân bậc nhất (đường thẳng và tách biệt biến) và phương trình vi phân bậc hai (với hệ số không đổi), bao gồm các bước trung gian trong giải pháp, được hỗ trợ bởi Maxima
• Giải pháp chính xác của phương trình vi phân thường
• Danh mục sách về phương trình vi phân, từ Hiệp hội Toán học Mỹ
• Danh sách các mô hình ODE và DAE của hệ thống vật lý Lưu trữ ngày 19 tháng 12 năm 2008 trên Wayback Machine, các mô hình MATLAB
• Ví dụ ODE với Giải pháp Lưu trữ ngày 20 tháng 12 năm 2008 trên Wayback Machine