Quy tắc phân chia

Quy tắc chia hết hay điều kiện chia hết là các phương pháp nhanh để xác định xem một số nguyên có chia hết cho một số cụ thể hay không mà không cần thực hiện phép chia, thường bằng cách kiểm tra các chữ số của nó. Mặc dù có nhiều phương pháp kiểm tra tính chia hết đối với các số trong bất kỳ hệ cơ số nào, bài viết này tập trung vào các quy tắc và ví dụ áp dụng cho các số trong hệ thập phân, hay số trong hệ cơ số 10. Martin Gardner đã giới thiệu và phổ biến các quy tắc này trong chuyên mục 'Trò chơi Toán học' trên tạp chí Scientific American vào tháng 9 năm 1962.

Các điều kiện chia hết cho các số từ 1 đến 30

Các quy tắc được tóm tắt trong bảng dưới đây biến đổi một số nguyên nhất định thành một số nhỏ hơn, vẫn đảm bảo tính chất chia hết cho số cụ thể cần kiểm tra. Trừ khi có ghi chú khác, số thu được sau khi áp dụng quy tắc phải vẫn chia hết cho cùng một ước số. Đôi khi, quá trình này có thể lặp lại để chắc chắn tính chia hết, hoặc sử dụng phương pháp khác nếu kiểm tra số cuối cùng.

Đối với các số có nhiều ước số, bảng quy tắc xác định thứ tự ưu tiên cho các phương pháp kiểm tra chia hết, đặc biệt là khi kiểm tra các số nguyên có nhiều chữ số. Các quy tắc hữu ích cho các số ít chữ số được xem xét sau.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ ước số nào có thể biểu diễn dưới dạng 2 hoặc 5, với n là số nguyên dương, chỉ cần kiểm tra n chữ số cuối cùng.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ số nào được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố $p_1^n{p}_2^m{p}_3^q$, chúng ta có thể kiểm tra từng số nguyên tố với lũy thừa thích hợp của nó để xác định tính chia hết cho số đã cho. Ví dụ: kiểm tra tính chia hết cho 24 (24 = 83 = 23) tương đương với kiểm tra tính chia hết cho 8 (2) và 3 đồng thời, do đó chúng ta chỉ cần kiểm tra tính chia hết cho 8 và 3 để chứng minh tính chia hết cho 24, 48.

Lưu ý: dấu hai chấm (:) trong bảng là chỉ để minh họa ví dụ, không phải là dấu chia.

Ví dụ

Tính chia hết cho 2

Trước hết, lấy số cần kiểm tra (ví dụ số 376) và ghi lại chữ số cuối cùng của nó, loại bỏ các chữ số khác. Sau đó kiểm tra xem chữ số đó (6) có chia hết cho 2 không. Nếu chia hết cho 2 thì số ban đầu cũng chia hết cho 2.

Ví dụ

1. 376 (Số ban đầu)
2. 37 6 (Lấy chữ số cuối cùng)
3. 6 ÷ 2 = 3 (Kiểm tra chữ số cuối cùng có chia hết cho 2 không)
4. 376 ÷ 2 = 188 (Nếu chữ số cuối cùng chia hết cho 2 thì số ban đầu cũng chia hết cho 2)

Tính chia hết cho 3 hoặc 9

Đầu tiên, lấy một số bất kỳ (ví dụ số 492) và cộng từng chữ số trong số đó lại với nhau (4 + 9 + 2 = 15). Sau đó xác định xem tổng đó (15) có chia hết cho 3 hoặc 9 không. Số ban đầu chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

Ví dụ 1

1. 492 (Số ban đầu)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (Cộng từng chữ số lại)
3. 15 chia hết cho 3, vì vậy số 492 chia hết cho 3.
4. 1 + 5 = 6 (Cộng từng chữ số lại)
5. 6 ÷ 3 = 2 (Kiểm tra xem số mới có chia hết cho 3 không)
6. 492 ÷ 3 = 164 (Do đó, số 492 chia hết cho 3)

Nếu một số là tích của 3 số liên tiếp thì số đó luôn chia hết cho 3. Số có dạng (n × (n − 1) × (n + 1))

Ví dụ 2

1. 336 (Số ban đầu)
2. 6 × 7 × 8 = 336 (Phân tích thành tích)
3. 336 ÷ 3 = 112 (Do đó, số 336 chia hết cho 3)

Tính chia hết cho 4

Quy tắc căn bản để kiểm tra tính chia hết cho 4 là kiểm tra hai chữ số cuối của số đó. Nếu hai chữ số này tạo thành một số chia hết cho 4, thì số ban đầu cũng chia hết cho 4. Điều này vì 100 chia hết cho 4, vì vậy việc thêm các hàng trăm, hàng nghìn, v.v. chỉ đơn giản là thêm các số chia hết cho 4 khác. Nếu chữ số cuối cùng của một số là một số hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4 (ví dụ: 24, 04, 08, v.v.), thì số nguyên đó sẽ chia hết cho 4 bất kể các chữ số đứng trước hai chữ số cuối cùng.

