Ratios, rates, proportions | Khái niệm và ứng dụng trong Toán SAT

Các thí sinh tham dự kỳ thi SAT có thể bắt gặp các câu hỏi yêu cầu tính chỉ số ratios, rates, proportions trong phần thi Toán. Một số thí sinh vẫn có thể nhầm lẫn ở những câu này do không hiểu tường tận nghĩa của mỗi từ hoặc nhầm lẫn nghĩa của các từ với nhau. Vì vậy, bài viết này sẽ giải đáp thắc mắc về ba chỉ số này và đưa ra một vài bài toán tham khảo.

Tổng quan về dạng bài Tỷ lệ, tỷ suất và tỷ lệ phần trăm

Hướng dẫn cách giải các bài toán Tỷ lệ, Tỷ suất và Tỷ lệ phần trăm trong Toán SAT

Tỷ lệ (Ratios)

Khái niệm về Tỷ lệ

Ratio được định nghĩa là “the relationship between two groups of people or things that is represented by two numbers showing how much larger one group is than the other”[1] theo Oxford.

Nói cách khác, khi đối tượng N1 và N2 có cùng đơn vị đo, “the ratio of N1 to N2” hoặc “the N1 - N2 ratio” chỉ tỷ lệ khi lấy số lượng N1 chia cho N2 và ngược lại. Ratio luôn được biểu thị dưới dạng x to y, x : y hoặc x/y.

Có 2 dạng yêu cầu tính ratio: part - to - part và part - to - whole. Part - to - part là tỷ lệ giữa hai phần nằm trong tổng thể, còn part - to - whole là tỷ lệ giữa một phần nằm trong tổng thể so với cả tổng thể đó.

Ratio có thể được rút gọn thành tối giản, ví dụ 4 : 6 có thể được rút gọn thành 2 : 3.

Ví dụ:

Anna has 10 fruits in her basket. She has 4 apples and 6 bananas. We say:

• The ratio of apples to bananas is 4 to 6, 4 : 6 or 4/6.

• The ratio of bananas to apples is 6 to 4, 6 : 4 or 6/4.

• The ratio of apples to total fruits is 4 to 10, 4 : 10 or 4/10.

• The ratio of bananas to total fruits is 6 to 10, 6 : 10 or 6/10.

Các bước giải bài toán về Tỷ lệ

Bước 1: Xác định hai đại lượng đang được so sánh.

Bước 2: Rút gọn ratio nếu chưa tối giản.

Bước 3: Nhân chéo để tìm ra đại lượng cần tính.

Bước 4: Giải phương trình.

Ví dụ: Tỉ lệ giữa táo và cam là 3:4. Nếu bạn có 12 quả táo, bạn sẽ có bao nhiêu quả cam?

Bước 1: Xác định số lượng chưa biết: Số lượng cam chưa biết. Hãy gọi số lượng cam là x.

Bước 2: Thiết lập tỉ lệ: Có thể thiết lập tỉ lệ:34=12xBước 3: Nhân chéo: Nhân chéo thu được phương trình: 3x = 4 × 12

Bước 4: Giải phương trình x: 3x = 48, vậy nên x = 48 : 3 = 16

Tỷ suất (Rates)

Khái niệm về Tỷ suất

Theo Oxford, “rate” nghĩa là “a measurement of the speed at which something happens” hoặc “a measurement of the number of times something happens or something does something during a particular period”[2].

Như vậy, “rate” miêu tả tốc độ phát triển nhanh/chậm của đối tượng trong mối tương quan với đối tượng khác, thường là thời gian, hay rate là tỷ lệ giữa hai đối tượng khác đơn vị đo.

Ví dụ:

If a car travels 180 kilometers in 3 hours, the rate at which it was traveling will be:

1803=60Therefore, the car was traveling at 60 kilometers/hour.

Hướng dẫn cách giải bài toán về Tỷ suất

Bước 1: Xác định đại lượng cần tính và đơn vị (đổi đơn vị nếu cần thiết).

Bước 2: Viết rate ở dạng phân số.

Bước 3: Nhân/chia phân số để tìm ra đại lượng cần tính.

Ví dụ: Bạn lái xe 150 dặm trong 3 giờ. Tốc độ của bạn là bao nhiêu dặm/giờ?

Bước 1: Xác định đại lượng cần tính: tốc độ (đơn vị dặm/giờ)

Bước 2: Thiết lập tỉ lệ: 150 dặm/3 giờ

Bước 3: Rút gọn: 150 : 3 = 50 dặm/giờ

Tốc độ của bạn là 50 dặm/giờ.

