Quy tắc l'Hôpital

Trong giải tích, Quy tắc l'Hôpital (hoặc viết là l'Hospital, tiếng Pháp: [lopital], phát âm là Lô-pi-tan), còn được biết đến với tên gọi quy tắc Bernoulli, là phương pháp dùng đạo hàm để giải quyết các giới hạn có dạng vô định. Quy tắc này giúp biến đổi các dạng vô định thành dạng hữu hạn, từ đó dễ dàng tính toán giới hạn. Tên quy tắc này được đặt theo Guillaume de l'Hôpital, nhà toán học người Pháp, người đã trình bày quy tắc trong cuốn sách đầu tiên về vi phân mang tên Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (1696). Tuy nhiên, công thức này được cho là phát hiện của nhà toán học Thụy Sĩ Johann Bernoulli.

Định lý Stolz–Cesàro là một kết quả tương tự về giới hạn của các dãy, nhưng nó dựa vào sai phân hữu hạn thay vì đạo hàm.

Phiên bản cơ bản của quy tắc l'Hôpital được diễn đạt như sau: Xét hai hàm số ƒ và g:

Nếu $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}g\left(x\right)=0$ hoặc $\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ và $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ tồn tại, thì

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$.

Việc tính đạo hàm cho tử số và mẫu số thường giúp đơn giản hóa phân số hoặc loại bỏ dạng vô định.

Dạng tổng quát

Dạng tổng quát của quy tắc l'Hôpital bao gồm nhiều trường hợp khác. Giả sử c và L là các giá trị thuộc tập số thực mở rộng (bao gồm số thực cùng với vô cùng dương và vô cùng âm). Nếu

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}g\left(x\right)=0$

hoặc

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}f\left(x\right)=\pm <!--\; \pm \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}g\left(x\right)=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$.

Và giả sử

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=L$.

thì

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L$.

Quy tắc này vẫn áp dụng cho các giới hạn một bên.

Các điều kiện cần có để giới hạn tồn tại

Các điều kiện để giới hạn tồn tại

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$

Sự tồn tại của giới hạn là điều cần thiết. Nếu phép vi phân của một giới hạn dạng vô định dẫn đến một giới hạn không tồn tại, thì quy tắc l'Hôpital không còn áp dụng được. Chẳng hạn, nếu ƒ(x) = x + sin(x) và g(x) = x, thì

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1+\cos <!--\; \; -->x}{1}$,

không tồn tại, trong khi

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(1+\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}\right)=1$.

Ví dụ

• Đây là một ví dụ liên quan đến hàm sinc với dạng vô định 0/0:

.

Như vậy, giới hạn này chính là định nghĩa của đạo hàm hàm số sin tại điểm 0.

• Đây là một ví dụ phức tạp hơn về dạng 0/0: sau khi áp dụng quy tắc l'Hôpital vẫn dẫn đến dạng vô định. Trong những trường hợp này, ta có thể tiếp tục áp dụng quy tắc l'Hôpital nhiều lần để tìm giới hạn:

.

• Ví dụ tiếp theo cũng thuộc dạng vô định 0/0. Giả sử b > 0. Khi đó

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{b^x-<!--\; -\; -->1}{x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{b^x\ln <!--\; \; -->b}{1}=\ln <!--\; \; -->b$.

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1-<!--\; -\; -->e^x}{x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{e^{x}ln<!--\; \; -->e}{1}=\ln <!--\; \; -->e$.

.

• Ví dụ dưới đây liên quan đến dạng ∞/∞. Giả sử n là một số nguyên dương. Khi đó

.

Sau đó, ta tiếp tục áp dụng quy tắc l'Hôpital cho đến khi bậc của hàm số trở về 0, từ đó kết luận giới hạn là 0.

• Ví dụ khác về dạng ∞/∞:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}x\ln <!--\; \; -->x=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}\frac{1/x}{-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}-<!--\; -\; -->x=0$.

• Quy tắc l'Hôpital cũng được áp dụng để chứng minh định lý sau: Nếu f'' liên tục tại x, thì

.

• Quy tắc L'Hôpital có thể được áp dụng một cách khéo léo như sau: Nếu $f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)+\frac{f\left(x\right)}{f^{\prime }}$ thì f'' liên tục tại x, thì

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{e^{x}f\left(x\right)}{e^x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{e^x\left(f\right(x)+f^{\prime }(x\left)\right)}{e^x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(f\right(x)+f^{\prime }(x\left)\right)$

Vì vậy, $\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f\left(x\right)$ tồn tại và $\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right)=0$.

Các dạng vô định khác

Các dạng vô định khác như 1, 0, ∞, 0.∞, và ∞ − ∞ có thể được giải quyết bằng cách áp dụng quy tắc l'Hôpital. Ví dụ, để tính giới hạn dạng ∞ − ∞, ta có thể chuyển hiệu của hai hàm thành một thương của chúng:

.

Quy tắc l'Hôpital đã được áp dụng trong các bước (1) và (2).

Quy tắc l'Hôpital có thể được sử dụng cho các dạng vô định liên quan đến số mũ bằng cách dùng phép logarit để đưa số mũ xuống dưới. Đây là ví dụ về dạng 0:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}{x}^x=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}{e}^{\ln <!--\; \; -->x^x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}{e}^{x\ln <!--\; \; -->x}=e^{\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}x\ln <!--\; \; -->x}$.