Thêm vào đó, ta có thể chỉ cần chia đôi số ban đầu, sau đó kiểm tra kết quả để xác định xem nó có chia hết cho 2 hay không. Nếu đúng, số ban đầu chia hết cho 4. Kết quả của phép chia này cũng tương tự như lấy số ban đầu chia cho 4.

Ví dụ.

Quy tắc tổng quát

1. 2092 (Số ban đầu)
2. 20 92 (Lấy hai chữ số cuối của số và loại bỏ các chữ số khác)
3. 92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số này có chia hết cho 4 không)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu cũng chia hết cho 4)

Cách khác

1. 1720 (Số ban đầu)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)
3. 860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn chia hết cho 2 không)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu cũng chia hết cho 4)

Tính chia hết cho 5

Để xác định tính chia hết cho 5, ta chỉ cần kiểm tra chữ số cuối cùng của số (ví dụ số 475) và xem nó có phải là 0 hoặc 5. Nếu chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5, thì số đó chia hết cho 5.

Nếu số có chữ số cuối cùng là 0, thì kết quả của phép chia cho 5 sẽ bằng số còn lại nhân với 2. Ví dụ, số 40 kết thúc bằng 0 (0), do đó lấy số còn lại (4) và nhân với hai (4 × 2 = 8), sẽ có kết quả như số 40 chia cho 5 (40/5 = 8).

Nếu số có chữ số cuối cùng là 5, thì kết quả của phép chia cho 5 sẽ bằng số còn lại nhân với 2, sau đó cộng thêm một. Ví dụ, số 125 kết thúc bằng chữ số 5, nên lấy số còn lại (12), nhân với hai (12 × 2 = 24), sau đó cộng thêm một (24 + 1 = 25). Kết quả tương tự khi chia 125 cho 5 (125/5 = 25).

Thí dụ

Nếu chữ số cuối cùng là 0

1. 110 (Số ban đầu)
2. 11 0 (Lấy chữ số cuối cùng của số và kiểm tra xem nó là 0 hay 5)
3. 11 0 (Nếu là 0, lấy các chữ số còn lại để tìm thương số khi chia cho 5)
4. 11 × 2 = 22 (Nhân kết quả với 2)
5. 110 ÷ 5 = 22 (Kết quả tương tự số ban đầu chia cho 5)

Nếu chữ số cuối cùng là 5

1. 85 (Số ban đầu)
2. 8 5 (Lấy chữ số cuối cùng của số và kiểm tra xem nó là 0 hay 5)
3. 8 5 (Nếu là 5, lấy các chữ số còn lại để tìm thương số)
4. 8 × 2 = 16 (Nhân kết quả với 2)
5. 16 + 1 = 17 (Thêm 1 vào kết quả)
6. 85 ÷ 5 = 17 (Kết quả tương tự số ban đầu chia cho 5)

Tính chia hết cho 6

Để kiểm tra số chia hết cho 6, ta cần xác định nó có chia hết cho cả 2 và 3 hay không. Nếu số là số chẵn và chia hết cho 3, thì số đó chia hết cho 6. Ví dụ, số ban đầu là 246. Chia 246 cho hai (246 ÷ 2 = 123), sau đó chia kết quả đó cho ba (123 ÷ 3 = 41). Kết quả này đúng với số ban đầu chia cho 6 (246 ÷ 6 = 41).

Thí dụ.

1. 324 (Số ban đầu)
2. 324 ÷ 3 = 108 (Kiểm tra xem số ban đầu có chia hết cho 3 hay không)
3. 324 ÷ 2 = 162 HOẶC 108 ÷ 2 = 54 (Kiểm tra xem số ban đầu hoặc kết quả của phép tính trước có chia hết cho 2 hay không)
4. 324 ÷ 6 = 54 (Nếu một trong hai phép thử ở bước cuối cùng đúng thì số ban đầu chia hết cho 6. Đồng thời, kết quả của phép thử thứ hai trả về cùng kết quả với số ban đầu chia hết cho 6)

Tìm số dư của một số khi chia cho 6

Nhân chữ số ở tận cùng bên phải với chữ số đầu tiên bên trái trong dãy sau rồi lấy chữ số thứ hai tính từ bên phải của số đó nhân với chữ số thứ hai từ bên trái của dãy, rồi cứ như thế tiếp tục cho đến hết. Sau đó tính tổng tất cả các giá trị phép nhân ở trên, lấy số dư của tổng khi chia cho 6, cũng chính là số dư của số ban đầu.

dãy: (1, −2, −2, −2, −2, các chữ số tiếp theo đều là −2 đến hết)

hoặc: (1, 4, 4, 4, 4, các chữ số tiếp theo đều là 4)

Số dư khi 1036125837 chia cho 6 là bao nhiêu?

