Phương trình không hợp lý

Trong toán học, phương trình không hợp lý được định nghĩa thông qua khái niệm hàm mệnh đề (mệnh đề chứa biến). Bài này trình bày một cách đơn giản nhất về các phương trình không hợp lý.

Phương trình không hợp lý một ẩn trên trường số thực

Phương trình không hợp lý một ẩn là một mệnh đề (biểu thức) chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

Phép giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của phương trình vô hướng.

Tuy nhiên các phương trình vô hướng trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x) > 0 (hoặc f(x) ≥ 0).

Cũng như trong phương trình, biến x trong phương trình vô hướng cũng được gọi là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết.

Sau đây ta sẽ xét phương trình vô hướng dạng tổng quát f(x) > 0.

Nếu với giá trị x = a, f(a) > 0 là phương trình đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của phương trình vô hướng.

Tập hợp tất cả các giải phương trình vô hướng được gọi là tập giải phương trình hay lời giải của phương trình vô hướng, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của phương trình vô hướng. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập giải phương trình của phương trình vô hướng là giải của phương trình vô hướng.

Giải một phương trình vô hướng nghĩa là tìm tập giải của nó.

• Ví dụ: Phương trình vô hướng $4x+2>0$ giải đúng với mọi số thực $x>-<!--\; -\; -->0.5$. Tập giải của phương trình vô hướng là:$\{x\in <!--\; \in \; -->R\mid <!--\; \mid \; -->x>-<!--\; -\; -->0.5\}=(-<!--\; -\; -->0.5;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$

Phương trình vô hướng của nhiều ẩn

Khái niệm phương trình vô hướng có thể mở rộng thành phương trình vô hướng n biến trên $R^n$ hoặc trên tập bất kỳ của biến x nhưng các hàm f(x) và g(x) phải nhận giá trị trên các tập sắp thứ tự toàn phần.

Phân loại các phương trình bậc thấp

Các phương trình một biến có thể chuyển thành dạng f(x)>0 hoặc f(x)≥0. Khi đó phân loại của các phương trình được gộp lại thành phân loại của hàm f(x)

1. Các phương trình đại số bậc k là các phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.
2. Các phương trình vô tỷ là các phương trình có chứa phép căn bậc hai
3. Các phương trình mũ là các phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến dưới dạng lũy thừa).
4. Các phương trình logarit là các phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

Cách giải một số phương trình đại số bậc thấp

Sau đây chỉ nói về các phương trình dạng f(x) > 0. Các kết quả tương tự cho các phương trình với dấu ≥.

Bất đẳng thức bậc nhất một biến

Bất đẳng thức bậc nhất một biến là bất đẳng thức dạng: $a.x+b>0$, trong đó:

Trường hợp a ≠ 0 thì:

• Nếu a > 0, tập nghiệm của bất đẳng thức này là: $x>-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}$.
• Nếu a < 0, tập nghiệm của bất đẳng thức này là: .

Trường hợp a = 0 thì:

• Nếu b > 0, Phương trình có vô số nghiệm.
• Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm.

Bất đẳng thức bậc hai một biến

Bất đẳng thức bậc hai một biến là bất đẳng thức dạng:

trong đó a ≠ 0.

Đặt $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4ac$. Các trường hợp sau xảy ra:

1. Nếu $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$ < 0 và
   • a < 0 thì bất phương trình không có nghiệm trên tất cả các giá trị thực của x. Tập nghiệm là: $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$.
   • a > 0 thì bất phương trình có nghiệm trên mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: $R$.

2. Nếu $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$ = 0 và

• a < 0 thì bất phương trình không có nghiệm trên mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$.
• a > 0 thì bất phương trình có nghiệm trên mọi giá trị thực của x trừ $-<!--\; -\; -->\frac{b}{2a}$. Tập nghiệm là: $R\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{\frac{-<!--\; -\; -->b}{2a}\right\}$.

3. Nếu $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$ > 0, gọi x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ với

Khi đó

• Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};x_1)\cup <!--\; \cup \; -->(x_2;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$
• Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: $(x_1;x_2)$

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bao gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà chúng ta cần tìm ra các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung này được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu.

Chú thích