Tỷ lệ phần trăm (Proportions)

Khái niệm về Tỷ lệ phần trăm

Proportion là một dạng đặc biệt hơn của ratio. Cụ thể, proportion là khi có hai ratio bằng nhau, hoặc khi so sánh hai ratio với nhau.

Ví dụ:

In a group, for each 2 girls, there will be 4 boys. Therefore, for each 4 girls, there will be 8 boys. We have the proportion: 24=48

Các phương pháp giải bài tập Proportions

Bước 1: Thiết lập phương trình gồm 2 ratios.

Bước 2: Nhân chéo/quy đồng để được 1 phương trình đơn giản hơn.

Bước 3: Cô lập và tìm ra ẩn.

Ví dụ: Một chuyến tàu di chuyển từ Thành phố A đến Thành phố B với tốc độ 60 dặm/giờ. Khi từ A về B, xe di chuyển với tốc độ 90 dặm/giờ. Nếu tổng thời gian di chuyển cho cả hai chuyến là 5 giờ, quãng đường từ Thành phố A đến Thành phố B là bao nhiêu?

Bước 1: Xác định các đại lượng chính:

• Tốc độ đi từ Thành phố A đến Thành phố B: 60 dặm/giờ.

• Tốc độ trở về từ Thành phố B đến Thành phố A: 90 dặm/giờ.

• Tổng thời gian di chuyển cho cả hai chuyến: 5 giờ.

• Gọi quãng đường từ Thành phố A đến Thành phố B là x (đơn vị: dặm).

Bước 2: Thiết lập các phương trình về thời gian:

• Gọi thời gian đi từ Thành phố A đến Thành phố B là "thời gian đi".

• Gọi thời gian về từ Thành phố B đến Thành phố A là "thời gian về".

Chúng ta có:

1.Thời gian đi (= quãng đường/tốc độ khi đi) được biểu diễn dưới dạng:

x602. Thời gian về (= quãng đường/tốc độ khi về) được biểu diễn dưới dạng:

x903. Tổng thời gian di chuyển = thời gian đi + thời gian về = 5 giờ

Từ 1, 2 và 3 suy ra:x60+x90=5 Bước 3: Giải phương trình để tìm quãng đường từ Thành phố A đến Thành phố B:

x60+x90=53x180+2x180=55x180=55x=900x=9005=180Vậy, quãng đường từ Thành phố A đến Thành phố B là 180 dặm.

Một số điều cần lưu ý khi giải bài về Ratios, Rates, Proportions

Phân tích và hiểu đề bài

Việc đọc kỹ đề bài là một bước vô cùng quan trọng. Trước hết, thí sinh cần tìm những từ khóa. Khi gặp các từ như “ratio”, “compare,” hoặc “proportional”, “positive/ negative relationship”, thí sinh có thể xác định rằng bài toán có liên quan tới tính ratio giữa hai đối tượng. Các từ như “speed”, “time” và “distance” thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến rates.

Tiếp theo, thí sinh cần xác định và ghi tóm tắt những thông tin cần thiết, ví dụ như tỷ lệ cụ thể giữa nam và nữ và tổng số học sinh nếu bài toán yêu cầu tính số học sinh mỗi giới tính. Thí sinh cần xác định đúng yêu cầu bài toán, ví dụ đối với bài toán yêu cầu tính ratio, thí sinh cần đọc kỹ xem đề bài yêu cầu tính part - to part ratio hay part - to - whole ratio.

Ngoài ra, một số bài toán có điều kiện kèm theo, yêu cầu thí sinh chia bài toán thành nhiều trường hợp khác nhau để giải.

Các đơn vị đo lường trong bài toán

Thí sinh cần chú ý đến đơn vị đo khi làm bài, đặc biệt khi tính rates. Đây là bởi đề bài đôi khi cung cấp dữ kiện với nhiều đơn vị khác nhau, thí sinh cần quy đổi lại các đơn vị cho nhất quán. Ví dụ, nếu một bài toán yêu cầu bạn tính tốc độ và đã cho khoảng cách bằng km và thời gian bằng giờ, thí sinh cần đảm bảo sử dụng cùng một đơn vị khi tính toán mỗi đại lượng.

Dưới đây là bảng quy đổi một vài đơn vị đo thông dụng:

Đổi đơn vị đo độ dài

Đổi đơn vị đo diện tích

Đổi đơn vị đo thể tích

Bài tập ứng dụng về Ratios, rates, proportions

Question 1

Two positive numbers have a ratio of 7 : 3 and differ by 16, what are these two numbers?