Phép nhân chữ số tận cùng bên phải với chữ số đầu tiên trong dãy = 1 × 7 = 7

Phép nhân với chữ số thứ hai tính từ phải với chữ số thứ hai trong dãy = 3 × −2 = −6

Chữ số thứ ba tính tính từ bên phải = −16

Chữ số thứ tư tính tính từ bên phải = −10

Chữ số thứ năm tính từ bên phải = −4

Chữ số thứ sáu tính từ bên phải = −2

Chữ số thứ bảy tính từ bên phải = −12

Chữ số thứ tám tính từ bên phải = −6

Chữ số thứ chín tính từ bên phải = 0

Chữ số thứ mười tính từ bên phải = −2

Tổng = −51

−51 ≡ 3 (mod 6)

Vậy số dư = 3

Tính chia hết cho 7

Phương pháp kiểm tra tính chia hết cho 7 có thể áp dụng bằng phương pháp đệ quy. Một số có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x − 2y chia hết cho 7. Tức là, trừ hai lần chữ số cuối của số từ số được tạo ra bằng các chữ số còn lại. Lặp lại quá trình này cho đến khi thu được một số chia hết cho 7. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được sau khi áp dụng phương pháp này cũng chia hết cho 7. Ví dụ, số 371: 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; vì −7 chia hết cho 7 nên 371 chia hết cho 7.

Tương tự, một số có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x + 5y chia hết cho 7. Do đó, cộng năm lần chữ số cuối cùng với số được tạo ra bằng các chữ số còn lại, và tiếp tục làm như vậy cho đến khi thu được số đã biết là chia hết cho 7.

Một phương pháp khác sử dụng phép nhân với 3. Một số có dạng 10x + y có cùng số dư khi chia cho 7 như số 3x + y. Nhân chữ số bên trái nhất của số ban đầu với 3, cộng thêm chữ số tiếp theo, lấy phần dư khi chia cho 7, và tiếp tục lặp lại từ đầu: nhân với 3, cộng với chữ số tiếp theo, v.v. Ví dụ, số 371: 3 × 3 + 7 = 16 chia 7 dư 2 và 2 × 3 + 1 = 7. Phương pháp này cũng có thể sử dụng để tính phần dư của phép chia cho 7.

Một thuật toán phức tạp hơn để kiểm tra tính chia hết cho 7 sử dụng tính chất đồng dư: 10 ≡ 1, 10 ≡ 3, 10 ≡ 2, 10 ≡ 6, 10 ≡ 4, 10 ≡ 5, 10 ≡ 1,... (mod 7). Viết lại các chữ số của số cần kiểm tra (371) theo thứ tự ngược lại (173), nhân các chữ số này lần lượt với chuỗi 1, 3, 2, 6, 4, 5, (lặp lại chuỗi nhân nếu cần) và cộng tổng các tích lại với nhau (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được từ thuật toán này cũng chia hết cho 7 (do đó 371 chia hết cho 7 vì 28 cũng chia hết cho 7).

Phương pháp này có thể được đơn giản hóa mà không cần phép tính nhân. Bước đầu tiên là ghi nhớ chuỗi số (132645...), sau đó chỉ cần cộng và trừ, nhưng luôn áp dụng với các số chỉ có một chữ số.

Thuật toán đơn giản như sau:

• Lấy ví dụ với số 371
• Thay đổi các chữ số 7, 8 hoặc 9 thành 0, 1 hoặc 2, tương ứng. Trong ví dụ này, chúng ta có số: 301. Bước này có thể bỏ qua, trừ khi là chữ số cuối cùng bên trái cần phải thay đổi, nhưng nếu thực hiện sẽ giúp cho các phép tính sau dễ dàng hơn.
• Bây giờ thay đổi chữ số đầu tiên (3) thành chữ số tiếp theo trong dãy 13264513.... Trong ví dụ của chúng ta, 3 trở thành 2.
• Cộng kết quả từ bước trước (2) với chữ số thứ hai của số (301), và thay thế kết quả đó vào cả hai chữ số, để tất cả các chữ số còn lại không thay đổi: 2 + 0 = 2. Do đó 301 trở thành 21.
• Lặp lại quá trình cho đến khi bạn thu được một bội số của 7 hoặc số từ 0 đến 6. Bắt đầu từ 21 (đã là một bội số của 7 nhận diện được), nếu tiếp tục, lấy chữ số đầu tiên (2) và thay đổi thành số tiếp theo tương ứng trong dãy số trên: 2 trở thành 6. Sau đó, cộng với chữ số thứ hai: 6 + 1 =  7. Vậy ta kết luận 371 là một bội số của 7.
• Nếu tại bất kỳ bước nào, chữ số đầu tiên là 8 hoặc 9, chúng sẽ được thay thế bằng 1 hoặc 2 tương ứng, nhưng nếu chữ số đầu tiên là 7, nó sẽ trở thành số 0 và có thể bỏ qua. Trên bước này, chúng ta còn lại chữ số 7 cuối cùng, trở thành số 0.

Nếu kết quả thu được sau quá trình này là 0 hoặc là một bội số của 7, thì số ban đầu cũng là một bội số của 7. Nếu chúng ta nhận được bất kỳ số nào từ 1 đến 6, nghĩa là cần phải trừ thêm số đơn vị nào đó vào số ban đầu để thu được một bội số của 7 (hay số dư khi chia số đó cho 7). Ví dụ, xét số 186.