Chúng ta có thể chuyển giới hạn vào hàm số mũ vì hàm mũ là liên tục. Số mũ x đã được 'chuyển xuống dưới'. Giới hạn $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}x\ln <!--\; \; -->x$ có dạng vô định 0•(−∞), nhưng như đã thấy, quy tắc l'Hôpital có thể được áp dụng để tìm giới hạn này:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}x\ln <!--\; \; -->x=0$.

Do đó,

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim}{x}^x=e^0=1$.

Trường hợp f và g đều khả vi tại điểm c

Chứng minh quy tắc l'Hôpital rất đơn giản khi cả hai hàm ƒ và g đều khả vi tại điểm c. Đây không phải là chứng minh đầy đủ cho quy tắc l'Hôpital tổng quát.

Xét hai hàm số ƒ và g liên tục và khả vi tại c, với ƒ(c) = g(c) = 0 và g′(c) ≠ 0. Khi đó,

.

(chú ý rằng ƒ(c) = g(c) = 0). Điều này xuất phát từ quy tắc tính giới hạn của thương và định nghĩa đạo hàm.

Điều này dẫn đến một cách chứng minh quy tắc l'Hôpital tổng quát mà không yêu cầu hai hàm ƒ và g phải khả vi tại điểm c. Xem chứng minh dưới đây.

Hiểu theo cách hình học

Xét đường cong trong mặt phẳng, với trục Ox được xác định bởi g(t) và trục Oy được xác định bởi ƒ(t) – chẳng hạn

$t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\left[g\right(t),f(t\left)\right]$.

Giả sử ƒ(c) = g(c) = 0. Khi t tiến tới c, giới hạn của tỷ số ƒ(t)/g(t) chính là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm [0, 0]. Tiếp tuyến của đường cong tại điểm t có độ dốc được xác định bởi $\left[g^{\prime }\right(t),f^{\prime }(t\left)\right]$. Quy tắc l'Hôpital cho biết rằng độ dốc của tiếp tuyến tại điểm 0 chính là giới hạn của các độ dốc tiếp tuyến ở các điểm gần 0.

Chứng minh quy tắc l'Hôpital

Một phương pháp phổ biến để chứng minh quy tắc l'Hôpital là sử dụng định lý giá trị trung gian của Cauchy. Việc chứng minh quy tắc l'Hôpital có sự khác biệt giữa các trường hợp như: c và L có thể là hữu hạn hay vô hạn, ƒ và g hội tụ về 0 hay vô cùng, và giới hạn có thể là một phía hoặc hai phía. Tuy nhiên, tất cả các phương pháp này đều dựa trên hai trường hợp chính sau đây:

0/0

Giả sử c và L là hai số thực, và hai hàm số ƒ và g đều tiến về giá trị 0.

Trước tiên, ta có ƒ(c) = g(c) = 0. Điều này cho thấy ƒ và g là liên tục tại c, nhưng không làm thay đổi giá trị giới hạn (bởi vì định nghĩa giới hạn không phụ thuộc vào giá trị của hàm tại điểm c). Do đó, $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ tồn tại, vì vậy có thể tìm được một khoảng (c − δ, c + δ) mà mọi x trong khoảng đó, ngoại trừ x = c, đều có cả $f^{\prime }\left(x\right)$ và $g^{\prime }\left(x\right)$ đều tồn tại và $g^{\prime }\left(x\right)$ khác 0.

Nếu x nằm trong khoảng (c, c + δ), thì định lý giá trị trung gian và định lý giá trị trung gian Cauchy đều có thể áp dụng cho khoảng [c, x] (và tương tự trong khoảng (c − δ, c)). Định lý giá trị trung gian khẳng định rằng g(x) không thể bằng 0 (nếu không thì tồn tại một y trong khoảng (c, x) sao cho g'(y) = 0). Dựa vào định lý giá trị trung gian Cauchy, ta có một ξ_x thuộc (c, x) sao cho

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f^{\prime }\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_x\right)}{g^{\prime }\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_x\right)}$.

Khi x tiến đến c, thì ξ_x cũng tiến về c (theo nguyên lý kẹp). Do đó, nếu $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ tồn tại, thì có thể viết rằng $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ = $\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_x\right)}{g^{\prime }\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_x\right)}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->c}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$.

∞/∞

Giả sử L là một số hữu hạn, c là một số hữu hạn dương, và hai hàm ƒ và g đều tiến tới +∞.

Với mọi ε > 0, tồn tại một số m sao cho

(với $x\ge <!--\; \ge \; -->m$).

Theo định lý giá trị trung gian, nếu x lớn hơn m, thì giá trị của g(x) sẽ khác với g(m) (bởi nếu không, sẽ có một điểm y trong khoảng từ (m, x) sao cho $g^{\prime }\left(y\right)=0$). Áp dụng định lý giá trị trung gian Cauchy cho đoạn [m, x], ta có

(với $x>m$).

Do ƒ tiến tới +∞, nên nếu x đủ lớn, ta có ƒ(x) khác ƒ(m). Viết

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-<!--\; -\; -->f\left(m\right)}{g\left(x\right)-<!--\; -\; -->g\left(m\right)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{f\left(x\right)}{f\left(x\right)-<!--\; -\; -->f\left(m\right)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{g\left(x\right)-<!--\; -\; -->g\left(m\right)}{g\left(x\right)}$.

Lúc đó,

.

Khi x đủ lớn, giá trị này nhỏ hơn ε, vì vậy

. *

• (*) Lưu ý: Một số bước đã bị bỏ qua.