Câu hỏi: Hai số dương có tỉ số là 7 : 3 và chênh nhau 16 đơn vị. Tính hai số trên.

Lời giải:

Tỉ số của hai số là 7 : 3. Hiệu giữa hai số là 16.

Gọi 2 hai số là 7x và 3x, trong đó x là bội chung.

Theo đề bài, ta có:

7x - 3x = 16

→ 4x = 16

→ x = 16 : 4 = 4

Với x = 4, tính được hai số:

• Số thứ nhất = 7 × 4 = 28.

• Số thứ hai = 3 × 4 = 12.

Vậy hai số cần tìm là 28 và 12.

Question 2

Samuel can read 30 pages in 50 minutes. How many pages can Samuel read in 5 hours?

Câu hỏi: Samuel có thể đọc 30 trang trong 50 phút. Vậy Samuel có thể đọc bao nhiêu trang trong 5 tiếng?

Lời giải:

Samuel đọc được 30 trang trong 50 phút, vì vậy tốc độ đọc của Samuel là:

3050=0.6Đổi: 5 tiếng = 60 × 5 = 300 phút

→ Trong 5 tiếng, Samuel có thể đọc: 300 × 0,6 = 180 trang.

Vậy Samuel đọc được 180 trang trong 5 tiếng.

Question 3

Find the length of IK knowing that JM = 3, IJ = 4 and KL = 4.

Câu hỏi: Tìm độ dài của IK biết rằng JM = 3, IJ = 4 và KL = 4.

Gọi độ dài của cạnh IK là x.

Vì JM song song với KL nên theo định lý Ta - lét ta lập được phương trình tỷ lệ:

JMKL=IJIKThay độ dài các cạnh vào phương trình trên ta được:

34=4xNhân chéo mẫu số của phân số này với tử số của phân số kia ta được phương trình:

3x = 16 → x = 16/3.

Vậy cạnh IK có độ dài là 16/3.

Question 4

If there are 12 inches in a foot, convert 35 inches into feet.

Câu hỏi: Nếu một foot bằng 12 inch thì 35 inch bằng bao nhiêu feet?

Lời giải:

Gọi số feet cần tính là x.

Ta lập được phương trình tỷ lệ:

121=35xNhân chéo mẫu số của phân số này với tử số của phân số kia ta được: 12x = 35

Giải phương trình và làm tròn ta được: x = 2.9 feet ~ 3 feet

Vậy 35 inch bằng xấp xỉ 3 feet (khoảng 2.9 feet)

Question 5

A car travels 240 miles in 3 hours. If the car continues at the same speed, how far will it travel in 5 hours?

Câu hỏi: Một chiếc ô tô đi được 240 dặm trong 3 giờ. Nếu ô tô tiếp tục chạy với tốc độ như vậy thì sẽ đi được bao nhiêu trong 5 giờ?

Lời giải:

Có tốc độ = quãng đường/thời gian

→ Tốc độ của ô tô = 240 dặm/3 giờ = 80 dặm/giờ

Có quãng đường = tốc độ × thời gian

→ Quãng đường ô tô đi được trong 5 giờ = 80 dặm/giờ × 5 giờ = 400 dặm

Vậy ô tô đi được 400 dặm trong 5 giờ.

Question 6

In a recipe, the ratio of ingredients A, B, and C is 3:2:4. If you have 24 cups of ingredient C, how many total cups of ingredients A, B, and C do you have?

Câu hỏi: Trong một công thức, tỷ lệ các nguyên liệu A, B,C là 3:2:4. Nếu có 24 cốc nguyên liệu C, thì tổng cộng có bao nhiêu cốc nguyên liệu A, B, C?

Lời giải:

Gọi lượng nguyên liệu là:

• Nguyên liệu A: 3x

• Nguyên liệu B: 2x

• Nguyên liệu C: 4x

Có 24 cốc nguyên liệu C

→ 4x = 24 → x = 6

→ Tính được lượng các loại nguyên liệu:

Nguyên liệu A: 3x = 3 × 6 = 18 cốc

Nguyên liệu B: 2x = 2 × 6 = 12 cốc

Nguyên liệu C: 24 cốc (theo đề bài)

→ Tổng cộng số cốc của các nguyên liệu: 18 + 12 + 24 = 54 cốc

Do đó, tổng số cốc từ các nguyên liệu A, B, C là 54.

Tổng kết