• Đầu tiên, thay đổi số 8 thành 1: 116.
• Bây giờ, thay đổi số 1 thành chữ số tiếp theo trong dãy số (chữ số 3), cộng vào chữ số thứ hai và viết kết quả thay cho cả hai: 3 + 1 =  4. Vì vậy, 116 bây giờ trở thành 46.
• Lặp lại quá trình, vì số này lớn hơn 7. Bây giờ, dựa vào dãy số, 4 trở thành 5, rồi cộng vào chữ số cuối cùng (6).
• Lặp lại quá trình một lần nữa: 1 trở thành 3, cộng vào chữ số thứ hai (1): 3 + 1 =  4.

Bây giờ chúng ta có một số nhỏ hơn 7, và số này (4) là số dư khi chia 186/7. Vì vậy, 186 trừ đi 4, tức là 182, là một bội số của 7.

Lưu ý: Nguyên nhân tại sao điều này có hiệu lực là vì nếu có: a+b=c và b là một bội của một số n bất kỳ, thì a và c sẽ có cùng một số dư khi chia cho n. Ví dụ, trong 2 + 7 = 9 thì 7 chia hết cho 7. Vì vậy 2 và 9 phải có cùng một số dư khi chia cho 7. Số dư đó là 2.

Do đó, nếu một số n là một bội của 7 (nghĩa là: số dư của phép chia n/7 là 0) thì khi cộng (hoặc trừ) thêm vào n một bội khác của 7 ta vẫn được một bội của 7.

Thuật toán này thực hiện những điều đã giải thích ở trên về hầu hết các quy tắc chia hết, chỉ đơn giản là trừ từng bội số nhỏ của 7 từ số ban đầu cho đến khi đạt được một số đủ nhỏ để xác định liệu nó có phải là bội số của 7 hay không. Nếu số 1 trở thành 3 ở vị trí thập phân tiếp theo, điều đó tương tự như việc chuyển 10×10 thành 3×10. Điều này cũng tương đương với việc trừ 7×10 (rõ ràng là bội số của 7) từ 10×10.

Tương tự, khi chuyển chữ số 3 thành chữ số 2 ở vị trí thập phân sau, thực chất đang biến 30×10 thành 2×10, điều này cũng tương đương với phép trừ 30×10 − 28×10, lại là một phép trừ bội số của 7. Lý do tương tự cũng áp dụng cho tất cả các biến đổi khác:

• 20×10 − 6×10 = 14×10
• 60×10 − 4×10 = 56×10
• 40×10 − 5×10 = 35×10
• 50×10 − 1×10 = 49×10

Một ví dụ về phương pháp đầu tiên

1050 → 105 − 2×0 = 105 − 0 = 105 → 10 − 2×5 = 10 − 10 = 0.

ĐÁP ÁN: 1050 là số chia hết cho 7.

Một ví dụ về phương pháp thứ hai

1050 → 0501 (đảo ngược) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (nhân và cộng với các chữ số trong dãy).

ĐÁP ÁN: 1050 là số chia hết cho 7.

Phương pháp Vệ-đà xét tính chia hết cho 7

Có thể sử dụng phương pháp số mật tiếp trong Toán học Vệ-đà để kiểm tra tính chia hết cho 7: bằng cách nhân ước số với một số gọi là số mật tiếp hay Ekhādika. Kết quả là số chia hết cho 7 nếu quá trình này kết thúc với 0 hoặc bội số của 7.

Một ví dụ về phương pháp Vệ-đà:

Xét xem số 438,722,025 có chia hết cho 7 hay không? Nhân tử = 5.
 4 3 8 7 2 2 0 2 5
 | | | | | | | | |
42 37 46 37 6 40 37 27 05
ĐÚNG

Phương pháp Pohlman-Mass

Phương pháp Pohlman-Mass cung cấp một cách giải nhanh có thể xác định xem hầu hết các số nguyên có chia hết cho 7 hay không trong ba bước hoặc ít hơn. Phương pháp này có thể hữu ích trong các cuộc thi toán học như MATHCOUNTS, nơi thời gian là yếu tố quan trọng trong đánh giá kỹ năng giải mà không cần sử dụng máy tính và tính điểm trong Vòng Nước rút.

Bước A: Nếu số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 1.000, trừ hai lần chữ số cuối của số từ số được tạo thành bởi các chữ số còn lại. Nếu kết quả là bội số của bảy, thì số ban đầu cũng vậy (và ngược lại). Ví dụ:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 CÓ
98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG

Với 1.001 chia hết cho 7, ta có thể tìm thấy một khám phá thú vị: đối với các số lặp lại có 1, 2 hoặc 3 chữ số và có chữ số 0 xen giữa tạo thành các số có 6 chữ số (cho phép các số 0 ở đầu), tất cả các số như vậy đều chia hết cho 7. Ví dụ:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

Đối với tất cả các ví dụ trên, trừ ba chữ số đầu tiên cho ba chữ số cuối cùng sẽ cho kết quả là bội số của bảy. Lưu ý rằng các số 0 có thể ở đầu để tạo thành xâu gồm 6 chữ số. Phát hiện này là cơ sở cho các bước tiếp theo, B và C.

