Phương trình Schrödinger

Phương trình Schrödinger là một phương trình quan trọng trong vật lý lượng tử, mô tả sự thay đổi trạng thái lượng tử của hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ được mô tả đầy đủ nhất qua một vector trạng thái, chẳng hạn như hàm sóng trong không gian cấu hình, là nghiệm của phương trình Schrödinger. Phương trình này không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (như nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà còn các hệ vĩ mô, thậm chí toàn bộ Vũ trụ. Phương trình được đặt tên theo nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger, người đã phát triển nó lần đầu vào năm 1926.

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\left(-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2+V\right)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$

Phương trình Schrödinger có nhiều dạng khác nhau, phụ thuộc vào các điều kiện cụ thể của hệ vật lý. Phần này nhằm giới thiệu phương trình Schrödinger cho các trường hợp tổng quát và những trường hợp đơn giản hơn thường gặp.

Hệ lượng tử tổng quát

Với một hệ lượng tử tổng quát:

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)$

Trong đó

• $i$ là đơn vị ảo.
• $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)$ là hàm sóng, biểu diễn biên độ xác suất cho các cấu hình khác nhau của hệ.
• $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$ là hằng số Planck rút gọn, thường được chuẩn hóa trong các hệ đơn vị tự nhiên.
• $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}$ là toán tử Hamilton.

Trường hợp của một hạt trong không gian ba chiều

Đối với hệ một hạt trong không gian ba chiều:

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)+V\left(r\right)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)$

trong đó

• $r=(x,y,z)$ là tọa độ của hạt trong không gian ba chiều,
• $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(r,t)$ là hàm sóng, cho biết biên độ xác suất của hạt ở tọa độ r tại thời điểm t.
• $m$ là khối lượng của hạt.
• $V\left(r\right)$ là thế năng của hạt tại tọa độ r, không phụ thuộc vào thời gian.
• ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2$ là toán tử Laplace.

Thiết lập phương trình

(1) Năng lượng tổng hợp E của một hạt

$E=T+V=\frac{p^2}{2m}+V$

Đây là công thức cổ điển cho hạt có khối lượng m, trong đó năng lượng tổng hợp E là tổng của động năng $T=\frac{p^2}{2m}$, và thế năng V. Xung lượng của hạt, ký hiệu p, là tích của khối lượng và vận tốc. Thế năng phụ thuộc vào vị trí và có thể thay đổi theo thời gian.

Hãy lưu ý rằng năng lượng E và xung lượng p xuất hiện trong các công thức sau:

(2) Giả thuyết lượng tử ánh sáng của Max Planck từ năm 1905 cho rằng năng lượng của photon tỉ lệ thuận với tần số của sóng điện từ tương ứng:

$E=hf=\frac{h}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\right)=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$

Tần số f và năng lượng E của photon liên kết bởi hằng số Planck h,

và $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f$ là tần số góc của sóng.

(3) Giả thuyết de Broglie năm 1924 cho rằng mọi hạt đều có thể liên quan đến sóng, được mô tả bằng hàm sóng Ψ, và xung lượng p của hạt có liên hệ với bước sóng λ của sóng qua công thức:

$p=\frac{h}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{h}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}k$

trong đó $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ là bước sóng và $k=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ là số sóng hay số sóng góc.

Khi biểu diễn p và k dưới dạng vector, chúng ta có

$p=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}k$

(4) Giả định rằng phương trình sóng là tuyến tính. Các giả định trước đó cho phép chúng ta xây dựng phương trình cho các sóng phẳng. Để khẳng định phương trình này cũng đúng cho trường hợp tổng quát, hàm sóng cần tuân theo nguyên lý chồng chất trạng thái.

Vào cuối năm 1925, Schrödinger đã nhận ra rằng pha của sóng phẳng cần được biểu diễn dưới dạng thừa số pha phức.

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,t)=A{e}^{i(k\cdot <!--\; \cdot \; -->x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}$

và nhận thấy rằng

do đó

và cũng vì thế

và

ta có kết quả:

vì vậy, với sóng phẳng, chúng ta có:

Khi thay thế các biểu thức năng lượng và xung lượng vào phương trình cổ điển , ta thu được phương trình Schrödinger cho một hạt trong không gian ba chiều với sự hiện diện của một trường thế năng V:

Phương trình này đã trở thành một trong những cơ sở của cơ học lượng tử, được xem là đúng trong mọi hoàn cảnh mà không cần chứng minh lý thuyết, chỉ có thể xác nhận bằng thực nghiệm. Phương trình Schrödinger đã dự đoán nhiều hiện tượng và được xác nhận là chính xác trong nhiều tình huống khác nhau.

• Erwin Schrödinger
• Con mèo Schrödinger

Chú giải

• Paul Adrien Maurice Dirac (1958). Nguyên lý của Cơ học Lượng tử (ấn bản lần 4). Oxford University Press.
• David J. Griffiths (2004). Nhập môn Cơ học Lượng tử (ấn bản lần 2). Benjamin Cummings.
• David Halliday (2007). Các nguyên lý cơ bản của Vật lý (ấn bản lần 8). Wiley.

Liên kết tham khảo

• Vật lý lượng tử Lưu trữ vào ngày 07 tháng 03 năm 2012 tại Wayback Machine
• Phương trình Schrödinger trong không gian một chiều Lưu trữ vào ngày 24 tháng 05 năm 2006 tại Wayback Machine
• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Phương trình Schrödinger”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4