Bước B: Nếu số nguyên nằm trong khoảng từ 1,001 đến một triệu, tìm chuỗi số lặp lại 1, 2 hoặc 3 chữ số để tạo thành một số có 6 chữ số gần với số nguyên cần xét (có thể có số 0 ở đầu). Nếu hiệu dương giữa chuỗi số đó và số cần xét nhỏ hơn 1,000, áp dụng Bước A. Ví dụ:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 CÓ
67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 CÓ

Thực tế, 999,999 là một bội số của 7 có thể dùng để xác định tính chia hết cho 7 của các số lớn hơn một triệu bằng cách giảm số đó xuống thành số có 6 chữ số gần với số nguyên ban đầu, có thể áp dụng Bước B và tiếp tục với Bước A.

Bước C: Nếu số nguyên cần xét lớn hơn một triệu, trừ nó cho bội số gần nhất của 999,999 và sau đó áp dụng Bước B. Đối với các số lớn hơn, sử dụng các bội số lớn hơn như số gồm 12 chữ số (999,999,999,999), v.v. Sau đó, biến đổi số nguyên thành một số nhỏ hơn có thể giải được bằng Bước B. Ví dụ:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
 862,442 -> 862 − 442 (Bước B) = 420 -> 42 − (0×2) (Bước A) = 42 CÓ

Điều này cho phép tính toán các bộ ba chữ số xen kẽ nhau để xác định khả năng chia hết cho 7 một cách nhanh chóng. Hiểu các mẫu này giúp bạn dễ dàng tính toán xem số liệu có chia hết cho 7 hay không như các ví dụ sau:

Ví dụ về phương pháp Pohlman−Mass xét tính chia hết cho 7:

Xét xem 98 có chia hết cho 7 không?
98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ (Bước A)

Xét xem 634 có chia hết cho 7 không?
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG (Bước A)

Xét xem 355,341 có chia hết cho 7 không?
355,341 − 341,341 = 14,000 (Bước B) -> 014 − 000 (Bước B) -> 14 = 1 − (4×2) (Bước A) = 1 − 8 = −7 CÓ

Xét xem 42,341,530 có chia hết cho 7 hay không?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Bước C)
341,572 − 341,341 = 231 (Bước B)
231 -> 23 − (1×2) = 21 CÓ (Bước A)

Sử dụng chuỗi cộng trừ đại số xen kẽ:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 CÓ

Phương pháp nhân với 3 để xét tính chia hết cho 7, ví dụ:

Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7?
98 -> lấy 9 chia 7 dư 2 -> 2×3 + 8 = 14 CÓ

Xét xem 634 liệu có chia hết cho 7?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> dư 0 -> 0×3 + 4 = 4 KHÔNG

Xét xem 355,341 liệu có chia hết cho 7?
3 * 3 + 5 = 14 -> dư 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> dư 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> dư 2 -> 2×3 + 1 = 7 CÓ

Tìm số dư của 1036125837 khi chia cho 7
1×3 + 0 = 3 
3×3 + 3 = 12 dư 5 
5×3 + 6 = 21 dư 0 
0×3 + 1 = 1 
1×3 + 2 = 5 
5×3 + 5 = 20 dư 6 
6×3 + 8 = 26 dư 5 
5×3 + 3 = 18 dư 4 
4×3 + 7 = 19 dư 5 
Đáp số là 5

Tìm số dư của một số khi chia cho 7 (một cáchkhác)

Sử dụng các dãy số sau:

Bắt đầu từ 7 — (1, 3, 2, —1, —3, —2, chu kỳ 6 của dãy được lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo, quay lại từ 1, 3,...) Chu kỳ: 6 chữ số. Các số lặp lại: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Đây là dãy số độ lớn cực tiểu

hoặc dãy số dương:

(1, 3, 2, 6, 4, 5, chu kỳ lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo) Chu kỳ: 6 chữ số. Số lặp lại: 1, 3, 2, 6, 4, 5

Nhân chữ số hàng đơn vị của số cần xét với chữ số bên trái đầu tiên của một trong hai dãy trên, sau đó nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải của số cần xét với chữ số thứ hai bên trái của dãy, và tiếp tục như vậy cho đến hết. Tính tổng các giá trị này và lấy phần dư khi chia cho 7.

Ví dụ: Phần dư khi 1036125837 chia cho 7 là bao nhiêu?
Nhân chữ số hàng đơn vị = 1×7 = 7
Nhân chữ số thứ hai từ bên phải = 3 × 3 = 9
Chữ số thứ ba từ bên phải = 8 × 2 = 16
Chữ số thứ tư từ bên phải = 5 × −1 = −5
Chữ số thứ năm từ bên phải = 2 × −3 = −6
Chữ số thứ sáu từ bên phải = 1 × −2 = −2
Chữ số thứ bảy từ bên phải = 6 × 1 = 6
Chữ số thứ tám từ bên phải = 3 × 3 = 9
Chữ số thứ chín từ bên phải = 0
Chữ số thứ mười từ bên phải = 1 × −1 = −1
Tổng = 33
33 mod 7 = 5
Phần dư = 5

Phương pháp cặp chữ số chia hết cho 7

Phương pháp này dùng dãy mẫu 1, −3, 2 trên các cặp chữ số. Điều này có nghĩa là có thể kiểm tra khả năng chia hết cho 7 của bất kỳ số nào bằng cách tách số đó thành các cặp chữ số đầu tiên, sau đó nhân từng cặp chữ số đó với từng số của dãy, làm vậy cho đến khi có sáu cặp chữ số. Nếu số cần kiểm tra nhỏ hơn sáu chữ số, ta thêm các chữ số 0 vào bên phải cho đến khi đủ sáu chữ số. Nếu số cần kiểm tra lớn hơn sáu chữ số, ta lặp lại chu kỳ trên cho nhóm sáu chữ số tiếp theo và sau đó cộng các kết quả lại với nhau. Lặp lại thuật toán này cho đến khi kết quả thu được là một số nhỏ hơn. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được từ thuật toán này cũng chia hết cho 7. Phương pháp này đặc biệt phù hợp với các số nguyên lớn.

Ví dụ 1:

Số cần kiểm tra là 157514. Đầu tiên ta tách số này thành các cặp chữ số: 15, 75 và 14.

Sau đó áp dụng thuật toán: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182

Vì kết quả là 182 nhỏ hơn sáu chữ số, ta thêm số 0 vào bên phải cho đến khi có sáu chữ số.

Sau đó, áp dụng lại thuật toán: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42

Kết quả −42 đã biết là chia hết cho 7, vì vậy số ban đầu 157514 cũng chia hết cho 7.

Ví dụ 2:

Số cần kiểm tra là 15751537186.

(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77

Kết quả −77 chia hết cho 7, vì vậy số ban đầu 15751537186 ​​cũng chia hết cho 7.

Tính chia hết cho 13

Kiểm tra số dư khi chia cho 13: sử dụng dãy mẫu (1, −3, −4, −1, 3, 4, chu kỳ tiếp tục). Nếu bạn không thích tính toán số âm, bạn có thể sử dụng dãy số (1, 10, 9, 12, 3, 4).

Nhân chữ số tận cùng bên phải của số nguyên cần kiểm tra với chữ số bên trái đầu tiên của dãy số (1), sau đó nhân chữ số thứ hai tính từ phải của số cần kiểm tra với chữ số thứ hai trong dãy số. Làm như vậy, chu kỳ tiếp tục.

Ví dụ: Số dư khi 321 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số đầu tiên,
Trả lời: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Số dư = −17 mod 13 = 9

Ví dụ: Số dư khi 1234567 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số thứ hai,
Trả lời: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Số dư = 9.

Đối với các số trên 30

Tính chia hết có thể được xác định bằng hai cách, phụ thuộc vào loại ước số.

Ước số hợp

Một số cần xét chia hết cho một ước số hợp nếu nó chia hết cho bậc lũy thừa cao nhất của từng thừa số nguyên tố của ước số. Ví dụ, để xác định tính chia hết của một số cho 36, ta xét tính chia hết của nó cho 4 và 9. Lưu ý rằng, cần phải xét tới bậc lũy thừa cao nhất, vì vậy nếu xét cho 3 và 12, hoặc 2 và 18, sẽ không đủ. Bảng thừa số nguyên tố có thể hữu ích cho việc này.

Một ước số hợp cũng có thể có quy tắc riêng được thiết lập bằng cách sử dụng quy trình tương tự như với một ước số nguyên tố, như được đưa ra dưới đây nhất là đối với các ước hợp số bằng lũy thừa của một số nguyên tố. Lưu ý rằng, các biến đổi liên quan có thể không áp dụng cho bất kỳ thừa số nguyên tố nào có trong ước số. Ví dụ, ta không thể đưa ra quy tắc cho 14 liên quan đến việc nhân phương trình với 7. Điều này không áp dụng cho các ước nguyên tố vì chúng không thể phân tích thành thừa số nào nhỏ hơn.

Ước số nguyên tố

Mục đích là tìm một số nghịch đảo của 10 theo modulo ước số nguyên tố đang xét (không áp dụng cho 2 và 5) và sử dụng nó như một nhân tử để làm cho tính chia hết cho ước số nguyên tố đó của số ban đầu phụ thuộc vào tính chia hết của số mới nhận được sau quy trình biến đổi (thường là số nhỏ hơn ban đầu) cho cùng ước số nguyên tố đang xét. Ví dụ, với số 31, vì 10 × (−3) = −30 ≡ 1 mod 31, ta có quy tắc sử dụng y − 3x như được thể hiện trong bảng dưới. Tương tự, vì 10 × 28 = 280 ≡ 1 mod 31, ta có một quy tắc khác để xác định tính chia hết cho 31. Lựa chọn quy tắc nào để sử dụng dựa trên tính thuận tiện của số nhỏ hơn để tính toán. Quy tắc này thực sự áp dụng cho các ước nguyên tố ngoài 2 và 5, và có thể được sử dụng cho bất kỳ số nguyên tố nào chia hết cho 10 (bao gồm cả 33 và 39; xem bảng bên dưới). Điều này làm cho điều kiện chia hết trong bảng trên và dưới đây cho bất kỳ số nguyên tố nào cùng với 10 đều có dạng giống nhau (cộng hoặc trừ bội của chữ số cuối cùng với phần còn lại của số).

Các ví dụ đáng chú ý

Bảng dưới đây cung cấp các quy tắc cho một số ước số lớn hơn 30:

Quy tắc chia hết tổng quát

Để kiểm tra tính chia hết cho ước số D, trong đó D kết thúc bằng 1, 3, 7 hoặc 9, có thể sử dụng phương pháp sau. Tìm một bội số của D kết thúc bằng 9. (Nghĩa là nếu D kết thúc bằng 1, 3, 7, hoặc 9 thì nhân lên tương ứng với 9, 3, 7, hoặc 1.) Sau đó cộng thêm 1 và chia cho 10, kết quả nhận được gọi là m. Do đó, một số dạng N = 10t + q chia hết cho D khi và chỉ khi mq + t cũng chia hết cho D. Nếu số quá dài, có thể tách số thành các xâu, mỗi xâu gồm e chữ số, thoả mãn 10 = 1 hoặc 10 = -1 (mod D). Tổng (hoặc tổng xen kẽ) của các xâu này có tính chia hết cho D tương tự số ban đầu.

Ví dụ, để xác định xem số 913 = 10×91 + 3 có chia hết cho 11 hay không, tìm m sao cho m = (11×9+1)÷10 = 10. Khi đó mq+t = 10×3+91 = 121 = 11×11; Lấy ví dụ khác, để xác định xem 689 = 10×68 + 9 có chia hết cho 53 hay không, tìm rằng m = (53×3+1)÷10 = 16. Khi đó mq+t = 16×9+68 = 212 chia hết cho 53 (với thương là 4); vì vậy 689 cũng chia hết cho 53.

Cách khác, bất kỳ số nguyên nào Q = 10c + d chia hết cho n = 10a + b, trong đó gcd(n, 2, 5) = 1, nếu c+D(n)d = An với một số nguyên A, với:

Một vài số hạng đầu tiên của dãy được tạo bởi D(n) là 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (dãy A333448 trên OEIS).

Dạng theo từng khoảng của hàm D(n) và dãy được tạo ra bởi nó được công bố lần đầu vào tháng 3 năm 2020 bởi nhà toán học người Bulgaria Ivan Stoykov.

Bằng chứng

Bằng chứng sử dụng đại số cơ bản

Nhiều quy tắc đơn giản có thể được thiết lập chỉ bằng cách sử dụng các phép toán đại số, tạo thành các biểu thức và sắp xếp chúng lại. Bằng cách biểu diễn một số như tổng của từng chữ số nhân với lũy thừa của 10, có thể thao tác trên từng chữ số riêng lẻ.

Trường hợp quy tắc tổng hợp tất cả các chữ số

Phương pháp này áp dụng để xét các ước số là thừa số của 10 − 1 = 9, được công bố lần đầu vào tháng 3 năm 2020 bởi nhà toán học người Bulgaria Ivan Stoykov.

Ví dụ, lấy 3, số 3 chia hết cho 9 = 10 − 1. Vì vậy, ta có $10\equiv <!--\; \equiv \; -->1\left(\mathrm{mod}3\right)$ (xem thêm số học mô đun). Tương tự, với các bậc lũy thừa cao hơn của 10: ${10}^n\equiv <!--\; \equiv \; -->1^n\equiv <!--\; \equiv \; -->1\left(\mathrm{mod}3\right)$. Tất cả chúng đều cùng đồng dư với 1 modulo 3. Vì hai số cùng đồng dư modulo 3 thì cả hai đều chia hết cho 3 hoặc không chia hết, ta có thể tùy ý đổi chỗ các giá trị đồng dư với 3. Do đó, với một số như sau, ta có thể thay tất cả các lũy thừa 10 trong đó bằng số 1:

$100\cdot <!--\; \cdot \; -->a+10\cdot <!--\; \cdot \; -->b+1\cdot <!--\; \cdot \; -->c\equiv <!--\; \equiv \; -->\left(1\right)a+\left(1\right)b+\left(1\right)c\left(\mathrm{mod}3\right)$

và đây chính là tổng của các chữ số trong số đó.

Trường hợp quy tắc sử dụng tổng xen kẽ các chữ số

Phương pháp này phù hợp cho các số nguyên là bội số của 10 + 1 = 11.

Lấy ví dụ về số 11, 11 chia hết cho 11 = 10 + 1. Nghĩa là $10\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1\left(\mathrm{mod}11\right)$. Với các số mũ lớn hơn của 10, chúng đồng dư 1 với các số mũ chẵn và đồng dư −1 với các số mũ lẻ:

Như trong trường hợp trên, ta có thể thay thế các số mũ của 10 bằng các giá trị đồng dư tương ứng của chúng:

$1000\cdot <!--\; \cdot \; -->a+100\cdot <!--\; \cdot \; -->b+10\cdot <!--\; \cdot \; -->c+1\cdot <!--\; \cdot \; -->d\equiv <!--\; \equiv \; -->(-<!--\; -\; -->1)a+\left(1\right)b+(-<!--\; -\; -->1)c+\left(1\right)d\left(\mathrm{mod}11\right)$

đây cũng là sự khác biệt giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn.

Trường hợp chỉ cần xét (các) chữ số cuối

Quy tắc này áp dụng cho các ước là lũy thừa của 10 (ví dụ như 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250...). Điều này là do các bậc lũy thừa cao của cơ số (10) chia hết cho ước cần xét và có thể bỏ qua.

Ví dụ, trong hệ cơ số 10, các lũy thừa của 10 bao gồm 2, 5 và 10. Vì vậy, tính chia hết cho 2, 5 và 10 chỉ phụ thuộc vào chữ số cuối cùng có chia hết cho các ước đó hay không. Các lũy thừa của 10 bao gồm 4 và 25, và tính chia hết cho các ước đó chỉ phụ thuộc vào 2 chữ số cuối cùng.

Trường hợp chỉ bỏ đi (các) chữ số cuối

Hầu hết các số nguyên không chia hết cho 9 hoặc 10, nhưng lại chia hết cho các lũy thừa cao hơn của 10 hoặc 10−1. Trong trường hợp này, số vẫn có thể viết dưới dạng các bậc lũy thừa của 10, nhưng không cần khai triển toàn bộ.

Ví dụ, số 7 không chia hết cho 9 hay 10, nhưng chia hết cho 98, gần với số 100. Tiếp tục từ đó:

$100\cdot <!--\; \cdot \; -->a+b$

Ở đây, a là một số nguyên bất kỳ, và b nằm trong khoảng từ 0 đến 99. Tiếp theo,

$(98+2)\cdot <!--\; \cdot \; -->a+b$

và tiếp tục khai triển

$98\cdot <!--\; \cdot \; -->a+2\cdot <!--\; \cdot \; -->a+b,$

và sau khi loại bỏ số hạng là bội số của 7, kết quả sẽ là:

$2\cdot <!--\; \cdot \; -->a+b,$

đó là quy tắc 'nhân đôi số được tạo thành từ phần còn lại sau khi loại bỏ hai chữ số cuối, sau đó cộng thêm hai chữ số cuối'.

Trường hợp (các) chữ số cuối được nhân với một hệ số khác nhau

Biểu diễn của một số nguyên cũng có thể cần được nhân với một số nguyên tố cùng nhau với ước số đang xét mà không làm thay đổi tính chia hết của nó. Ví dụ, khi số 7 chia hết cho 21, ta có thể thực hiện như sau:

$10\cdot <!--\; \cdot \; -->a+b,$

sau khi nhân với 2, giá trị này sẽ trở thành

$20\cdot <!--\; \cdot \; -->a+2\cdot <!--\; \cdot \; -->b,$

và sau đó trở thành

$(21-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->a+2\cdot <!--\; \cdot \; -->b.$

bỏ đi bội số 21 ta được

$-<!--\; -\; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->a+2\cdot <!--\; \cdot \; -->b,$

và nhân với −1 sẽ được

$a-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->b.$

Có thể áp dụng một trong hai quy tắc cuối cùng để xét tính chia hết, tuỳ thuộc vào quy tắc nào dễ tính toán hơn. Đây là tương ứng với quy tắc 'trừ hai lần chữ số cuối vào phần còn lại'.

Sử dụng các phương pháp toán học modulo

Phần này sẽ minh họa phương pháp cơ bản; tất cả các quy tắc khác có thể được suy ra theo cùng một quy trình. Điều quan trọng là cần có nền tảng kiến thức cơ bản về toán học modulo; đối với tính chia hết cho ước số khác 2 và 5, chứng minh dựa trên kết quả cơ bản rằng 10 mod m khả nghịch nếu 10 và m là số nguyên tố cùng nhau.

Đối với 2 hoặc 5:

Chỉ cần xét n chữ số cuối.

${10}^n=2^n\cdot <!--\; \cdot \; -->5^n\equiv <!--\; \equiv \; -->0\left(\mathrm{mod}{2}^n\text{ hoặc }{5}^n\right)$

Biểu diễn x dưới dạng ${10}^n\cdot <!--\; \cdot \; -->y+z,$

$x={10}^n\cdot <!--\; \cdot \; -->y+z\equiv <!--\; \equiv \; -->z\left(\mathrm{mod}{2}^n\text{ hoặc }{5}^n\right)$

và tính chia hết của x cho 2 và 5 cũng áp dụng tương tự cho z.

Đối với 7:

Do 10 × 5  ≡  10 × (−2)  ≡ 1 (mod 7) nên ta có thể làm như sau:

Biểu diễn x dưới dạng $10\cdot <!--\; \cdot \; -->y+z,$

$-<!--\; -\; -->2x\equiv <!--\; \equiv \; -->y-<!--\; -\; -->2z\left(\mathrm{mod}7\right),$

vì vậy x chia hết cho 7 khi và chỉ khi y − 2z chia hết cho 7.